第4章張量(清華大學(xué)張量,你值得擁有)

第4章曲線坐標(biāo)張量分析

2023年2月6日主要內(nèi)容基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號(hào)張量場(chǎng)函數(shù)對(duì)矢徑的導(dǎo)數(shù)、梯度張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度積分定理Riemann-Christoffel張量（曲率張量）張量方程的曲線坐標(biāo)分量表示方法非完整系與物理分量正交曲線坐標(biāo)系中的物理分量

基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號(hào)張量場(chǎng)函數(shù)：T(r)T(r)之所以被稱為場(chǎng)函數(shù)，是因?yàn)樗鞘笍絩的函數(shù)。在曲線坐標(biāo)系下，基矢量gi并不是常矢量，如何描述gi隨坐標(biāo)的變化而變化？基矢量本身重要！是坐標(biāo)的非線性函數(shù)基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號(hào)基矢量的導(dǎo)數(shù)與Christoffel符號(hào)協(xié)變基矢量的導(dǎo)數(shù)與第二類Christoffel符號(hào)從定義式，可探討性質(zhì)：由于定義式可證明，共有18個(gè)獨(dú)立的分量，且不是張量分量?；噶康膶?dǎo)數(shù)，Christoffel符號(hào)基矢量的導(dǎo)數(shù)與Christoffel符號(hào)第一類Christoffel符號(hào)性質(zhì)：定義式：比較：Christoffel符號(hào)僅有定義式是不夠的，必須有計(jì)算式！基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號(hào)基矢量的導(dǎo)數(shù)與Christoffel符號(hào)Christoffel的計(jì)算式：用gij來(lái)計(jì)算基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號(hào)基矢量的導(dǎo)數(shù)與Christoffel符號(hào)逆變基矢量的導(dǎo)數(shù)

對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，的計(jì)算公式張量場(chǎng)函數(shù)對(duì)矢徑的導(dǎo)數(shù)、梯度標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)f(r)的梯度其中，定義為f(r)的梯度；即。因此，梯度的幾何意義！取弧元ds，有方向?qū)?shù)：張量場(chǎng)函數(shù)對(duì)矢徑的導(dǎo)數(shù)、梯度張（矢）量場(chǎng)函數(shù)T(r)的梯度，借助有限微分，得從而可得右梯度和左梯度：由此可得：張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為了計(jì)算，則必須引入?yún)f(xié)變導(dǎo)數(shù)★矢量場(chǎng)函數(shù)的梯度矢量分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)★矢量場(chǎng)函數(shù)的梯度引入新符號(hào)來(lái)表示矢量分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)則右梯度：左梯度：張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)★矢量場(chǎng)函數(shù)的梯度注：只有在笛卡爾坐標(biāo)系下才有特殊矢量：矢徑r，有張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)★張量場(chǎng)函數(shù)的梯度右梯度：左梯度：張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)★張量場(chǎng)函數(shù)的梯度其中四者之間滿足指標(biāo)升降關(guān)系。張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)★張量場(chǎng)函數(shù)的梯度特殊張量1：度量張量G但是一般來(lái)說(shuō)，特殊張量2：置換張量?jī)蓚€(gè)張量的并AB的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度從梯度開(kāi)始理解散度和旋度梯度(gradient)★矢量場(chǎng)函數(shù)F(r)的散度散度(divergence)旋度(curl)張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度★張量場(chǎng)函數(shù)T(r)的散度張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度矢量場(chǎng)函數(shù)巨漂亮的結(jié)果場(chǎng)論中的有勢(shì)場(chǎng)滿足，其中U為勢(shì)函數(shù)。定義Laplace算子：即先求梯度，再計(jì)算散度。張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度若矢量，為標(biāo)量，則而，可推導(dǎo)出因此，可得張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度因此，Laplace算子的計(jì)算式：Euclid空間，只有一個(gè)最基本的一階矢量微分算子，即梯度算子。Euclid空間，只有一個(gè)最基本的二階標(biāo)量微分算子，即Laplace算子。張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度★矢量場(chǎng)函數(shù)F(r)的旋度張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度★矢量場(chǎng)函數(shù)F(r)的旋度張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度★張量場(chǎng)函數(shù)T(r)的旋度★協(xié)變導(dǎo)數(shù)符號(hào)的靈活運(yùn)用積分定理從牛頓-萊布尼茲公式說(shuō)起微分階次降了一階域內(nèi)轉(zhuǎn)換到邊界向二維擴(kuò)展：Green定理積分定理向二維擴(kuò)展：Green定理若，則環(huán)量若一個(gè)場(chǎng)無(wú)旋（有勢(shì)，積分與路徑無(wú)關(guān)），則滿足Cauchy條件：一個(gè)定理之所以稱為定理，一定與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。積分定理奧高定理（閉合曲面）奧高定理雖然是數(shù)學(xué)上的結(jié)論，但是對(duì)與力學(xué)和物理學(xué)來(lái)說(shuō)，就是守恒律。積分定理Stokes定理若，則有旋運(yùn)動(dòng)（渦通量）守恒于邊界線上的環(huán)量。積分定理奧高定理（從矢量向張量推廣）散度定理是一切積分定理的基礎(chǔ)！φ為任意張量證明其它定理時(shí)，假設(shè)

，為標(biāo)量，有再假設(shè)C為常張量，有積分定理奧高定理（從矢量向張量推廣）因此，有標(biāo)量形式的梯度定理張量形式的梯度定理張量形式的旋度定理積分定理奧高定理（從矢量向張量推廣）羅列如下：積分定理Stokes定理（從矢量向張量推廣）φ為任意張量積分定理整體化數(shù)理分析相較于局部化數(shù)理分析，即微元法，整體化數(shù)理分析不涉及坐標(biāo)，并且可描述全域。平衡方程（積分形式）由于，則平衡方程（微分形式）例1：固體受力平衡積分定理積分形式例2：流體定常運(yùn)動(dòng)：定常流場(chǎng)流體定常運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程微分形式力學(xué)的基本方程從笛卡爾坐標(biāo)系中向曲線坐標(biāo)系的擴(kuò)展Riemann-Christoffel張量（曲率張量）R-C張量的起源猜想笛卡爾坐標(biāo)系下，二元函數(shù)f(x,y)的二階導(dǎo)數(shù)具有求導(dǎo)順序的無(wú)關(guān)性。那么到了曲線坐標(biāo)系以及高階流形上，求導(dǎo)（協(xié)變導(dǎo)數(shù)）順序的無(wú)關(guān)性還存在嗎？基本沒(méi)有！Riemann-Christoffel張量（曲率張量）Riemann其人愛(ài)因斯坦（1879-1955）黎曼（1826-1866）拉格朗日（1736-1813）高斯Riemann-Christoffel張量（曲率張量）R-C張量的起源猜想若有，空間形式為歐氏空間；反之，為黎曼空間。若能在一個(gè)空間中找到一笛卡爾坐標(biāo)系，并且能找到一坐標(biāo)變換，使得變換后滿足，。那么這個(gè)空間就是歐氏的。如何知道空間形式是歐氏的還是黎曼的？若，Riemann-Christoffel張量（曲率張量）R-C張量的定義再來(lái)看矢量a，對(duì)于，有；對(duì)于與

，?首先來(lái)看標(biāo)量φ，對(duì)于，有；對(duì)于，有。R-C張量的定義本人的建議：形式上的拓展，比較：Riemann-Christoffel張量（曲率張量）R-C張量的定義本人的建議：請(qǐng)驗(yàn)證是否一致：又有：用度量張量計(jì)算R由此推測(cè)：黎曼張量必然取決于度量張量！用度量張量計(jì)算R本人的建議：R-C張量的性質(zhì)R的對(duì)稱性（R=Rijklgigjgkgl）對(duì)于前兩個(gè)指標(biāo)反對(duì)稱對(duì)于后兩個(gè)指標(biāo)反對(duì)稱可構(gòu)造二階張量即：Riemann-Christoffel張量（曲率張量）R-C張量的性質(zhì)R的對(duì)稱性（R=Rijklgigjgkgl）對(duì)于前兩個(gè)指標(biāo)和后兩個(gè)指標(biāo)可交換綜合上述三方面的對(duì)稱性：Riemann-Christoffel張量（曲率張量）R（R=Rijklgigjgkgl）獨(dú)立分量的計(jì)算：81個(gè)分量（i,j）中，3個(gè)0分量，3個(gè)獨(dú)立分量，可能的、獨(dú)立的非0組合為3個(gè)，即（1，2），（2，3），（3，1）。（k,l）中，3個(gè)0分量，3個(gè)獨(dú)立分量，可能的、獨(dú)立的非0組合也為3個(gè)，即（1，2），（2，3），（3，1）。于是（i,j,k,l）中，可能的、獨(dú)立的非0組合為9個(gè)，即（1，2，1，2），（1，2，2，3），（1，2，3，1）（2，3，1，2），（2，3，2，3），（2，3，3，1）（3，1，1，2），（3，1，2，3），（3，1，3，1）Riemann-Christoffel張量（曲率張量）最終，R的獨(dú)立分量只有6個(gè)，分別為：于是（i,j,k,l）中，可能的、獨(dú)立的非0組合為9個(gè)，即（1，2，1，2），（1，2，2，3），（1，2，3，1）（2，3，1，2），（2，3，2，3），（2，3，3，1）（3，1，1，2），（3，1，2，3），（3，1，3，1）Riemann-Christoffel張量（曲率張量）Ricci公式標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)矢量場(chǎng)函數(shù)張量場(chǎng)函數(shù)（二階）（三階）Riemann-Christoffel張量（曲率張量）Bianchi恒等式令，代入對(duì)i,j,k做輪換對(duì)i,j,k做輪換再?gòu)某霭l(fā)，對(duì)xk求協(xié)變導(dǎo)數(shù)Riemann-Christoffel張量（曲率張量）Bianchi恒等式由于對(duì)比兩組式子Riemann-Christoffel張量（曲率張量）Bianchi恒等式降指標(biāo)后，得到從而得到Bianchi恒等式Riemann-Christoffel張量與變形協(xié)調(diào)方程連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，小變形問(wèn)題，位移場(chǎng)可確定唯一的應(yīng)變場(chǎng)：位移矢量有三個(gè)獨(dú)立分量，而應(yīng)變張量有六個(gè)獨(dú)立分量，故任意給定的應(yīng)變張量一般不能對(duì)應(yīng)一個(gè)連續(xù)的位移場(chǎng)，應(yīng)變張量分量之間必然滿足內(nèi)在的約束關(guān)系。于是，有如下變形協(xié)調(diào)條件。采用Lagrange描述。變形前，連續(xù)體屬