第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)及基本邏輯門電路

數(shù)字邏輯2013.9第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)及基本邏輯門電路

一、本章主要介紹內(nèi)容：

1.邏輯、邏輯狀態(tài)、邏輯變量、邏輯代數(shù)、邏輯表達(dá)式的基本概念。

2.“與”、“或”、“非”三種基本邏輯關(guān)系，“與”門、“或”門、“非”門三種基本邏輯門。

3.邏輯代數(shù)的八個(gè)基本定律。

4.邏輯代數(shù)的四個(gè)常用公式。二、本章教學(xué)大綱基本要求熟練掌握：

1.邏輯函數(shù)的基本定律和定理；

2.“與”邏輯及“與”門、“或”邏輯及“或”門、“非”邏輯及“非”門和“與”、“或”、“非”的基本運(yùn)算。理解：邏輯、邏輯狀態(tài)等基本概念。三、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：邏輯代數(shù)中的基本公式、常用公式、基本定理和基本定律。難點(diǎn)：常用公式、基本定理和基本定律。概述

邏輯代數(shù)是英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾(GeorgeBoole)于1847年提出的,所以又稱為布爾代數(shù)。它是描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，是進(jìn)行邏輯分析與綜合的數(shù)學(xué)工具。邏輯：一定的因果關(guān)系。

邏輯代數(shù)有其自身獨(dú)立的規(guī)律和運(yùn)算法則，不同于普通代數(shù)。

相同點(diǎn)：都用字母A、B、C……表示變量；

不同點(diǎn)：邏輯代數(shù)變量的取值范圍僅為“0”和“1”，且無大小、正負(fù)之分。第一節(jié)基本邏輯運(yùn)算和基本門電路一、邏輯變量和邏輯表達(dá)式邏輯是指事物的因果關(guān)系所遵循的規(guī)律，反映事物邏輯關(guān)系的變量稱為邏輯變量。一般邏輯變量是二值變量，只能在邏輯“真”（true）和邏輯“假”（false）這兩個(gè)邏輯值中取二者之一。世間萬(wàn)物大多存在著對(duì)立統(tǒng)一的正反兩種邏輯狀態(tài)，如事物的“真”/“假”、電位的“高”/“低”、開關(guān)的“通”/“斷”等等，若將其中一種狀態(tài)規(guī)定為邏輯“真”，則另一狀態(tài)便為邏輯“假”。通常將邏輯量在形式上數(shù)字化，即用邏輯“1”表示邏輯“真”。用邏輯“0”表示邏輯“假”。需說明的是，邏輯“1”、邏輯“0”與二進(jìn)制數(shù)字“1”、“0”有完全不同的概念，邏輯量無數(shù)值的大小，它們只表示事物的正反兩種邏輯狀態(tài)。邏輯問題的研究，涉及到問題產(chǎn)生的條件和結(jié)果。表示條件的邏輯變量就是輸入變量，表示結(jié)果的邏輯變量就是輸出變量，描述輸入、輸出變量之間的邏輯關(guān)系的表達(dá)式稱為邏輯函數(shù)或邏輯表達(dá)式。數(shù)字電路的輸入量和輸出量之間的因果關(guān)系，可用以實(shí)現(xiàn)各種邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路也稱邏輯電路。

基本的邏輯關(guān)系有“與”邏輯、“或”邏輯及“非”邏輯三種。第二節(jié)“與”邏輯及“與”門

當(dāng)決定一事件結(jié)果的所有條件都滿足時(shí)，結(jié)果才發(fā)生，這種條件和結(jié)果的關(guān)系稱為邏輯“與”（AND）或者邏輯“乘”，在邏輯代數(shù)中稱為與運(yùn)算。1.具有邏輯“與”關(guān)系的電路圖2.與邏輯狀態(tài)表和真值表我們作如下定義：燈“亮”為邏輯“1”，燈“滅”為邏輯“0”開關(guān)“通”為邏輯“1”，開關(guān)“斷”為邏輯“0”則可得與邏輯的真值表。真值表：將所有輸入組合及其對(duì)應(yīng)的輸出列成的表。3.與運(yùn)算的函數(shù)表達(dá)式

L＝A·B或L＝AB多變量時(shí)L＝A·B·C·D…或L＝ABCD…讀作L等于A與B或稱邏輯乘4.“與”門電路實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱作與門

5.“與”門電路符號(hào)6.邏輯與的基本運(yùn)算法則規(guī)律：全1出1，有0出00?0=00?1=01?0=01?1=1由此推得：A?0=0A?1=AA?A=A符號(hào)“&”表示與邏輯運(yùn)算。

若開關(guān)數(shù)量增加，則邏輯變量增加。

ABCY00000010010001101000101011001111A、B、C全1，Y才為1。Y＝A

·

B·C＝ABC7.波形圖

8.使用注意事項(xiàng)

第三節(jié)“或”邏輯及“或”門在決定一事件結(jié)果的所有條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上滿足時(shí)結(jié)果就發(fā)生，這種條件和結(jié)果的關(guān)系稱為邏輯“或”（OR）或者稱邏輯“加”，邏輯代數(shù)中稱為或運(yùn)算。

1.具有邏輯或的電路圖

2.或邏輯狀態(tài)表和真值表我們作如下定義：燈“亮”為邏輯“1”，燈“滅”為邏輯“0”開關(guān)“通”為邏輯“1”，開關(guān)“斷”為邏輯“0”則可得或邏輯真值表。3.或運(yùn)算邏輯函數(shù)表達(dá)式

L＝A＋B讀作L等于A或B，邏輯加多變量時(shí)

L＝A＋B＋C＋D＋…4.或門電路實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱作或門

5.“或”門電路符號(hào)6.邏輯或的基本運(yùn)算法則0＋0＝00＋1＝11＋0＝11＋1＝1規(guī)律“全0出0，有1出1”由此推得：A＋0＝A

A＋1＝1

A＋A＝A符號(hào)“≥1”表示或邏輯運(yùn)算。7.波形圖

8.使用注意事項(xiàng)

第四節(jié)“非”邏輯及“非”門一事件結(jié)果的發(fā)生，取決于某個(gè)條件的否定，即當(dāng)條件成立結(jié)果不發(fā)生，條件不成立時(shí)結(jié)果發(fā)生。這種條件和結(jié)果的關(guān)系稱為邏輯“非”（NOT）或者邏輯“反”，在邏輯代數(shù)中稱邏輯非運(yùn)算。

1.具有邏輯非關(guān)系的電路圖

2.非邏輯狀態(tài)表和真值表我們作如下定義：燈“亮”為邏輯“1”，燈“滅”為邏輯“0”開關(guān)“通”為邏輯“1”，開關(guān)“斷”為邏輯“0”則可得非邏輯真值表。3.非運(yùn)算邏輯函數(shù)表達(dá)式讀作L等于A非，或A反。4.“非”門電路實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱作非門5.“非”門電路符號(hào)6.邏輯“非”的基本運(yùn)算法則由此推出：邏輯符號(hào)中用小圓圈“?！北硎痉沁\(yùn)算，符號(hào)中的“1”表示緩沖。7.波形圖

第五節(jié)復(fù)合邏輯函數(shù)人們?cè)谘芯繉?shí)際邏輯問題時(shí)發(fā)現(xiàn)，事物的各個(gè)因素之間的邏輯關(guān)系往往比單一的與、或、非復(fù)雜得多，不過它們都可以用與、或、非的組合來實(shí)現(xiàn)。含有兩種或兩種以上邏輯運(yùn)算的邏輯函數(shù)稱為復(fù)合邏輯函數(shù)。如與非函數(shù)，是與運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，運(yùn)算順序是先與后非。最常見的復(fù)合函數(shù)有：與非、或非、與或非、異或和同或等一、與非邏輯1.邏輯表達(dá)式2.邏輯符號(hào)3.邏輯真值表邏輯規(guī)律：有0出1

全1出0ABZ00010111110與非邏輯真值表4.波形圖

輸入級(jí)中間倒相級(jí)輸出級(jí)5.電路圖

6.常用TTL與非門電路芯片VCCGNDTL7400四個(gè)兩輸入與非門集成電路TTL7420兩個(gè)四輸入與非門集成電路GNDVCCNC該電路具有與非邏輯功能，即Y=AB7．CMOS與非門

負(fù)載管并聯(lián)（并聯(lián)開關(guān)）

驅(qū)動(dòng)管串聯(lián)（串聯(lián)開關(guān)）8.使用注意事項(xiàng)

與非門多余輸入端的處理方法

(a)接電源;(b)通過R接電源;（c）與使用輸入端并聯(lián)二、或非邏輯1.邏輯表達(dá)式先或后非2.邏輯符號(hào)3.邏輯真值表4.波形圖

負(fù)載管串聯(lián)（串聯(lián)開關(guān)）5．CMOS或非門

驅(qū)動(dòng)管并聯(lián)（并聯(lián)開關(guān)）

A、B有高電平，則驅(qū)動(dòng)管導(dǎo)通、負(fù)載管截止，輸出為低電平。10截止導(dǎo)通6.使用注意事項(xiàng)

或非門多余輸入端的處理方法

(a)接地;(b)通過R接地;（c）與使用輸入端并聯(lián)三、與或非邏輯1.邏輯表達(dá)式先與后或再非2.邏輯符號(hào)3.邏輯真值表與或非邏輯真值表邏輯規(guī)律：各組均有0出1，某組全1出04.波形圖

四、異或邏輯1.邏輯表達(dá)式

2.邏輯符號(hào)AB所謂異或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量取值相同時(shí)輸出為0，取值不相同時(shí)輸出為1。

3.邏輯真值表邏輯規(guī)律：相同出0相反出1異或門邏輯真值表異或邏輯由“與”邏輯、“或”邏輯和“非”邏輯復(fù)合而成ABZ0000111011104.波形圖

五、同或邏輯1.邏輯表達(dá)式2.邏輯符號(hào)同或邏輯又稱為異或非邏輯。實(shí)現(xiàn)同或邏輯的電路稱為同或門（或稱為異或非門）。

同或門邏輯真值表3.邏輯真值表運(yùn)算規(guī)律：相同出1相反出04.波形圖

標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)慣用符號(hào)國(guó)外符號(hào)&ABCFABCFABCF≥1ABCF+ABCFABCF1AFAFAF＝1ABFABFABF第六節(jié)邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式一、基本公式根據(jù)邏輯與、或、非三種基本運(yùn)算規(guī)則，可推導(dǎo)出邏輯運(yùn)算的基本公式。

1.

0－1律0＋A＝A

1?A＝A1＋A＝1

0?A＝0常量與變量的關(guān)系

2.重迭律

A＋A＝A

A·A＝A3.互補(bǔ)律

4.交換律

A＋B＝B＋A

A·B＝B·A5.結(jié)合律（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）（A·B）·C＝A·（B·C）6.分配律

A·（B＋C）＝A·B＋A·C

A＋B·C＝（A＋B）·（A＋C）普通代數(shù)不適用!7.還原律8.狄.摩根定理多變量時(shí)二、常用公式（1）并項(xiàng)公式證明：（2）吸收公式

A＋A·B＝A證明：A＋A·B＝A·（1＋B）＝A·1＝A利用運(yùn)算規(guī)則可以對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。例如：被吸收證明：例如：被吸收（3）消因子公式證明：例如：1吸收（4）消項(xiàng)公式利用基本公式可推導(dǎo)出更多的常用公式。(5)證明:證明:(6)？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?請(qǐng)注意與普通代數(shù)的區(qū)別！三、邏輯代數(shù)的三條基本規(guī)則

1.代入規(guī)則在任一邏輯等式中，若將等式兩邊出現(xiàn)的同一變量同時(shí)用另一函數(shù)式取代，則等式仍然成立。注意：A＋B＝A＋CA?B=A?C未必有B＝C未必有B＝C邏輯代數(shù)中沒有減法與除法。代入規(guī)則擴(kuò)大了邏輯代數(shù)公式的應(yīng)用范圍。例如狄摩根定理若將此等式兩邊的B用B＋C取代，則有2.反演規(guī)則已知一邏輯函數(shù)Z，如果將Z中所有的符號(hào)：

“·”換成“＋”

“＋”換成“·”

“1”換成“0”

“0”換成“1”

原變量換成反變量

反變量換成原變量得到函數(shù)即為原函數(shù)的反函數(shù)。利用反演規(guī)則可以方便地對(duì)一個(gè)函數(shù)表達(dá)式Z進(jìn)行求反運(yùn)算。例如，已知解：

使用反演規(guī)則時(shí)，要注意以下兩點(diǎn):保持原函數(shù)中邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序；不是單個(gè)變量上的反號(hào)保持不變。例如:則（3）對(duì)偶規(guī)則將原函數(shù)Z中所有符號(hào)：

“＋”換成“·”

“·”換成“＋”

“0”換成“1”

“1”換成“0”得到Z′，它為原函數(shù)Z的對(duì)偶函數(shù)。例如Z＝A·（B＋C）則

Z′＝A＋B·CF2=A·B+A·C，F(xiàn)2′=(A+B)·(A+C)

如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對(duì)偶函數(shù)亦相等。這就是對(duì)偶規(guī)則。例如:已知A·(B+C)=A·B+A·C，則A+B·C=(A+B)·(A+C)習(xí)題：《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)（第2版）》學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答P20

2.4-1---2.4-12（自學(xué)）P10

2.4-4、2.4-5、2.4-11、2.4-12（本）

用數(shù)字符號(hào)0和1表示相互對(duì)立的邏輯狀態(tài)，稱為邏輯0和邏輯1。

一種狀態(tài)高電位有脈沖閉合真上是……1另一種狀態(tài)低電位無脈沖斷開假