微分方程的穩(wěn)定性模型

微分方程的穩(wěn)定性模型第一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日穩(wěn)定性模型的特點(diǎn)

對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過程的變化趨勢(shì)——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。

不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。第二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日目錄6.1

捕魚業(yè)的持續(xù)收獲6.2

軍備競(jìng)賽6.3

種群的相互競(jìng)爭(zhēng)6.4

種群的相互依存6.5

種群的弱肉強(qiáng)食第三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日6.1

捕魚業(yè)的持續(xù)收獲

再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。背景資源分為再生資源（林業(yè)、漁業(yè)等）和非再生資源（礦業(yè)等）。第四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日考察一個(gè)漁場(chǎng)，其中的魚量在天然環(huán)境下按一定規(guī)律增長(zhǎng)，如果捕撈量恰好等于增長(zhǎng)量，那么漁場(chǎng)魚量將保持不變，這個(gè)捕撈量就可以持續(xù)。希望建立在捕撈情況下漁場(chǎng)魚量遵從的方程，分析魚量穩(wěn)定的條件，并且在穩(wěn)定的前提下如何控制捕撈使持續(xù)產(chǎn)量或經(jīng)濟(jì)效益達(dá)到最大？問題及分析

在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。

如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量，漁場(chǎng)魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。實(shí)際問題第五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日產(chǎn)量模型假設(shè)

無(wú)捕撈時(shí)魚的自然增長(zhǎng)服從Logistic規(guī)律

單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比建模

捕撈情況下漁場(chǎng)魚量滿足

不需要求解x(t),只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r~固有增長(zhǎng)率,N~最大魚量h(x)=Ex,E~捕撈強(qiáng)度x(t)~漁場(chǎng)魚量第六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)質(zhì)上，我們并不需求解上面的微分方程以得到x(t)的動(dòng)態(tài)變化過程，只希望知道漁場(chǎng)的穩(wěn)定魚量和保持穩(wěn)定的條件，即時(shí)間t足夠長(zhǎng)以后漁場(chǎng)魚量x(t)的趨向，并由此確定最大持續(xù)產(chǎn)量。為此可以直接求上面常微分方程的平衡點(diǎn)并分析其穩(wěn)定性。第七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日一階常微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡點(diǎn)(或奇點(diǎn))。它也是方程(1)的解.設(shè)x(t)是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)一階微分非線性方程第八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法由于討論方程(1)的穩(wěn)定性時(shí)，可用來(lái)代替.即(1)的近似線性方程易知

x0也是方程(2)的平衡點(diǎn).(2)的通解為關(guān)于x0是否穩(wěn)定有以下結(jié)論：第九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日產(chǎn)量模型平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,

漁場(chǎng)干枯E~捕撈強(qiáng)度r~固有增長(zhǎng)率平衡點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)微分方程的兩個(gè)特殊解。第十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大圖解法P的橫坐標(biāo)x0~平衡點(diǎn)y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo)h~產(chǎn)量產(chǎn)量最大f與h交點(diǎn)Phmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場(chǎng)魚量為最大魚量的一半第十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日效益模型假設(shè)

魚銷售價(jià)格p

單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c

單位時(shí)間利潤(rùn)在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大.穩(wěn)定平衡點(diǎn)求E使R(E)最大漁場(chǎng)魚量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE第十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日EsS(E)T(E)0rE捕撈過度

封閉式捕撈追求利潤(rùn)R(E)最大

開放式捕撈只求利潤(rùn)R(E)>0R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度(臨界強(qiáng)度)Es=2ER臨界強(qiáng)度下的漁場(chǎng)魚量捕撈過度ERE*令=0第十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日6.2

軍備競(jìng)賽

描述雙方(國(guó)家或國(guó)家集團(tuán))軍備競(jìng)賽過程

解釋(預(yù)測(cè))雙方軍備競(jìng)賽的結(jié)局假設(shè)1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快；2）由于經(jīng)濟(jì)實(shí)力限制，一方軍備越大，對(duì)自己軍備增長(zhǎng)的制約越大；3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭(zhēng)端，每一方都存在增加軍備的潛力。進(jìn)一步假設(shè)1）2）的作用為線性；3）的作用為常數(shù)目的第十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日建模軍備競(jìng)賽的結(jié)局常微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性x(t)~甲方軍備數(shù)量，y(t)~乙方軍備數(shù)量,~本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約；

k,l~對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競(jìng)賽的潛力。t時(shí)的x(t)，y(t)第十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日線性常系數(shù)微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x0,y0)=(0,0)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)記系數(shù)矩陣特征方程特征根第十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日線性常系數(shù)微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性特征根平衡點(diǎn)P0(0,0)微分方程一般解形式平衡點(diǎn)P0(0,0)穩(wěn)定平衡點(diǎn)P0(0,0)不穩(wěn)定1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部p>0且q>0p<0或q<0第十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷系數(shù)矩陣平衡點(diǎn)(x0,y0)穩(wěn)定的條件模型軍備競(jìng)賽第十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模型的定性解釋雙方軍備穩(wěn)定(時(shí)間充分長(zhǎng)后趨向有限值)的條件雙方經(jīng)濟(jì)制約大于雙方軍備刺激時(shí)，軍備競(jìng)賽才會(huì)穩(wěn)定，否則軍備將無(wú)限擴(kuò)張。平衡點(diǎn)2)若g=h=0,則x0=y0=0,在

>kl下x(t),y(t)0,

即友好鄰國(guó)通過裁軍可達(dá)到永久和平。模型,~本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約；

k,l~對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競(jìng)賽的潛力。第十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日3）若g,h不為零，即便雙方一時(shí)和解，使某時(shí)x(t),y(t)很小，但因，也會(huì)重整軍備。4）即使某時(shí)一方(由于戰(zhàn)敗或協(xié)議)軍備大減,如x(t)=0，也會(huì)因使該方重整軍備，

即存在互不信任()或固有爭(zhēng)端()的單方面裁軍不會(huì)持久。模型的定性解釋,~本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約；

k,l~對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競(jìng)賽的潛力。模型第二十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日6.3

種群的相互競(jìng)爭(zhēng)

一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競(jìng)爭(zhēng)；相互依存；弱肉強(qiáng)食。

當(dāng)兩個(gè)種群為爭(zhēng)奪同一食物來(lái)源和生存空間相互競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，常見的結(jié)局是，競(jìng)爭(zhēng)力弱的滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。

建立數(shù)學(xué)模型描述兩個(gè)種群相互競(jìng)爭(zhēng)的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。第二十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模型假設(shè)

有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律;

兩種群在一起生存時(shí)，乙對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比;甲對(duì)乙有同樣的作用。對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1)的1

倍。對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙大于甲乙的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)模型第二十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模型分析(平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性)(二階)非線性(自治)方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x10,x20)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)模型第二十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日判斷P0(x10,x20)穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程平衡點(diǎn)P0穩(wěn)定(對(duì)2,1)p>0且q>0平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定(對(duì)2,1)p<0或q<0第二十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日僅當(dāng)1,2<1或1,2>1時(shí)，P3才有意義模型第二十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析平衡點(diǎn)Pi穩(wěn)定條件：p>0且q>0第二十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點(diǎn)2>1,1>1,P1,P2是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn)P3是兩種群共存的平衡點(diǎn)1<1,2<1P1穩(wěn)定的條件1<1?1<12<1穩(wěn)定條件第二十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日0S1S2S3平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的相軌線分析從任意點(diǎn)出發(fā)(t=0)的相軌線都趨向P1(N1,0)(t)P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)(1)2>1,

1<1tx1,x2tx1,x2tx1,x2第二十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日P1P2有相軌線趨向P1有相軌線趨向P2P1穩(wěn)定的條件：直接法2>1P1,P2都不(局部)穩(wěn)定0(3)1<1,2<10(2)1>1,2<10(4)1>1,2>1加上與(4)相區(qū)別的1<1

P2穩(wěn)定

P3穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定第二十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果解釋對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1)的1

倍。對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙小于甲乙的競(jìng)爭(zhēng)力弱

P1穩(wěn)定的條件：1<1,2>12>1甲的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)甲達(dá)到最大容量，乙滅絕

P2穩(wěn)定的條件：1>1,2<1

P3穩(wěn)定的條件：1<1,2<1通常11/2，P3穩(wěn)定條件不滿足第三十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日6.4

種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)甲可以獨(dú)自生存，乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。2)甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。3)甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。第三十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模型假設(shè)

甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。

乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)；乙的增長(zhǎng)又受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的1

倍甲為乙提供食物是乙消耗的2

倍第三十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點(diǎn)第三十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日平衡點(diǎn)P2穩(wěn)定性的相軌線0

1<1,2>1,12<1

P2穩(wěn)定第三十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日12<1~2>1

前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋2>1~甲必須為乙提供足夠的食物——甲為乙提供的食物是乙消耗的2

倍1<1~2>1,12<1

的需要，且1必須足夠小，才能在2>1條件下使12<1

成立

P2穩(wěn)定條件：1<1,2>1,12<1

甲可以獨(dú)自生存乙不能獨(dú)立生存第三十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日6.5

種群的弱肉強(qiáng)食(食餌-捕食者模型)

種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。

模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時(shí)捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？第三十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日食餌（甲）數(shù)量x(t),

捕食者（乙）數(shù)量

y(t)甲獨(dú)立生存的增長(zhǎng)率r乙使甲的增長(zhǎng)率減小，減小量與

y成正比乙獨(dú)立生存的死亡率d甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無(wú)解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力第三十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日Volterra模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析P點(diǎn)穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析p=0,q>0P:臨界狀態(tài)q<0P′不穩(wěn)定第三十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x~y平面上的相軌線第三十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測(cè)x(t),y(t)的周期約為9.6xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9用數(shù)值積分可算出

x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25,

y(t)的平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra)第四十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

消去dt用相軌線分析點(diǎn)穩(wěn)定性c由初始條件確定取指數(shù)第四十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線的圖形用相軌線分析點(diǎn)穩(wěn)定性相軌線時(shí)無(wú)相軌線以下設(shè)第四十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相軌線退化為P點(diǎn)

存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y