機(jī)械工程控制基礎(chǔ)第七章課件

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差（第六章&第七章）穩(wěn)態(tài)誤差(steady-stateerrors,ess)：系統(tǒng)從一個(gè)穩(wěn)態(tài)過(guò)度到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)，或系統(tǒng)受擾動(dòng)又重新平衡后，系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)偏差，這種偏差稱為穩(wěn)態(tài)誤差。（第七章）穩(wěn)定性(stability)：若某個(gè)處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)受到外來(lái)作用的影響，經(jīng)過(guò)一個(gè)過(guò)渡過(guò)程仍能回到平衡狀態(tài)，這個(gè)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。（第六章）

1第七章控制系統(tǒng)的誤差分析與計(jì)算本章主要研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的概念（基于系統(tǒng)的元件都是理想化）及計(jì)算方法。穩(wěn)態(tài)誤差的大小與系統(tǒng)所用的元件精度、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和輸入信號(hào)的形式都有密切的關(guān)系。控制精度是對(duì)控制系統(tǒng)的一項(xiàng)基本要求，而系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)精度的一種尺度。2第一節(jié)相關(guān)概念偏差E(s)偏差的作用點(diǎn)：輸入信號(hào)與反饋信號(hào)的相加點(diǎn)偏差的大?。狠斎胄盘?hào)/（1+開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)）3當(dāng)偏差E(s)等于零時(shí)，系統(tǒng)將不進(jìn)行調(diào)節(jié)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出為期望值Yd(s)：系統(tǒng)輸出的期望值Yd(s)

期望值理論定義：系統(tǒng)不存在偏差時(shí)的輸出期望值的物理意義：控制系統(tǒng)的理想狀態(tài)期望值的大?。狠斎胄盘?hào)/反饋回路傳遞函數(shù)5誤差ε(s)系統(tǒng)輸出的期望值Yd(s)與輸出的實(shí)際值之差誤差理論定義：輸出的期望值與實(shí)際值之差當(dāng)系統(tǒng)為單位反饋時(shí)，誤差等于：①輸入減輸出②偏差。6圖中虛線部分就是誤差所處的位置。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，誤差等于偏差。7由穩(wěn)態(tài)誤差εss(t)公式可知，它與兩個(gè)因素有關(guān)：①系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)②輸入函數(shù)X(s)

影響穩(wěn)態(tài)誤差的兩個(gè)因素第二節(jié)靜態(tài)誤差系數(shù)9系統(tǒng)的類型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，可寫(xiě)成：系統(tǒng)按開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)所包含的積分環(huán)節(jié)數(shù)目的不同，即N=0、N=1、N=2、……，分別稱為0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)（Ⅱ型以上的系統(tǒng)很少，因?yàn)榇藭r(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定性將變差）。

10輸入函數(shù)的形式輸入函數(shù)X(s)的類型常采用如下幾種：階躍函數(shù)：斜坡函數(shù)：加速度函數(shù)：因此，代入不同的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)與不同的輸入函數(shù)X(s)，即可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。11靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp系統(tǒng)對(duì)階躍輸入

的穩(wěn)態(tài)誤差為：13

0型系統(tǒng)（N=0）靜態(tài)位置誤差系數(shù)為：14Ⅰ型系統(tǒng)（N=1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)為：

Ⅱ型系統(tǒng)（N=2）靜態(tài)位置誤差系數(shù)為Kp=∞15靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為：

17

0型系統(tǒng)（N=0）

靜態(tài)速度誤差系數(shù)為：18Ⅰ型系統(tǒng)（N=1）靜態(tài)速度誤差系數(shù)為：19單位反饋系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入的響應(yīng)曲線及穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入；Ⅰ型系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入，但有一定的穩(wěn)態(tài)偏差開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K越大，穩(wěn)態(tài)偏差越??；Ⅱ型或高于Ⅱ型的系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確地跟蹤斜坡輸入，穩(wěn)態(tài)偏差為零。0型Ⅰ型Ⅱ型y(t)y(t)y(t)tttoooy(t)x(t)y(t)x(t)y(t)x(t)21系統(tǒng)對(duì)加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為：靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka22

0型系統(tǒng)（N=0）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為：

23Ⅱ型系統(tǒng)（N=2）

靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為：

25下圖為Ⅱ型單位反饋系統(tǒng)對(duì)加速度輸入信號(hào)的響應(yīng)曲線和加速度偏差。由討論可知，0型和Ⅰ型系統(tǒng)都不能跟蹤加速度輸入信號(hào)；Ⅱ型系統(tǒng)能夠跟蹤加速度輸入信號(hào)，但有一定的穩(wěn)態(tài)偏差，其值與開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K成反比。

y(t)y(t)x(t)to26例7-2單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下：分別求出當(dāng)輸入信號(hào)為1(t)，t和t2時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。(1)解:偏差系數(shù)輸入信號(hào)穩(wěn)態(tài)誤差29(2)解:偏差系數(shù)輸入信號(hào)穩(wěn)態(tài)誤差30例7-3求如圖所示二階振蕩系統(tǒng)在單位階躍輸入、單位斜坡輸入和單位加速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可化為：開(kāi)環(huán)放大系數(shù)為：

系統(tǒng)為I型，單位階躍響應(yīng)時(shí)，單位斜坡響應(yīng)時(shí)，單位加速度響應(yīng)時(shí)，31例7-4單位反饋控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：確定位置誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)和當(dāng)輸入r(t)＝2t時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：開(kāi)環(huán)傳函化為：

位置誤差系數(shù)：

速度誤差系數(shù)：

當(dāng)輸入r(t)=2t時(shí)，32例7-5某一仿形銑床加工一圓形零件，當(dāng)仿形指的最高速度為0.5rad/s時(shí)，要求誤差等于0.5?（0.00087rad），這時(shí)系統(tǒng)應(yīng)為何種類型？其Kv應(yīng)為多少？(提示：仿形指為斜坡輸入)當(dāng)輸入為斜坡輸入的時(shí)候，要想存在誤差，系統(tǒng)應(yīng)為幾型：仿形指輸入的表達(dá)式：誤差等于0.5?（0.00087rad）：x(t)=0.5t、ess=0.00087rad；Ｉ型系統(tǒng)。輸入幅值R=0.5；求Kv：這個(gè)系統(tǒng)是0型？Ｉ型？Ⅱ型系統(tǒng)？該系統(tǒng)的輸入的幅值R和穩(wěn)態(tài)誤差ess？33解：由于仿形指為斜坡輸入，即

x(t)=0.5t，則X(s)=0.5/s2，而ess=0.00087rad，為使刀具能很好跟蹤仿形指，所以系統(tǒng)應(yīng)為Ｉ型系統(tǒng)，即：34例7-6設(shè)溫度計(jì)在1分鐘內(nèi)達(dá)到準(zhǔn)確值的98%，設(shè)溫度計(jì)為一階系統(tǒng)，求時(shí)間常數(shù)。若將溫度計(jì)放在澡盆內(nèi)，澡盆內(nèi)溫度以10°/分的速度線性變化，求溫度計(jì)的誤差。解：(1)一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)為：令t=1得：解得：T=0.256min

(2)在輸入r(t)=10t作用下的時(shí)間響應(yīng):所以：例如當(dāng)t=1min時(shí)，e(t)=2.53℃

35其它輸入信號(hào)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)承受除三種典型信號(hào)之外的某一信號(hào)x(t)輸入，此信號(hào)x(t)在t=0點(diǎn)附近可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)為：高階項(xiàng)為微量，可以忽略，取到二次項(xiàng)，輸入信號(hào)為：把輸入信號(hào)x(t)看作階躍、斜坡、加速度函數(shù)的合成，根據(jù)疊加原理最后將這些誤差疊加起來(lái)就得到總穩(wěn)態(tài)誤差。36例7-7單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，

求：（1）Kp，Kv，Ka；（2）當(dāng)r(t)=5t時(shí)的εss；（3）當(dāng)r(t)=2+2t2+t時(shí)的ess。解:(1)位置誤差系數(shù)：速度誤差系數(shù)：加速度誤差系數(shù)：

(2)當(dāng)r(t)=5t時(shí)，(3)當(dāng)r(t)=2+t+2t2

時(shí)，37

小結(jié)同一系統(tǒng)，輸入信號(hào)不同，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不同。位置誤差、速度誤差、加速度誤差分別指輸入是階躍、斜坡、加速度時(shí)所引起的輸出上的誤差。對(duì)于單位反饋控制系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差等于穩(wěn)態(tài)偏差。對(duì)于非單位反饋控制系統(tǒng)，先求出穩(wěn)態(tài)偏差，再按穩(wěn)態(tài)偏差與穩(wěn)態(tài)誤差之間的公式求出穩(wěn)態(tài)誤差。如為非階躍、斜坡、加速度輸入信號(hào)時(shí)，可把輸入信號(hào)在時(shí)間附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，這樣，可把控制信號(hào)看成幾個(gè)典型信號(hào)之和，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可看成是上述典型信號(hào)分別作用下的誤差之和。38穩(wěn)態(tài)偏差的計(jì)算如圖所示的系統(tǒng)同時(shí)受到輸入信號(hào)X(s)和擾動(dòng)信號(hào)N(s)的作用，它們所引起的穩(wěn)態(tài)偏差，要在輸入端度量并疊加。第三節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算39求輸入信號(hào)X(s)作用下的穩(wěn)態(tài)偏差，可令N(s)=0：40求擾動(dòng)信號(hào)N(s)引起的穩(wěn)態(tài)偏差EN(s)，可令X(s)=0：41系統(tǒng)在輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)作用下的總偏差為：總的穩(wěn)態(tài)偏差為：

42求輸入信號(hào)X(s)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，可令N(s)=0：穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算43求擾動(dòng)信號(hào)N(s)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可令X(s)=0：44系統(tǒng)在輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)作用下的總穩(wěn)態(tài)誤差為：45例7-8某調(diào)速系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)輸入電壓為10V時(shí)，求速度的穩(wěn)態(tài)誤差。解法1：幾乎所有的題目中求的都是穩(wěn)態(tài)誤差，而非穩(wěn)態(tài)偏差，這和實(shí)際系統(tǒng)的狀況是有關(guān)的。因?yàn)榇蟛糠謱?shí)用的控制系統(tǒng)都被設(shè)計(jì)成了單位反饋的形式。由于題中的系統(tǒng)為非單位反饋，因此要想求得速度的穩(wěn)態(tài)誤差，需將上面的框圖變?yōu)閱挝环答伩驁D。46等效框圖47根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方框圖，進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到：與標(biāo)準(zhǔn)方框圖對(duì)比框圖轉(zhuǎn)化48此時(shí)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：由上式可見(jiàn)，系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K=100，原系統(tǒng)輸入為階躍函數(shù)。經(jīng)等效變換后，其穩(wěn)態(tài)誤差為：49解法2：根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算公式前向通路傳遞函數(shù)：反饋通路傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的輸入為：帶入得到：50例7-9如圖所示的電液伺服閥的指令輸入（階躍信號(hào)）為

i(t)=0.01A，擋板組件受熱變形造成的擋板角位移干擾輸入（階躍信號(hào)）為f(t)=-0.000314rad，求這兩個(gè)輸入造成的穩(wěn)態(tài)誤差。51解法1：由于題目要求計(jì)算輸出量

xv(t)的穩(wěn)態(tài)誤差，且此系統(tǒng)不為單位反饋系統(tǒng)，為此先化為單位反饋系統(tǒng)：等效框圖52對(duì)于具有給定輸入與擾動(dòng)輸入而引起總的穩(wěn)態(tài)誤差，可分別求引起的穩(wěn)態(tài)誤差，再按疊加原理，即可得到：53系統(tǒng)僅在X(s)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差εssx：54系統(tǒng)僅在F(s)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差εssf：5556輸入合并為：解法2：即：57首先求穩(wěn)態(tài)偏差，然后根據(jù)穩(wěn)態(tài)偏差和穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系（使用穩(wěn)態(tài)誤差公式計(jì)算）：求出穩(wěn)態(tài)誤差即可。58首先求在I(s)單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ssi：59在I(s)單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ssi為：60然后求在F(s)單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ssf

：61在F(s)單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ssf

為：62例7-10控制系統(tǒng)如圖所示，定義誤差為ε(s)=R(s)-C(s)。設(shè)輸入信號(hào)為r(t)=at，其中a為任意正常數(shù)。試證明適當(dāng)選擇Ki的值，可使控制系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。已經(jīng)系統(tǒng)參數(shù)K、T、Ki均為正的常數(shù)。分析首先明確：本題已明確定義誤差E(s)=R(s)-C(s)穩(wěn)態(tài)誤差:1已知穩(wěn)態(tài)誤差為零:2已知輸入為斜坡信號(hào):3已知控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖:寫(xiě)出閉環(huán)傳遞函數(shù)63證明：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：所以：因?yàn)椋核苑€(wěn)態(tài)誤差為：因?yàn)椋核裕杭催x擇可使系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為0。將上式代入誤差公式：64例7-11控制系統(tǒng)如圖所示，(a)、(b)中X(s)均為1\s。求：(1)當(dāng)開(kāi)環(huán)增益為Kc=1/K時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差εss。(2)當(dāng)閉環(huán)增益Kp滿足KpK>>1時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差εss。(3)由于環(huán)境變化和元件老化等因素使增益K增加10％，且Kc=1/K、KpK＝100，比較開(kāi)環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的控制精度。(a)(b)65解：(1)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：因?yàn)椋?/p>

66(2)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：因?yàn)?，所?/p>

67而在閉環(huán)控制系統(tǒng)中:(3)以

取代圖(a)和(b)中的K，并令

則在開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中：68第四節(jié)減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法一．提高系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益00Ⅱ型0Ｉ型Ｏ型

加速度

斜坡階躍輸入信號(hào)系統(tǒng)類型0型系統(tǒng)跟蹤階躍、Ⅰ型系統(tǒng)跟蹤斜坡、Ⅱ型系統(tǒng)跟蹤加速度信號(hào)時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益增大時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差下降過(guò)大的開(kāi)環(huán)增益又會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差—過(guò)猶不及（參看例6-4）69例7-12求在單位階躍擾動(dòng)作用下的擾動(dòng)誤差ssn其中：解：控制器G1(s)的放大系數(shù)K1↑擾動(dòng)誤差↓阻尼↓振蕩↑70二．增加系統(tǒng)的型號(hào)00Ⅱ型0Ｉ型Ｏ型

加速度

斜坡階躍輸入信號(hào)系統(tǒng)類型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)(前向通路)傳遞函數(shù)中無(wú)積分環(huán)節(jié)(0型系統(tǒng))，跟蹤階躍信號(hào)而引起的穩(wěn)態(tài)誤差為常數(shù)，若含有一個(gè)積分環(huán)節(jié)(Ⅰ型系統(tǒng))，跟蹤階躍信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為零；若含有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)(Ⅱ型系統(tǒng))，跟蹤階躍信號(hào)和斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差均為零。過(guò)多的積分環(huán)節(jié)又會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差—過(guò)猶不及71例7-13求在單位階躍擾動(dòng)作用下的擾動(dòng)誤差ssn其中：72例7-12例7-13例7-7與例7-6比較可知，前者比后者的前向通路多了1個(gè)積分環(huán)節(jié)，而穩(wěn)態(tài)誤差前者為0，后者為非零常數(shù)，所以，適當(dāng)增加系統(tǒng)前向通路的型號(hào)可以減少系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。73三．復(fù)合控制圖(a)所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)，為使穩(wěn)態(tài)誤差減小，可以引進(jìn)補(bǔ)償裝置Gc(s)，給定量X(s)通過(guò)這一環(huán)節(jié)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行開(kāi)環(huán)控制。如圖(b)所示，引入的補(bǔ)償信號(hào)與偏差信號(hào)E(s)一起，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)合控制。74圖(b)復(fù)合控制的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：若使E(s)=0，則：75因而按上式來(lái)選擇補(bǔ)償環(huán)節(jié)Gc(s)，則穩(wěn)態(tài)誤差為零，即Y(s)=X(s)，輸出再現(xiàn)輸入量。這個(gè)條件又稱為按給定輸入的不變性條件。76四．前饋控制為消除由于擾動(dòng)輸入而引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可采用前饋控制。某閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖(a)，把擾動(dòng)輸入N(s)經(jīng)補(bǔ)償裝置Gc(s)送到輸入端而與給定輸入信號(hào)X(s)共同控制這一系統(tǒng)，即為前饋控制，如圖(b)所示。77把E(s)代入Y(s)中，整理得：由上式可看出輸出量由給定輸入量X(