第六講相關性與Copula函數(shù)

第六講相關性與Copula函數(shù)協(xié)方差和相關系數(shù)變量V1

和V2

的相關系數(shù)被定義為變量V1

和V2

的相關系數(shù)被定義為獨立性兩個變量中，其中任意一個變量的信息（觀測值）不會影響另一個變量的分布，那么兩個變量在統(tǒng)計上被定義為獨立精確地講，變量V1

和V2

在統(tǒng)計上被定義為相互獨立，如果對于所有的x，下列等式成立f(﹒)代表變量的概率密度函數(shù)獨立性并不等同于零相關假定變量V1

的值有三種均等的可能：–1，0，或+1如果V1=-1或V1=+1，那么V2=1如果V1=0，那么V2=0可以清楚地看到V1

和V2

有某種關聯(lián)性，但它們的相關系數(shù)為0幾種不同的關聯(lián)形式監(jiān)測相關系數(shù)定義

xi=(Xi?Xi-1)/Xi-1

和yi=(Yi?Yi-1)/Yi-1varx,n

：以第n-1天估計的X的日方差vary,n

：以第n-1天估計的Y的日方差covn

：以第n-1天估計的協(xié)方差相關系數(shù)為協(xié)方差第n天的協(xié)方差為經(jīng)常被簡化為監(jiān)測相關系數(shù)（續(xù)）EWMA：GARCH（1，1）：協(xié)方差的一致性條件方差-協(xié)方差矩陣Ω滿足內(nèi)部一致性條件的不等式為：對于所有的向量w，滿足二元正態(tài)分布假定兩個變量V1

和V2

服從二元正態(tài)分布，假定變量變量V1

的某個觀察值為v1，V2

在V1

=

v1條件下為正態(tài)分布，期望值為標準差為m1

和m2

分別為V1

和V2

的（無條件）期望值，s1和s2分別為V1

和V2

的（無條件）標準差，r

為V1

和V2

的相關系數(shù)多元正態(tài)分布很容易處理方差-協(xié)方差矩陣定義了方差和變量間的相關系數(shù)要滿足內(nèi)部一致性條件，方差-協(xié)方差矩陣就必須是半正定的生成隨機樣本：模特卡洛模擬在Excel中，采用指令=NORMSINV（RAND（））來生成服從正態(tài)分布隨機數(shù)對于產(chǎn)生多元聯(lián)合正態(tài)分布的隨機抽樣要采用Cholesky分解的方法因子模型對N個變量之間的相關性進行估計，我們需要估計N(N-1)/2個參數(shù)采用因子模型進行估計，我們就可以減少估計參數(shù)的數(shù)量單因子模型假設Ui

服從標準正態(tài)分布，可設其中，共同因子F

和特異因子Zi

均服從標準正態(tài)分布Ui

和

Uj

的相關系數(shù)為

ai

aj高斯Copula函數(shù)假設我們希望在不服從正態(tài)分布的兩個變量V1

和V2

之間定義一種相關結(jié)構(gòu)我們將變量V1

和V2

映射到U1

和U2

上，這里的U1

和U2

均服從標準正態(tài)分布這種映射為分位數(shù)與分位數(shù)之間的一一映射假定U1

和U2

的聯(lián)合分布為二元正態(tài)分布V之間的相關結(jié)構(gòu)是通過U之間的相關結(jié)構(gòu)定義的-0.200.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.811.2V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2相關性假設V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2一對一映射例V1V2V1

到

U1

的映射V1分布的分位數(shù)U10.220-0.840.4550.130.6800.840.8951.64V2

到

U2

的映射V2分布的分位數(shù)U20.28?1.410.432?0.470.6680.470.8921.41例：計算聯(lián)合概率分布V1andV2

都小于0.2的概率，等于U1<?0.84和

U2<?1.41的概率當Copula相關系數(shù)等于0.5時M（?0.84,?1.41,0.5）=0.043M是二元正態(tài)分布的累積分布函數(shù)其他Copula函數(shù)還有許多其它Copula函數(shù)可以用于描述相關結(jié)構(gòu)一種可能是二元學生t-分布二元正態(tài)分布的5000個隨機樣本二元學生t-分布的5000個隨機樣本多元Copula函數(shù)類似地，決定我們已知N個變量V1，V2，…，Vn

的邊際分布我們將Vi

映射到Ui

，其中Ui

服從標準正態(tài)分布（這里的映射是分位數(shù)之間的一一對應）假定Ui

服從多元正態(tài)分布因子Copula模型在因子Copula模型中，變量Ui之間的相關結(jié)構(gòu)通常被假定由一個或多個因子來決定貸款組合模型定義Ti為公司i的違約時間，將變量Ti的分位數(shù)與Ui

的分位數(shù)之間進行一一對應的映射，假定Ui

滿足式F及Zi

為相互獨立的正態(tài)分布定義Qi

為Ti

的累積概率分布當N(U)=Qi(T)時，Prob(Ui<U)=Prob(Ti<T)貸款組合模型（續(xù)）假設所有公司之間