工程力學(xué)24372課件

第六章軸向拉伸與壓縮軸向拉伸與壓縮的概念和實例工程實例——桁架（二力桿）工程實例(1)內(nèi)力是物體內(nèi)部的力，只有將物體假想地截開，并將其顯示地表現(xiàn)出來，才能確定內(nèi)力的大小及其方向例如第六章拉伸與壓縮時的內(nèi)力、應(yīng)力橫截面上的內(nèi)力(2)

設(shè)某個橫截面m-m將物體截開，則橫截面上作用有分布內(nèi)力第六章拉伸與壓縮時的內(nèi)力、應(yīng)力(3)

為確定內(nèi)力的合力，考慮所截得兩部分物體的任意一部分，根據(jù)力的平衡定理，可知橫截面上分布內(nèi)力的合力FN

等于外力F，即FN第六章拉伸與壓縮時的內(nèi)力、應(yīng)力表示桿中的軸力沿軸線分布的圖稱為軸力圖軸力圖可清楚的顯示桿件中軸力的分布，從而得到最大內(nèi)力值及其截面（亦稱為危險截面）所在的位置第六章拉伸與壓縮時的內(nèi)力、應(yīng)力下面通過一個例子來說明軸力圖的做法圖示直桿的軸力

P1=5kN

P2=20kN

P3=25kN

P4=10kN

A

B

C

D

P1

由平衡條件有：=P1=5kN

FN1

P1

P2

由平衡條件有：=P1-

P2=-15kN

P1

P2

P3

由平衡條件有：=P1-P2+P3=10kN

FN1FN2FN2FN3FN3軸力圖

xFN

5kN

15kN

10kN

(+)

(-)

(+)

軸力僅僅是橫截面上分布內(nèi)力總體的度量，不能用來描述、判斷桿件的受力詳細情況，也不能用來刻畫材料的強度等為詳細描述內(nèi)力在橫截面上的分布情況，需要分析和確定橫截面上的應(yīng)力第六章拉伸與壓縮時的內(nèi)力、應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力例如下圖所示的變截面桿件，其材料相同，截面積不同。顯然，桿件任意截面處的軸力相同。當(dāng)力F逐漸增大時，桿件在最細的部分首先斷裂?？梢?，盡管軸力相同，由于桿件粗細不同，他們抵抗破壞的能力是不同的

2

1

F

F

截面積A2

截面積A1

第六章拉伸與壓縮時的內(nèi)力、應(yīng)力平面變形假設(shè)在直桿拉伸和壓縮變形中，作如下假設(shè)，稱之為平面假設(shè)在直桿的軸向拉（壓）變形過程中，變形前垂直于軸線的平面變形后仍保持平面，并且仍與軸線垂直這樣，如果將桿設(shè)想為由無數(shù)縱向纖維組成，則任意兩個平面之間的所有纖維的伸長也相同。根據(jù)材料的均勻性假設(shè)知，內(nèi)力在橫截面上的分布是均勻的橫截面上應(yīng)力的計算公式設(shè)桿橫截面上的軸力為FN，橫截面的面積為A，則單位面積上的內(nèi)力（應(yīng)力）為第六章拉伸與壓縮時的內(nèi)力、應(yīng)力軸力垂直于桿的橫截面，所以應(yīng)力也垂直于桿的橫截面這種垂直于截面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力，通常用s表示。上式就是桿件受軸向拉（壓）時橫截面上正應(yīng)力的計算公式正應(yīng)力s的符號規(guī)定于軸力FN相同，即正軸力產(chǎn)生的應(yīng)力為正，稱為拉應(yīng)力。負(fù)軸力產(chǎn)生的應(yīng)力為負(fù)，稱為壓應(yīng)力即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)第六章拉伸與壓縮時的內(nèi)力、應(yīng)力根據(jù)整體平衡，軸力分布為12330kN60kN50kN80kN桿件各軸段的軸力

60kN

1

2

3

30kN

50kN

80kN

(+)

(-)

(+)

60kN

30kN

20kN

FNx桿件各軸段的應(yīng)力平板在集中和均勻載荷作用下的應(yīng)力分布第六章拉伸與壓縮時的內(nèi)力、應(yīng)力有限元分析結(jié)果第六章拉伸與壓縮時的內(nèi)力、應(yīng)力低碳鋼的拉伸試驗為了便于試驗結(jié)果的相互比較，材料試驗的試件應(yīng)按國家標(biāo)準(zhǔn)《金屬拉力試驗法》（GB228-87）制作成為標(biāo)準(zhǔn)試件l=5d

或l=10ddl材料萬能試驗機ll+l試驗前，測量試件的長度l和直徑d試驗中，對每一個力F，測量試件的伸長Dl低碳鋼的拉伸試驗FDlF—Dl曲線o為消除原始尺寸的影響，使曲線反映材料的本身特性，應(yīng)繪制出s—e曲線s—e曲線稱為應(yīng)力—應(yīng)變曲線繪制出F—Dl曲線（可由自動繪圖儀直接繪制）低碳鋼的拉伸試驗CED彈性階段（曲線的O—A—A1部分）屈服階段（曲線的B—B1—B2部分）強化階段（曲線的B2—E—C部分）局部變形階段（曲線的C—D部分）應(yīng)力—應(yīng)變曲線可分為四個不同的階段AA1B2B1B彈性階段spseAA1曲線的O—A—A1部分當(dāng)應(yīng)力逐漸減小時，材料的變形將完全恢復(fù)，故稱為彈性階段在直線段O—A中，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即

s=Ee

胡克定律，E為直線O—A的斜率彈性階段spseAA1sp——稱為比例極限se——稱為彈性極限通常，近似的認(rèn)為

sp=se屈服階段spseAA1BB2ssB1

曲線的B—B1—B2部分從B點以后，應(yīng)變增加很快，而應(yīng)力卻在水平線上下很小的范圍內(nèi)波動材料暫時失去對變形的抵抗能力，并且產(chǎn)生顯著的塑性變形。這種現(xiàn)象稱為屈服(或流動)屈服階段spseAA1BB2ssB1對應(yīng)于最高點B

點的應(yīng)力稱為屈服上限對應(yīng)于載荷首次下降的低點B1

的應(yīng)力ss稱為屈服下限屈服上限的值一般不穩(wěn)定，依賴的因素較多；而屈服下限的值比較穩(wěn)定屈服下限ss

定義為屈服極限屈服階段spseAA1BB2ssB1材料屈服時，在試件表面上可以觀察到于軸線成45o的傾斜條紋，這些條紋稱為滑移線這是由于材料內(nèi)部晶體沿試件的最大剪應(yīng)力面發(fā)生滑動而引起的屈服極限ss是衡量材料強度性能的重要指標(biāo)強化階段spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb曲線的B2—E—C部分曲線從B2點開始回升，如材料繼續(xù)變形，則必須增加應(yīng)力，這種抵抗變形能力又有所增強的現(xiàn)象稱為材料的強化強化階段的變形絕大部分是塑性變形。整個試件的橫向尺寸明顯縮小強化階段spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsbs—e曲線的最高點C的對應(yīng)應(yīng)力稱為強度極限

sb，是材料所能承受的最大應(yīng)力sb

也是衡量材料強度的一個重要指標(biāo)局部變形階段spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb曲線的C—D部分在C點以前，試件工作段內(nèi)橫截面尺寸的縮小是均勻的。從C點開始，在試件的某一局部處，橫截面尺寸明顯變細，產(chǎn)生“頸縮

”現(xiàn)象D頸縮現(xiàn)象局部變形階段spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb由于橫截面尺寸明顯變細（頸縮現(xiàn)象），因而，s—e曲線變?yōu)檫f減的在D點處，試件被拉斷D頸縮現(xiàn)象伸長率和斷面收縮率spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb試件拉斷后，彈性變形消失，塑性變形仍然保留，為刻畫最大的塑性應(yīng)變d=(l1-l)/l100%

稱為伸長率f=(A-A1)/A100%

稱為斷面收縮率D頸縮現(xiàn)象伸長率和斷面收縮率spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb工程中通常按伸長率的大小，把材料分為兩大類塑性材料—鋼、銅、鋁等脆性材料—鑄鐵、玻璃、巖石等d和f為衡量材料塑性的指標(biāo)D頸縮現(xiàn)象冷作硬化spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb在強化階段某一點（如E點）開始卸出載荷，則在卸載過程中，應(yīng)力應(yīng)變曲線沿EF下降，EF幾乎平行于彈性階段直線OA當(dāng)外載為零時，試件的彈性應(yīng)變ee完全消失，所剩余的應(yīng)變?yōu)闅堄鄳?yīng)變epD頸縮現(xiàn)象冷作硬化spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb此時，如果繼續(xù)對試件加載，則應(yīng)力應(yīng)變曲線首先沿FE，到達E點后，再沿ECD曲線，直至試件斷裂與初始應(yīng)力應(yīng)變曲線相比較，材料的比例極限提高了，這種現(xiàn)象稱為材料的冷作硬化D頸縮現(xiàn)象冷作硬化的應(yīng)用起重機用的鋼繩混凝土中的鋼筋低碳鋼拉伸試驗的主要結(jié)果其它塑性材料在拉伸時的力學(xué)性能有些材料沒有明顯的屈服階段對這些材料，以產(chǎn)生0.2%的殘余應(yīng)變時的應(yīng)力值作為屈服應(yīng)力，稱為名義屈服應(yīng)力鑄鐵的拉伸試驗應(yīng)力應(yīng)變曲線為一條微彎的曲線，沒有直線段斷裂時其伸長率很?。╠

<1%)強度極限sb遠低于低碳鋼的強度極限sb工程上用割線opr代替應(yīng)力應(yīng)變曲線，以便利用胡克定律割線opr的確定要求：opqo的面積與qsrq的面積相等材料在壓縮時的力學(xué)性能試件尺寸要求：h/d=1.5~3壓縮拉伸低碳鋼壓縮試驗屈服階段以前與拉伸基本相同。彈性模量、屈服極限相同在屈服階段以后，由于低炭鋼的塑性較好，截面尺寸明顯變大，無法測得強度極限鑄鐵壓縮試驗（脆性材料）與拉伸試驗相同，沒有直線段和屈服現(xiàn)象壓縮強度約為拉伸強度的4~5倍壓縮斷裂時，斷面與軸線約成45o~55o的角度破壞主要是由斜截面上的最大切應(yīng)力引起的剪切破壞材料在壓縮時的力學(xué)性能許用應(yīng)力第六章拉伸與壓縮時的強度計算最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上最大切應(yīng)力發(fā)生在與軸線夾角為450的斜截面上對于具體的材料，材料所能承受的最大應(yīng)力是有限度的，不能超過某一確定值。應(yīng)力超過此值時，材料將失效（斷裂或塑性變形）稱材料所能承受的最大應(yīng)力（失效時）為該材料的極限應(yīng)力或稱為破壞應(yīng)力極限應(yīng)力通常用0表示。對于塑性材料0=

s，對于脆性材料0=

b。極限應(yīng)力必須通過材料的力學(xué)試驗測定出于結(jié)構(gòu)構(gòu)件工作時安全性的考慮，引入許用應(yīng)力的概念，設(shè)ns為大于1的一個數(shù)，即ns

>1，稱為安全系數(shù)，許用應(yīng)力的定義為第六章拉伸與壓縮時的強度計算安全系數(shù)的確定要依據(jù)構(gòu)件的材料和功能而定，本質(zhì)上講，它是一個與材料無關(guān)的量對于塑性材料ns=

1.2~2.5，對于脆性材料ns=

2~3.5第六章拉伸與壓縮時的強度計算強度條件第六章拉伸與壓縮時的強度計算為了保證材料安全可靠地工作，必須使桿件內(nèi)的最大工作應(yīng)力小于或等于材料的許用應(yīng)力

對軸向拉（壓）的桿件，強度條件為應(yīng)用這一條件可以解決強度計算問題實際中，涉及強度的計算問題有三類：第六章拉伸與壓縮時的強度計算校核強度

根據(jù)已知的軸力FN及橫截面面積A，計算出最大的工作應(yīng)力smax，由許用應(yīng)力[s]和許用應(yīng)力公式判斷桿件是否安全可靠，是否具有足夠的強度。即判斷下列條件是否成立第六章拉伸與壓縮時的強度計算設(shè)計截面根據(jù)已知的軸力FN及許用應(yīng)力[s]

，計算出所要求的最小橫截面面積A，再進一步確定截面尺寸。即應(yīng)用公式第六章拉伸與壓縮時的強度計算確定許用載荷根據(jù)已知的材料的許用應(yīng)力[s]和桿件的橫截面尺寸，利用強度條件

確定桿件的最大許用載荷Pmax例

圖示支架由兩根直桿鉸接而成，桿AB和桿AC間的夾角a=30o，兩桿的橫截面積均為100mm2，材料相同。它們的許用拉應(yīng)力[s+]=200MPa，壓縮許用應(yīng)力[s-]=150MPa。試求支架在B點處所能承受的許用載荷F（由于考慮到BC桿受壓失穩(wěn)的因素，所以壓縮許用應(yīng)力小于拉伸許用應(yīng)力）ABC第六章拉伸與壓縮時的強度計算解首先求的桿AB和BC的軸力，假設(shè)，AB桿受拉力，而BC桿受壓力，其受力如圖所示。根據(jù)B處的平衡條件，得桿AB的拉力FN1和桿BC的壓力FN2分別為

FN1

FN2

F

x

y

ABC根據(jù)兩桿的強度條件，分別計算許用載荷F對AB桿，由有

對BC桿，由因此，為保證安全，支架的許用載荷應(yīng)為兩個數(shù)值中較小者，即Fmax=8.66kN實驗發(fā)現(xiàn)，拉（壓）直桿的變形主要是軸向變形，同時也伴隨著橫向變形當(dāng)桿拉伸時，桿沿軸向伸長，而橫向尺寸的略有縮短；當(dāng)桿壓縮時，其軸向尺寸縮短，而橫向尺寸略有增大FF第六章拉伸與壓縮時的變形計算記等截面直桿變形前的軸長為l，寬為b，在軸向拉（壓）力的作用下，軸線長變?yōu)閘1，寬變?yōu)閎1FFbb1ll1桿的軸向伸長為

橫向收縮為第六章拉伸與壓縮時的變形計算軸向變形和線應(yīng)變引入桿件單位長度的變形量，即線應(yīng)變桿的軸向應(yīng)變和橫向應(yīng)變分別定義為

和e和e1分別表示桿的軸向應(yīng)變和橫向應(yīng)變，無量綱量當(dāng)桿拉伸時，有e>0和e1<0；當(dāng)桿壓縮時，有e<0和e1>0第六章拉伸與壓縮時的變形計算工程中的材料（鋼、銅等）受拉（壓）時，若應(yīng)力不超過材料的比例極限，由實驗、熱力學(xué)理論得知：桿的軸向伸長l與外力F、桿件長度l成正比，而與橫截面面積A成反比這個比例常數(shù)的倒數(shù)稱為材料的彈性模量，通常記為E胡克定律和橫向變形系數(shù)（泊松比）第六章拉伸與壓縮時的變形計算這就是著名的胡克定律（1678），胡克定律反映了在比例極限范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變的線性關(guān)系，也稱為材料的物理方程數(shù)學(xué)表述為：也等價于：或第六章拉伸與壓縮時的變形計算彈性模量E與應(yīng)力有相同的量綱對一般的鋼材料，拉伸和壓縮有相同的彈性模量，大約為200~210GPa（1GPa=109N/m2）自然界中存在著大量的拉伸彈性模量和壓縮彈性模量不相等的材料由于EA越大，桿件的變形越小；EA越小，變形越大。因此，稱EA為桿件的（抗拉）剛度實驗和理論研究發(fā)現(xiàn)，在比例極限范圍內(nèi)，桿的橫向變形和縱向（軸向）變形具有關(guān)系比例常數(shù)m

稱為泊松比或橫向變形系數(shù)，無量綱量第六章拉伸與壓縮時的變形計算理論分析證明泊松比m滿足-1<m<0.5，但實際中，目前還沒有發(fā)現(xiàn)m<0的材料，所以一般材料滿足0<m<0.5

m=0.5意味著是不可壓縮材料幾種常用材料的E和m的值，參見有關(guān)書第六章拉伸與壓縮時的變形計算

例題例

等截面直桿受多力的作用，其橫截面面積為A，材料的拉（壓）彈性模量為E，求桿的總變形

l

3l

2P

P

解1

首先分析桿中的軸力，桿各部分的受力見圖,由靜力平衡方程得

FN1=P

FN2=P-2P=-P

l

3l

2P

P

FN1

P

2P

P

2

1

FN2利用胡克定律，桿件1的伸長為桿件2的伸長為因此，桿的總伸長為疊加原理！？超靜定問題的概念如果系統(tǒng)的未知量數(shù)目等于獨立的平衡方程數(shù)目，則稱系統(tǒng)是靜定的。該問題稱為靜定問題如果系統(tǒng)的未知量數(shù)目大于獨立的平衡方程數(shù)目，則稱系統(tǒng)是超靜定的或靜不定的。該問題稱為超靜定問題或靜不定問題未知量數(shù)目與獨立平衡方程數(shù)目之差，稱為系統(tǒng)的超靜定次數(shù)，保持結(jié)構(gòu)靜定的多余的約束稱為多余約束第六章拉伸與壓縮時的靜不定問題

（靜定問題）（一次超靜定問題）理論力學(xué)研究的是靜定系統(tǒng)問題，對超靜定問題，必須考慮材料的變形特征，問題才能得以解決，材料力學(xué)的任務(wù)之一超靜定問題的例題例1

兩端固定的桿件在中間截面C處受軸向力P的作用，求A、B兩端的支座反力解解除A、B兩端的固定約束，代之于約束反力RA和RB，其受力如圖。

CABRBPRA根據(jù)力的平衡方程，有此方程不能求解兩個未知量，故需要補充方程如記DlAC和DlBC分別為桿AC和桿BC的伸長，桿AB的總伸長為DlAB，則有補充方程來自于問題的位移約束條件。對本問題，由于兩端固定，故桿件總的伸長為零

CABRBPRA利用胡克定律，則桿AC和桿BC的伸長分別為將上式代入變形協(xié)調(diào)方程中，得此方程稱為變形幾何條件或變形協(xié)調(diào)方程

CABRBPRA聯(lián)和靜力平衡方程式，可求得支座的約束反力變形協(xié)調(diào)方程（未知力表示）靜定與超靜定的辯證關(guān)系——多余約束的兩種作用：增加了未知力個數(shù)，同時增加對變形的限制與約束；前者使問題變?yōu)椴豢山猓笳呤箚栴}變?yōu)榭山馇蠼獬o定問題的基本方法總結(jié)求解超靜定問題的基本方法——平衡、變形協(xié)調(diào)、物理關(guān)系?，F(xiàn)在的物理關(guān)系體現(xiàn)為力與桿件伸長的關(guān)系（胡克定律）第六章拉伸與壓縮時的靜不定問題溫度應(yīng)力當(dāng)物體某一部分溫度發(fā)生變化時，該部分產(chǎn)生熱脹冷縮的變形對于靜定結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)可以自由變形，這種熱脹冷縮的變形并不會引起結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力對于超靜定結(jié)構(gòu)，由于多余約束的存在，這種熱脹冷縮的變形將引起結(jié)構(gòu)中應(yīng)力產(chǎn)生。這種應(yīng)力通常稱為溫度應(yīng)力第六章拉伸與壓縮時的靜不定問題由實驗得知，在一定的范圍內(nèi)，當(dāng)物體的溫度發(fā)生變化DT=t2-t1時，物體沿一個方向的伸長與該方向的長度和溫度變化DT的乘積成正比，即

Dl=DTL，稱為熱膨脹系數(shù)，t2、t1分別為終了和起始時刻的溫度桿件在軸力和溫度變化共同作用下的物理關(guān)系（本構(gòu)方程）為正負(fù)號第六章拉伸與壓縮時的靜不定問題例1兩端固定的直桿，當(dāng)溫度上升DT時，求桿中的內(nèi)力解由于直桿兩端固定，因此，

Dl=0從而，桿中內(nèi)力為

FN=-

EADT（物理關(guān)系）

FN

FN裝配應(yīng)力桿件在加工時，其尺寸常存在著微小的誤差，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的幾何形狀出現(xiàn)微小的改變對于靜定結(jié)構(gòu)，這種微小誤差并不會引起結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力對于超靜定結(jié)構(gòu)，由于多余約束的存在，這種微小誤差將引起結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力。這種應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力第六章拉伸與壓縮時的靜不定問題無裝配應(yīng)力存在裝配應(yīng)力例

如圖所示的剛性梁有三根鋼桿支承。鋼桿的橫截面面積均為A，其中中間桿的長度短了D，設(shè)桿的彈性模量為E，求三桿橫截面上的裝配應(yīng)力解等截面直桿在軸向拉（壓）時，在離開力作用點一定距離的中間部分，各截面上的應(yīng)力分布是均勻的對于有圓孔、切口等的桿件，由于截面尺寸的突然變化，應(yīng)力分布將發(fā)生變化理論和實驗研究表明：在桿件尺寸突然改變的截面上，應(yīng)力分布將是不均勻的第六章應(yīng)力集中的概念考慮一個拉力作用下有小圓孔的平板，在圓孔附近的局部范圍內(nèi)，應(yīng)力數(shù)值顯著增大；而離開圓孔少遠的地方，應(yīng)力迅速下降，并且趨于均勻狀態(tài)這種因截面尺寸突然改變而引起應(yīng)力的局部增大現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中第六章應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中（有限元計算實例）設(shè)均勻狀態(tài)的應(yīng)力為s，孔邊最大的應(yīng)力為smax，則比值稱為應(yīng)力集中系數(shù)應(yīng)力集中系數(shù)k是一個大于1的系數(shù)，它與截面尺寸的改變有關(guān)對于前面的例子，由彈性理論知，當(dāng)板寬大于孔徑的四倍時，其應(yīng)力集中系數(shù)k

3第六章應(yīng)力集中的概念研究表明：截面尺寸改變的越急劇，孔越小，凹槽處角度越尖銳，應(yīng)力集中就越嚴(yán)重。即系數(shù)k越大對于脆性材料制成的構(gòu)件，應(yīng)力集中將嚴(yán)重削弱其承載的能力，特別是由構(gòu)件內(nèi)部的不均勻性和缺陷所引起的應(yīng)力集中當(dāng)構(gòu)件受周期性變化的應(yīng)力或受沖擊載荷作用時，無論是塑性還脆性材料，應(yīng)力集中對構(gòu)件的強度都有嚴(yán)重的影響第六章應(yīng)力集中的概念橫向力——沿垂直與桿軸線方向作用的外力桿件在橫向力作用下的變形比較復(fù)雜，其主要變形形式依據(jù)桿件的尺寸、橫向力的作用方式而定

F

F

F

第六章剪切和擠壓的實用計算當(dāng)桿件受到兩個大小相等、方向相反的橫向力F作用時，如果，這兩個力的作用線彼此很靠近，即兩作用線的間距比桿的橫向尺