第八章非線性系統(tǒng)

第八章非線性控制系統(tǒng)NonlinearControlSystem內(nèi)容提要§8.1概述§8.2相平面圖§8.3奇點(diǎn)和極限環(huán)§8.4非線性系統(tǒng)的相平面圖分析§8.5非線性特性的描述函數(shù)§8.6用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)§8.1概述典型非線性特性非線性系統(tǒng)的運(yùn)動特點(diǎn)非線性系統(tǒng)的研究方法一、典型非線性特性(一)飽和非線性(Saturationnonlinear)輸入近似飽和特性輸出實(shí)際飽和特性M-Mt-t0輸入0輸出KKh-h(二)死區(qū)非線性(Deadzonenonlinear)一、典型非線性特性(三)間隙非線性(Backlashnonlinear)0輸入輸出Kb-b一、典型非線性特性(四)繼電器型非線性輸入輸出M-M0(a)輸出M-M0h-h輸入(b)輸入輸出M-M0h-h(c)輸出M-M0mh-mh輸入h-h(d)(On-offnonlinear)當(dāng)系統(tǒng)中含有一個或多個具有非線性特性的元件時，該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。一般地，非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為

其中f(0)和g(0)為非線性函數(shù)。

當(dāng)非線性程度不嚴(yán)重時，可以忽略非線性特性的影響，從而可將非線性環(huán)節(jié)視為線性環(huán)節(jié)；當(dāng)系統(tǒng)方程解析且工作在某一數(shù)值附近的較小范圍時，可運(yùn)用小偏差法將非線性模型線性化。

注意，對于非線性程度比較嚴(yán)重，且系統(tǒng)工作范圍較大的非線性系統(tǒng)，只有使用非線性的分析和設(shè)計(jì)方法，才能得到較為正確的結(jié)果。

要對系統(tǒng)進(jìn)行高性能和高精度的控制，必須針對非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，采用非線性控制理論進(jìn)行研究。此外，為了改善系統(tǒng)的性能，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的控制，還必須考慮非線性控制器的設(shè)計(jì)。例如，為了獲得最短時間控制，需對執(zhí)行機(jī)構(gòu)采用繼電控制，使其始終工作在最大電壓或最大功率下，充分發(fā)揮其調(diào)節(jié)能力；這了兼顧系統(tǒng)的響應(yīng)速率和穩(wěn)態(tài)精度，需使用變增益控制器。

非線性特性千差萬別，對于非線性系統(tǒng)，目前還沒有統(tǒng)一的且普遍適用的處理方法。線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特例，線性系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)方法在非線性控制系統(tǒng)的研究中仍將發(fā)揮非常重要的作用

二、非線性系統(tǒng)的運(yùn)動特點(diǎn)(一)穩(wěn)定性與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)及系統(tǒng)的輸入信號和初始條件有關(guān)。研究時應(yīng)注意：1、系統(tǒng)的初始條件；2、系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。二、非線性系統(tǒng)的運(yùn)動特點(diǎn)tE0e(t)(二)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式某些非線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。非線性系統(tǒng)，在初始狀態(tài)的激勵下，可以產(chǎn)生固定振幅和固定頻率的周期振蕩，這種周期振蕩稱為非線性系統(tǒng)的自激振蕩或極限環(huán)。二、非線性系統(tǒng)的運(yùn)動特點(diǎn)(三)極限環(huán)（自激振蕩）e(t)頻率0振幅K′<0>0K

′K′=0K非線性彈簧M重物粘性阻尼器B系統(tǒng)微分方程：M+B+Kx+x=0K′3x..x.(四)頻率響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)行強(qiáng)迫振蕩實(shí)驗(yàn)時的微分方程是：M+B+Kx+x=PcoswtK′3x..x.頻率響應(yīng)具有硬彈簧的機(jī)械系統(tǒng)ωω00x123465K′>0具有軟彈簧的機(jī)械系統(tǒng)ω0ω40x51326K′<0三、非線性系統(tǒng)的研究方法

相平面法(Phase-planetechnique)適用于一階、二階系統(tǒng)描述函數(shù)法(Describingfunctiontechnique)是一種等效線性化方法計(jì)算機(jī)仿真(Computersimulation)§8.2相平面圖相平面法(Phase-planetechnique)是龐卡萊(H.Poincare)提出來的一種用圖解法求解一階、二階微分方程的方法，它實(shí)質(zhì)上屬于狀態(tài)空間分析法在二維空間中的應(yīng)用，該方法適合于研究二階系統(tǒng)。一、相平面圖的基本概念二階系統(tǒng)令x1=x,x2=x.以相變量x1和x2為坐標(biāo)構(gòu)成平面，稱為相平面(phaseplane)。在相平面上，由(x1，x2)以時間為參變量構(gòu)成的曲線，稱為相軌跡(phasetrajectory)。ACBx1=xx2=x.二、相平面圖的繪制對于二階系統(tǒng)f(x,)x..x.=(x,)以x,為相變量，可得到相軌跡通過點(diǎn)的斜率x.x.x.=dxdx.f(x,)x.

(一)相平面圖的特點(diǎn)1、對稱性x.a.關(guān)于軸對稱即f(x,)是關(guān)于x的奇函數(shù)。x.x.=f(x,)x.f(-x,)x.－x.f(x,)x.=f(-x,)x.－或b、關(guān)于x軸對稱即f(x,)是的偶函數(shù)。x.x..f(x,-)x.x.=f(x,)x－x.f(x,)x.=f(x,-)x.或c、關(guān)于原點(diǎn)對稱即f(x,)=-f(-x,-)x.x..x.=f(x,)x－x.f(-x,-)x.－普通點(diǎn)相平面上不同時滿足=0和f(x,)=0的點(diǎn)。x.x.奇點(diǎn)相平面上，同時滿足=0和f(x,)=0的點(diǎn)。x.x.2.奇點(diǎn)和普通點(diǎn)(一)相平面圖的特點(diǎn)(一)相平面圖的特點(diǎn)所以，除了奇點(diǎn)外，相軌跡和x軸垂直相交。在x軸上，所有點(diǎn)都滿足=0。除奇點(diǎn)外相軌跡在x軸上的斜率為x.x.=dxdx.f(x,)x.

=∞3.相軌跡通過x軸的斜率(一)相平面圖的特點(diǎn)在相平面的上半平面，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由左向右運(yùn)動；在下半平面，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由右向左運(yùn)動。系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的移動方向由相軌跡上的箭頭表示。4.相軌跡移動的方向相軌跡方程(二)繪制相平面圖的解析法x.=g(x)例8.1試?yán)L制二階系統(tǒng)的相平面圖解：系統(tǒng)方程改寫為積分得相軌跡方程xx.0x0圖解法是通過逐步作圖的方法，不必解出微分方程，而把結(jié)果直接描繪在相平面上。常用的圖解法有等傾線法和園弧近似法。在等傾線法中，首先用等傾線來確定相平面中相軌跡斜率的分布，然后再繪制相軌跡曲線。(三)繪制相平面圖的圖解法——等傾線法(Isoclinemethod)

等傾線法是求取相軌跡的一種作圖方法，不需求解微分方程。對于求解困難的非線性微分方程，圖解方法顯得尤為實(shí)用。

基本思想：用有限段短的直線逼近相軌跡，而這些短線的斜率等于相應(yīng)位置的相軌跡的斜率。先確定相軌跡的等傾線，進(jìn)而繪出相軌跡的切線方向場，然后從初始條件出發(fā)，沿方向場逐步繪制相軌跡。所有相軌斜率常量的點(diǎn)，構(gòu)成了等斜率線即等傾線。相軌跡的斜率方程為當(dāng)相軌跡經(jīng)過該等傾線上任一點(diǎn)時，其切線的斜率都相等，均為a。取a為若干不同的常數(shù)，即可在相平面上繪制出若干條等傾線，在等傾線上各點(diǎn)處作斜率為a的短直線，并以箭頭表示切線方向，則構(gòu)成相軌跡的切線方向場。

x.=dxdx.f(x,)x.

等傾線方程為相軌跡的繪制過程如下：

1.在相平面畫等傾線（實(shí)線）。2.在等傾線上畫矢量，表示相軌跡在通過該等傾線時的方向，矢量的斜率等于給定相軌跡的斜率a。3.由初始點(diǎn)出發(fā)，按矢量方向作一條小線段，并與相鄰一條等傾線相交；由該交點(diǎn)起，并按該交點(diǎn)矢量方向作一條小線段，再與其相鄰的一條等傾線相交；循此步驟依次進(jìn)行，就可以獲得一條從初始點(diǎn)出了，由各小線段組成的折線，最后對該折線作光滑處理，即得到所求系統(tǒng)的相軌跡。

設(shè)系統(tǒng)方程為得等傾線方程：令=a

dxdx./x.a=-1a=-1.2a=-1.4a=-1.6a=-1.8a=-2a=-2.5a=-3a=-4a=-6a=-11a=9a=4a=2a=1a=0.5a=0a=-0.2a=-0.4a=-1xABCDE改寫為：例8.2xx.解：

+a+x=0x..x.

-

a+x=0x..x.x.>0x.<0的相平面圖求

+a||+x=0x..x.上半平面的等傾線方程：x.1a+a=-x線性二階系統(tǒng)的軌跡特征根：相軌跡方程等傾線方程即等傾線是通過原點(diǎn)的直線。(1)0＜x＜1jωσ兩個實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根相軌跡(2)0＞x＞-1兩個實(shí)部為正的共軛復(fù)根jωσ相軌跡

(3)x＞1兩個負(fù)實(shí)根jωσ相軌跡(4)x＜-1兩個正實(shí)根σjω相軌跡(5)x＝0兩個實(shí)部為零的共軛復(fù)根jωσ相軌跡

xx.兩個異號實(shí)根jωσ(6)相軌跡xx.相軌跡的斜率可表示為x.x.=dxdf(x,)x.

.x.=f(x,)x.在奇點(diǎn)處，相軌跡的斜率不確定，即同時滿足x.=0f(x,)x.=0四奇點(diǎn)和極限環(huán)1.奇點(diǎn)(Singularpoint)線性二階系統(tǒng)的奇點(diǎn)（1）a>0且a2-4b<0，兩個實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，相軌跡奇點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)。（2）a<0且a2-4b<0兩個實(shí)部為正的共軛復(fù)根，相軌跡奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。（3）a>0且a2-4b≥0兩個負(fù)實(shí)根，相軌跡奇點(diǎn)為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。（4）a<0且a2-4b≥0兩個正實(shí)根，相軌跡奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。（5）a=0，一對虛根，相軌跡奇點(diǎn)為中心點(diǎn)。（6）b<0，正負(fù)實(shí)根各一個，相軌跡奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。

對于非線性系統(tǒng)的各個平衡點(diǎn)，若描述非線性過程的非線性函數(shù)解析時，可以通過平衡點(diǎn)處的線性化方程，基于線性系統(tǒng)特征根的分布，確定奇點(diǎn)的類型，進(jìn)而確定平衡點(diǎn)附近相軌跡的運(yùn)動形式。當(dāng)非線性方程在某個區(qū)域可以表示為線性微分方程時，則奇點(diǎn)類型決定該區(qū)域系統(tǒng)運(yùn)動的形式。若對應(yīng)的奇點(diǎn)位于本區(qū)域內(nèi)，則稱為實(shí)奇點(diǎn)；若對應(yīng)的奇點(diǎn)位于其它區(qū)域，則稱為虛奇點(diǎn)。

（2）奇線

當(dāng)非線性系統(tǒng)存在多個奇點(diǎn)時，奇點(diǎn)類型只決定奇點(diǎn)附近相軌跡的運(yùn)動形式，而整個系統(tǒng)的相軌跡，特別是離奇點(diǎn)較遠(yuǎn)的部分，還取決于多個奇點(diǎn)的共同作用，有的會產(chǎn)生特殊的相軌跡，將相平面劃分為具有不同運(yùn)動特點(diǎn)的多個區(qū)域。這種特殊的相軌跡稱為奇線。最常見的奇線是極限環(huán)。極限環(huán)把相平面的某個區(qū)域劃分為內(nèi)部平面和外部平面兩部分。

極限環(huán)是非線性系統(tǒng)中的特有現(xiàn)象，它只發(fā)生在非守恒系統(tǒng)中，產(chǎn)生的原因是由于系統(tǒng)中非線性的作用，使得系統(tǒng)能從非周期性的能源中獲取能量，從而維持周期運(yùn)動形式。

根據(jù)極限環(huán)鄰近相軌跡的運(yùn)動特點(diǎn)，可將極限環(huán)分為三種類型：(1)穩(wěn)定極限環(huán)(2)不穩(wěn)定極限環(huán)極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡曲線都從極限環(huán)發(fā)散。xx.極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡曲線都收斂于該極限環(huán)。xx.(3)半穩(wěn)定極限環(huán)極限環(huán)分割的兩個區(qū)域都是穩(wěn)定的，或都是不穩(wěn)定的。xxx.x.三、由相軌跡求時間響應(yīng)曲線根據(jù)系統(tǒng)的相軌跡可以采用圖解計(jì)算的方法，從相軌跡逐步求出時間信息，從而獲得系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線x(t)。這里我們介紹一種稱為按平均速度求時間信息Dt的方法。由x.=dxdtx.=dxdtΔxBCΔxCDΔtCDΔtABΔtBCtΔxABxABCDxABCDΔxABΔxCDΔxBCx.CDx.BCx.ABx.非線性系統(tǒng)的相平面分析一、繼電型控制系統(tǒng)的分析根據(jù)非線性的線性分段情況，把相平面分成幾個區(qū)域。在各區(qū)域內(nèi)，求出相應(yīng)的線性微分方程，做出各自的相平面圖。根據(jù)連續(xù)性，將相鄰區(qū)域的相軌跡彼此連接成連續(xù)曲線，即得非線性系統(tǒng)的相平面圖。Ks(Ts+1)+M-Mmecr元件特性為：當(dāng)e＞0時,m=M;當(dāng)e＜0時,m=-M.因此分界線為直線e=0。它把相平面分成兩個線性區(qū)Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)。

eⅠe.ⅡA0

eⅠe.ⅡA1A2在區(qū)域Ⅰ內(nèi)T+=-KMe..e.等傾線方程：e.-KM/Ta+1/T=e>0,m=M，系統(tǒng)方程為：在區(qū)域Ⅱ內(nèi)T+=KMe..e.e<0,m=-M系統(tǒng)方程為：與T+=-KMe..e.其相平面圖對稱于原點(diǎn)比較,M-MΔ-Δem若繼電元件有滯環(huán)特性在＞0時的平面內(nèi)，分界線為e=+D。在＜0時的平面內(nèi)，分界線為e=-D。它們把相平面分為兩部分。e&e&eⅠⅡe.其右半平面，系統(tǒng)在+M信號作用下，系統(tǒng)方程為：T+=-KMe..e.相軌跡為曲線族Ⅰ。其左半平面，系統(tǒng)在-M信號作用下，系統(tǒng)方程為：T+=KMe..e.相軌跡為曲線族Ⅱ。M-MΔ-Δem若繼電元件有死區(qū)當(dāng)e＞D,m=+M當(dāng)e＜-D,m=-M當(dāng)-D＜e＜D,m=0元件特性為：分界線為e=+D和e=-D，它們將相平面分為三個區(qū)域eⅠⅡe.Ⅲ在區(qū)域Ⅰ內(nèi)T+=-KMe..e.在區(qū)域Ⅱ內(nèi)T+=KMe..e.在區(qū)域Ⅲ內(nèi)T+=0e..e.相軌跡斜率為：§8.3非線性特性的描述函數(shù)一、諧波線性化描述函數(shù)(describingfunction)是對非線性特性在正弦信號作用下的輸出，進(jìn)行諧波線性化處理之后得到的，表達(dá)形式上類似于線性理論中的幅相頻率特性。描述函數(shù)法對系統(tǒng)的基本假設(shè)是：1、可歸化為下圖所示的典型結(jié)構(gòu)。2、非線性部分輸出中的高次諧波振幅小于基波振幅。3、線性部分的低通濾波效應(yīng)較好。非線性特性G輸入信號x(t)=Asinwt

ω0ωω3ω5ω7Y方波信號的富里葉級數(shù)Mxy0yM0ππ2ωt0ππ2ωtx推廣到一般情況，設(shè)輸出信號可以表示為富氏級數(shù)形式:式中若非線性特性具有奇對稱特性，則A0=0式中二、描述函數(shù)(describingfunction)非線性元件輸出信號y(t)中的一次諧波分量y1(t)與正弦輸入信號x(t)的復(fù)數(shù)比，稱為非線性元件的描述函數(shù)(describingfunction)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中：A為非線性元件正弦輸入信號的振幅；Y1為非線性元件正弦輸入信號中一次諧波分量的振幅；f1為非線性元件正弦輸入信號中一次諧波分量的角位移。三、典型非線性特性的描述函數(shù)(一)飽和非線性輸出y(t)k輸入x(t)s-s0π2π0π-φ1φ1x(t)Xωtx(t)=Xsinwt

π2π0φ1π-φ1ksy(t)ωty(t)y1(t)=Y1sinwt

飽和非線性輸出由于飽和非線性是原點(diǎn)單值奇對稱所以，A0=0，A1=0從圖中可得飽和非線性的描述函數(shù)為0x(t)Xπ2ππ-φ1φ1ωtx(t)=Xsinwt

輸出y(t)k輸入x(t)Δ0-Δkπ2π0φ1π-φ1y(t)ωty(t)y1(t)=Y1sinwt

(二)死區(qū)非線性

非線性的輸出死區(qū)非線性的描述函數(shù)為mhM-M-mhh-hy(t)x(t)0π2π0x(t)Xωtx(t)=Xsinwt

j3j1j2j4π2πy(t)ωty(t)y1(t)=Y1sin(wt+j1)0j3j4j2j1(三)具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器型非線性非線性的輸出式中：由于具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器特性是對原點(diǎn)多值奇對稱，它在正弦輸入作用下的輸出量y(t)既不是奇函數(shù)又不偶函數(shù)，所以A1和B1都必須計(jì)算，但A0=0于是具有死區(qū)和滯環(huán)繼電器的描述函數(shù)為§8.6用描述函數(shù)分析非線性函數(shù)非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)自激振蕩的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化對非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析，首先考慮的是穩(wěn)定性和自激振蕩問題。描述函數(shù)法對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性、產(chǎn)生自激振蕩的條件、自激振蕩的振幅和頻率的確定、以及如何抑制自激振蕩等問題，都能夠給出比較符合實(shí)際的解答。一、非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)一個非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)只是表示了該環(huán)節(jié)在正弦輸入下，環(huán)節(jié)輸出的一次諧波分量與輸入的關(guān)系。如果這個系統(tǒng)發(fā)生了自激振蕩，我們總可以假定非線性環(huán)節(jié)輸入端的振蕩是接近于正弦波的形式。如圖所表示的非線性控制系統(tǒng)，其中G代表系統(tǒng)的線性部分。非線性特性G二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析若已知系統(tǒng)中非線性特性的描述函數(shù)N(X)和線性部分的頻率特性G(jw)，則系統(tǒng)的特征方程為1+N(X)G(jw)=0或N(X)G(jw)=-1可改寫為G(jw)=N(X)-1線性系統(tǒng)的特征方程為G(jw)=-1根據(jù)復(fù)平面內(nèi)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jw)曲線與臨界點(diǎn)(-1，j0)的相對位置，應(yīng)用乃奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)，可以分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在同一復(fù)平面內(nèi)畫以w為參變量的系統(tǒng)線性部分的頻率特性G(jw)曲線和以X為參變量的非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)-1/N(X)曲線，根據(jù)兩者的相對位置，應(yīng)用乃奎斯穩(wěn)定性判據(jù)，可以分析諧波線性化后非線性系統(tǒng)零平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。可以把乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，推廣應(yīng)用于諧波線性化的非線性系統(tǒng)，需要修改的僅僅是將復(fù)平面內(nèi)的臨界點(diǎn)(-1，j0)擴(kuò)展為臨界曲線-1/N(X)曲線。利用乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，如果-1/N(X)曲線不被G(jw)曲線包圍，則系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。ω=0+Xω→∞ReImG(jw)ω=0-1N(X)(a)0如果-1/N(X)曲線被G(jw)曲線全部包圍或部分包圍，則系統(tǒng)狀態(tài)在干擾作用下，不能回到零平衡狀態(tài)，所以系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。

Xω→∞0ReImG(jw)ω=0-1N(X)(b)AA"ω=0+ω→∞0ReImG(jw)ω=0X-1N(X)A′B′BB"(c)三、非線性系統(tǒng)自激振蕩的分析如果非線系統(tǒng)的負(fù)倒描述函數(shù)-1/N(X)曲線與線性部分頻率特性G(jw)曲線相交，交點(diǎn)處的參數(shù)—振幅Xi和頻率wi使系統(tǒng)的特征方程成立，非線性系統(tǒng)可能產(chǎn)生Xisinwit的自激振蕩。AA"ω=0+ω→∞0ReImG(jw)ω=0X-1N(X)A′B′BB"(c)在復(fù)平面內(nèi)G(jw)曲線與-1/N(X)曲線有交點(diǎn)，在交點(diǎn)處，沿A增加的方向-1/N(X)曲線由不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，則該交點(diǎn)處的代表的是穩(wěn)定周期運(yùn)動（自激振蕩）；反之，該交點(diǎn)處的代表的是不穩(wěn)定周期運(yùn)動。

分析非線性系統(tǒng)自激振蕩穩(wěn)定性的判據(jù)為：例8.4解：Xω=0+ω→∞0ReImG(jw)ω=0-2-1N(X)8Mπ,ω=1X=4s(s+1)2

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