《線性代數(shù)》D復(fù)習(xí)(部分關(guān)系和結(jié)論)

《線性代數(shù)》復(fù)習(xí)題型：填空題；選擇題；計(jì)算題；簡(jiǎn)述題；證明題幾個(gè)專題（一）行列式：1．階行列式的定義；2．用定義計(jì)算具有少量非零元素的行列式；3．行列式的五條性質(zhì)及其推論；4．行列式按行（列）展開及其推論注：各類行列式的計(jì)算（二）方陣可逆的定義及其等價(jià)條件：1．；2．（或）；3．（即非奇異）；4．的階數(shù)（即滿秩）；5．只有零解（或?qū)θ魏畏橇阆蛄浚?．有唯一解；7．（為初等矩陣，）；8．~（即與等價(jià)）；9．的列（行）向量組線性無關(guān)；10．的特征值全不為零；11．（）正定（三）的逆矩陣計(jì)算：1．由矩陣方程解出；或由解出的第列；2．；3．（四）有關(guān)秩的結(jié)論：1．；2．；3．若，則；4．若，可逆，則；5．（若用分別表示的列階梯型，，后者的非零列數(shù)為，故其秩不會(huì)超過）；6．（,所以）；7．；8.若非奇異，則；8．（通過與同解）；9．若，則；10．矩陣的秩等于它的列（行）向量組的秩；11．矩陣的秩，向量組的秩，二次型的秩，線性變換的秩（P183）的定義；注：矩陣的秩及其最高階非零子式的計(jì)算，向量組的秩，極大無關(guān)組的計(jì)算以及向量組的其它向量用極大無關(guān)組表示的問題（五）向量組線性相關(guān)性的結(jié)論：1．向量組線性相關(guān)有非零解矩陣的秩；2．當(dāng)時(shí)，個(gè)維向量必線性相關(guān)；3．線性相關(guān)向量組的擴(kuò)充向量組仍線性相關(guān)，特別含零向量的向量組線性相關(guān)；4．（）線性相關(guān)至少其中有一個(gè)向量可用其余個(gè)向量線性表示；5．個(gè)維向量線性相關(guān)；6．線性相關(guān)的各分量對(duì)應(yīng)成比例；7．若向量組可由線性表示且線性無關(guān)，則的向量個(gè)數(shù)不超過的向量個(gè)數(shù)注：線性相關(guān)性的判定和證明（六）與線性方程組解有關(guān)的結(jié)論：1．元齊次線性方程組有非零解；特別，若的行數(shù)小于，則必有非零解；2．元齊次線性方程組的解集是一個(gè)向量空間（解空間）；若，則解空間的維數(shù)，設(shè)是基礎(chǔ)解系，那么的通解為；3．元非齊次線性方程組有解；特別，若的行向量組線性無關(guān)，則必有解(因?yàn)榇藭r(shí)增廣矩陣的行向量組線性無關(guān))；4.元非齊次線性方程組有解可以由的列向量組線性表示與等價(jià)；5．設(shè)，唯一解對(duì)應(yīng)，無限多解對(duì)應(yīng)。在無限多解的情況下的通解為，其中是的基礎(chǔ)解系，是的特解；6．若，則元非齊次線性方程組有個(gè)線性無關(guān)解；7．設(shè)是非齊次線性方程組的解，并令，那么是的解是的解注：線性方程組解的討論和具體計(jì)算（七）方陣正交的定義及其等價(jià)條件：1．（或）；2．；3．的列（行）向量都為單位向量且兩兩正交；4．對(duì)任何和，成立（：。：記，則，，故，從而。）（八）對(duì)稱矩陣為正（負(fù)）定的定義及其等價(jià)條件：1．對(duì)任何，成立；2．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的個(gè)系數(shù)全為正（負(fù)）（或正（負(fù)）慣性指數(shù)為）；3．的特征值全為正（負(fù)）；4．的各階主子式全為正（奇數(shù)階為負(fù)，偶數(shù)階為正）；5．可逆且正（負(fù)）定（利用與特征值同號(hào)）；6．負(fù)（正）定（按定義推得）注：半正（負(fù)）定問題（九）特征值和特征向量的性質(zhì)及其計(jì)算，例如特征值的兩個(gè)等式關(guān)系；與，與的特征值和特征向量的關(guān)系；不同特征值的特征向量的線性相關(guān)性問題；對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量的正交性問題(十)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（配方法，正交變換法）（十一）幾種矩陣關(guān)系1．等價(jià)關(guān)系，矩陣等價(jià)的不變量（秩），矩陣標(biāo)準(zhǔn)形；2．相似關(guān)系，矩陣相似的不變量（特征值），可對(duì)角化問題，約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；3．合同關(guān)系，矩陣合同的不變量（有定性）（十二）線性空間（向量空間）和線性變換1．判定是否為線性空間（向量空間）；2．基到基的過渡矩陣，不同基下的坐標(biāo)變換；3．線性變換在基下的矩陣，同一線性變換在不同基下的矩陣的轉(zhuǎn)化可比較的一些關(guān)系●一般不成立（例如取，，偶數(shù)）●（和都對(duì)稱時(shí)，也對(duì)稱）●一般不成立（例如，）●和均正交推不出正交(列（行）向量長度)●和均正定可推得正定（）●●一般不成立，應(yīng)有●一般不成立，應(yīng)有●和均正交可推得正交()●和均正定推不出正定（未必對(duì)稱）（例如，均正定，但不對(duì)稱）●●（）●●●一般不成立，應(yīng)有●一般不成立，應(yīng)有若正交，則（）若可逆，則（,）（當(dāng)），（當(dāng)）（當(dāng)：設(shè)，，當(dāng)：(1)若，則，從而.(2)若，由于，所以的列是的解，因而，這表明的任何階子式均等于零，故.(3)若，則，從而）●（當(dāng)）（如上按，，分別討論）●與相似與相似（由定義推得）●階方陣有個(gè)不同的特征值與對(duì)角陣相似（不能反推）●階方陣與相似存在階方陣，使（由定義推得，除非可逆一般不能反推，例如取，，，，但特征值不同）●與相似（由定義推得，不能反推，例如，，，但特征值不同）●與相似與的特征多項(xiàng)式相同（不能反推，例如，，特征多項(xiàng)式均為，但秩不同）●與相似不能推出與具有相同的特征向量（例如，，正交，==，但和的特征向量分別為和）●與具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量（見上例）●，對(duì)于子塊為方陣的分塊矩陣的行列式一般不成立（比較二階行列式）（例如，，，，右端為零，而左端為（，））對(duì)于子塊為方陣的分塊矩陣的行列式一般不成立但若，，則成立（此結(jié)果可通過次列對(duì)換）分塊對(duì)角矩陣可逆和均可逆，且（更一般形式）設(shè)和均為方陣，那么可逆和均可逆，且（更一般形式）（注意：非，與上一條目的順序不同）設(shè)和均為方陣，那么（注意：非）（記，，，（1）當(dāng)時(shí)，的元素，的代數(shù)余子式，代表的