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文檔簡介
第六講相關(guān)性與Copula函數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)變量V1
和V2
的相關(guān)系數(shù)被定義為變量V1
和V2
的相關(guān)系數(shù)被定義為獨(dú)立性兩個(gè)變量中,其中任意一個(gè)變量的信息(觀測值)不會(huì)影響另一個(gè)變量的分布,那么兩個(gè)變量在統(tǒng)計(jì)上被定義為獨(dú)立精確地講,變量V1
和V2
在統(tǒng)計(jì)上被定義為相互獨(dú)立,如果對(duì)于所有的x,下列等式成立f(﹒)代表變量的概率密度函數(shù)獨(dú)立性并不等同于零相關(guān)假定變量V1
的值有三種均等的可能:–1,0,或+1如果V1=-1或V1=+1,那么V2=1如果V1=0,那么V2=0可以清楚地看到V1
和V2
有某種關(guān)聯(lián)性,但它們的相關(guān)系數(shù)為0幾種不同的關(guān)聯(lián)形式監(jiān)測相關(guān)系數(shù)定義
xi=(Xi?Xi-1)/Xi-1
和yi=(Yi?Yi-1)/Yi-1varx,n
:以第n-1天估計(jì)的X的日方差vary,n
:以第n-1天估計(jì)的Y的日方差covn
:以第n-1天估計(jì)的協(xié)方差相關(guān)系數(shù)為協(xié)方差第n天的協(xié)方差為經(jīng)常被簡化為監(jiān)測相關(guān)系數(shù)(續(xù))EWMA:GARCH(1,1):協(xié)方差的一致性條件方差-協(xié)方差矩陣Ω滿足內(nèi)部一致性條件的不等式為:對(duì)于所有的向量w,滿足二元正態(tài)分布假定兩個(gè)變量V1
和V2
服從二元正態(tài)分布,假定變量變量V1
的某個(gè)觀察值為v1,V2
在V1
=
v1條件下為正態(tài)分布,期望值為標(biāo)準(zhǔn)差為m1
和m2
分別為V1
和V2
的(無條件)期望值,s1和s2分別為V1
和V2
的(無條件)標(biāo)準(zhǔn)差,r
為V1
和V2
的相關(guān)系數(shù)多元正態(tài)分布很容易處理方差-協(xié)方差矩陣定義了方差和變量間的相關(guān)系數(shù)要滿足內(nèi)部一致性條件,方差-協(xié)方差矩陣就必須是半正定的生成隨機(jī)樣本:模特卡洛模擬在Excel中,采用指令=NORMSINV(RAND())來生成服從正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)對(duì)于產(chǎn)生多元聯(lián)合正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣要采用Cholesky分解的方法因子模型對(duì)N個(gè)變量之間的相關(guān)性進(jìn)行估計(jì),我們需要估計(jì)N(N-1)/2個(gè)參數(shù)采用因子模型進(jìn)行估計(jì),我們就可以減少估計(jì)參數(shù)的數(shù)量單因子模型假設(shè)Ui
服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,可設(shè)其中,共同因子F
和特異因子Zi
均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Ui
和
Uj
的相關(guān)系數(shù)為
ai
aj高斯Copula函數(shù)假設(shè)我們希望在不服從正態(tài)分布的兩個(gè)變量V1
和V2
之間定義一種相關(guān)結(jié)構(gòu)我們將變量V1
和V2
映射到U1
和U2
上,這里的U1
和U2
均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布這種映射為分位數(shù)與分位數(shù)之間的一一映射假定U1
和U2
的聯(lián)合分布為二元正態(tài)分布V之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)是通過U之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)定義的-0.200.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.811.2V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2相關(guān)性假設(shè)V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2一對(duì)一映射例V1V2V1
到
U1
的映射V1分布的分位數(shù)U10.220-0.840.4550.130.6800.840.8951.64V2
到
U2
的映射V2分布的分位數(shù)U20.28?1.410.432?0.470.6680.470.8921.41例:計(jì)算聯(lián)合概率分布V1andV2
都小于0.2的概率,等于U1<?0.84和
U2<?1.41的概率當(dāng)Copula相關(guān)系數(shù)等于0.5時(shí)M(?0.84,?1.41,0.5)=0.043M是二元正態(tài)分布的累積分布函數(shù)其他Copula函數(shù)還有許多其它Copula函數(shù)可以用于描述相關(guān)結(jié)構(gòu)一種可能是二元學(xué)生t-分布二元正態(tài)分布的5000個(gè)隨機(jī)樣本二元學(xué)生t-分布的5000個(gè)隨機(jī)樣本多元Copula函數(shù)類似地,決定我們已知N個(gè)變量V1,V2,…,Vn
的邊際分布我們將Vi
映射到Ui
,其中Ui
服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(這里的映射是分位數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng))假定Ui
服從多元正態(tài)分布因子Copula模型在因子Copula模型中,變量Ui之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)通常被假定由一個(gè)或多個(gè)因子來決定貸款組合模型定義Ti為公司i的違約時(shí)間,將變量Ti的分位數(shù)與Ui
的分位數(shù)之間進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)的映射,假定Ui
滿足式F及Zi
為相互獨(dú)立的正態(tài)分布定義Qi
為Ti
的累積概率分布當(dāng)N(U)=Qi(T)時(shí),Prob(Ui<U)=Prob(Ti<T)貸款組合模型(續(xù))假設(shè)所有公司之間
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