初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)第4章平行四邊形4．1多邊形“黃岡賽”一等獎(jiǎng)

第4章平行四邊形4．1多邊形(一)1．已知四邊形各內(nèi)角的度數(shù)的比為1∶2∶3∶4，則各內(nèi)角的度數(shù)分別為36°，72°，108°，144°．2．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝95°，∠D＝100°，外角∠ABE＝70°，則∠ABC＝__110°__，∠C＝__55°__．(第2題)(第3題)3．用四塊形狀一樣的小四邊形木板可以拼成一塊面積較大的木板(如圖所示)，這利用了四邊形的什么性質(zhì)？答：四邊形的內(nèi)角和為360°．4．若一個(gè)多邊形共有14條對(duì)角線，則它是七邊形．5．(1)在四邊形ABCD中，若∠A的兩條邊與∠C的兩條邊互相垂直，且∠A－∠C＝60°，則∠A＝__120°__，∠B＝__90°__，∠C＝__60°__，∠D＝__90°__．(2)在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°；在△PQM中，∠P＝90°，∠Q＝37°，∠M＝53°，且BC＝QM.現(xiàn)將它們拼成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形內(nèi)角的最大值為117°或133°．(第6題)6．如圖，在四邊形ABCD中，若去掉一個(gè)50°的角得到一個(gè)五邊形，則∠1＋∠2等于(B)A．150°B．230°C．250°D．270°7．已知在四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶4∶1∶5，求四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【解】設(shè)∠C＝x，則∠A＝2x，∠B＝4x，∠D＝5x.∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∴2x＋4x＋x＋5x＝360°，解得x＝30°.∴∠A＝2x＝60°，∠B＝4x＝120°，∠C＝x＝30°，∠D＝5x＝150°.8．若一個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)與它的邊數(shù)相等，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．【解】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則eq\f(n（n－3）,2)＝n，解得n1＝5，n2＝0(舍去)．∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為5.(第9題)9．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，∠C＝∠ADC.(1)求證：AB∥CD.(2)若∠ADC－∠A＝60°，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E.請(qǐng)判斷△ADE是哪種特殊三角形，并說(shuō)明理由.【解】(1)∵∠A＝∠B，∠C＝∠ADC，∴∠B＋∠C＝eq\f(1,2)(∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC)＝180°，∴AB∥CD.(2)△ADE是等邊三角形．理由如下：∵AB∥CD，∴∠ADC＋∠A＝180°.又∵∠ADC－∠A＝60°，∴∠A＝60°.∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B＝∠A＝60°，∴△ADE是等邊三角形．(第10題)10．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠C＝45°，BC＝4，AD＝2，求四邊形ABCD的面積．【解】延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)E.∵∠B＝90°，∠C＝45°，∴∠E＝∠C＝45°，∴BE＝BC＝4.∵∠ADC＝90°，∴∠DAE＝∠ADC－∠E＝45°＝∠E，∴DE＝AD＝2，∴S四邊形ABCD＝S△EBC－S△EAD＝eq\f(1,2)×4×4－eq\f(1,2)×2×2＝8－2＝6.(第11題)11．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD＝BD，則∠BCD等于(D)A.100°B.120°C.135°D.150°【解】∵AB＝AC＝AD＝BD，∴△ABD是等邊三角形，∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，∴∠BAD＝60°.∵∠BAD＋∠ADC＋∠BCD＋∠ABC＝360°，∴∠ADC＋∠BCD＋∠ABC＝300°，∴2∠BCD＝300°，∴∠BCD＝150°.12．如圖，在四邊形ABCD中，AB，BC，CD，DA的長(zhǎng)分別為2，2，2eq\r(3)，2，且AB⊥BC，求∠BAD的度數(shù)和四邊形ABCD的面積．(第12題)【解】連結(jié)AC.∵AB＝BC＝2，∠B＝90°，∴AC＝2eq\r(2)，∠BAC＝45°.又∵AD＝2，CD＝2eq\r(3)，∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠DAC＝90°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝45°＋90°＝135°，S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2＝2＋2eq\r(2).13．(1)如圖①，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度數(shù).(第13題)(2)如圖②，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的度數(shù)．【解】(1)在四邊形BCDM中，∠C＋∠B＋∠D＋∠BMD＝360°，在四邊形MEFN中，∠MNF＋∠EMN＋∠E＋∠F＝360°.∵∠MNF＝∠A＋∠G，∠BMD＋∠EMN＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝360°＋360°－180°＝540°.(2)∵∠7＝∠1＋∠5，∠8＝∠4＋∠6，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝∠2＋∠3＋∠7＋∠8＝360°.14．在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別垂直，請(qǐng)判斷這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，∠A與∠B的數(shù)量關(guān)系是相等；如圖②，∠A與∠B的數(shù)量關(guān)系是互補(bǔ)；對(duì)于上面兩種情況，請(qǐng)用文字語(yǔ)言敘述：在同一平面內(nèi)，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是相等或互補(bǔ)．(2)請(qǐng)選擇圖①或圖②的其中一種進(jìn)行證明．(第14題)【解】(2)以選圖②為例：∵四邊形的內(nèi)角和等于360°，∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠A＋∠B＝360°－90°－90°＝180°，∴∠A與∠B的數(shù)量關(guān)系是互補(bǔ)．15．我們把能平分四邊形面積的直線稱為好線，利用下面的方法，可以得到四邊形的好線：如圖①，在四邊形ABCD中，取對(duì)角線BD的中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OC，顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過(guò)點(diǎn)O作OE∥AC交CD于點(diǎn)E，連結(jié)AE，則直線AE即為一條好線．(1)試說(shuō)明直線AE是好線的理由．(2)如圖②，AE為一條好線，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，請(qǐng)作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的好線，并對(duì)畫(huà)圖過(guò)程作適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明(不需要說(shuō)明理由)．(第15題)【解】(1)∵OE∥AC，∴S△AOE＝S△COE(同底等高)，