第24屆全國中學生物理競賽復賽答案

一、參考解

第24 Q處，這時u0的值便是滿足題中條件的最大值；Q處越過而不與平板接觸，這時u0的值便是滿足題中條件的最小值．設小球從臺面水平拋出到與平板發(fā)生第一次碰撞經(jīng)歷為t1，h1gt 若碰撞正好發(fā)生在Q處，則

L 從（1（2）兩式解得的u0值便是滿足題中條件的最大值u0max 代入有關(guān)數(shù)

u0max 如果u0u0max，小球與平板的碰撞處將不在Q點．設小球第一次剛要與平板碰撞時在豎直方向的速v1v1 以v1、V1分別表示碰撞結(jié)束時刻小球和平板沿豎直方向的速度，由于碰撞時間極短，在碰撞過程中，小球和 mv1=mv1因為碰撞是彈性的，且平板是光滑的，由能量守恒

解（6（7）

1mv2 21mV21 2mu0=2 1V=v1 1碰撞后，平板從其平衡位置以V1O與平板處于平衡位置時板的上表面中點重合，x軸的方向豎直向下，若以小球和平板發(fā)生碰撞的時刻作為t0，則平板在t時刻離開平 Acost 式T

和是兩個待定的常量，利用參考圓方法，在t時刻平板振動的速vPQAsint11

A

把（13（14）式代入（10）式

2 2ghTcos2πtπ T 2

碰撞后，小球開始作平拋運動．如果第一次碰撞后，小球再經(jīng)過時間t2與平板發(fā)生第二次碰撞且發(fā)Q處，則在發(fā)生第二次碰撞時，小x座標為在碰撞時，

xt1gt B t 2ghTcos2π π T 2 xBt2xPQt2 由（16（17（18）式，代入有關(guān)數(shù) 這便是 滿足的方程式，通過數(shù)值計算法求解方程可得（參見數(shù)值列表t2如果第二次碰撞正好發(fā)生在平板的邊緣Q處，則Lu0t1t2

由（1（20）和（21）u0

t

而滿足題中要求的u0的最小值應大于（22）式給出的值．綜合以上討論，u0的取值范圍附：（19）數(shù)值求

0.46m/su0 用數(shù)值解法則要代入t2不同數(shù)值，逐步近所求值，列表如 4.41cosπtπ 2 x4.90t xPQ00-----二、參考解解法BA軸作圓周運動，其速度

vB 點的向心加速度的大

Ba B因為是勻角速轉(zhuǎn)動，B點的切向加速度為0aB也是B點的加速度，其方向沿BA方向．因為CD軸作圓周運動，其速度的大小用vC表示，方向垂直于桿CD，在的時刻，由圖可知，其方向沿桿BC方向．2BCBCBC2 vcosπ CDD軸按順時針方向轉(zhuǎn)動，C點的法向加速vaCn

BBv其方向CD方向

28

下面來分析C點沿垂直于桿CD方向的加速度，即切向加速度aCt．BC是剛性桿，所C點相B點的運動只能是B的轉(zhuǎn)動，C點對B點的速度方向必垂直于桿BCvCB表示其速度的大小，根據(jù)速度合成公式 由幾何關(guān)系 v2v v2v

CB作圓周運動，相對B的向心加速

v

因為CB 其方向垂直桿

24

由（2）式及圖可知，B點的加速度沿BC桿的分量

cos4

a a 32 B

a 74

arctan

arctan6 解法二：通過微商求C Ax4此時各桿的位置分別用和ABlBC點坐標表示

2l，CD22l，AD3l，dxClcosyClsin

2l

dxC d2sind l dt

d

2cosdt

d2 d d d2Clcos 2cos 2 dt dtd2 d

dt

dtd

dt2d2Clsin 2sin 2 根據(jù)幾何關(guān)即

dt

dt dt dt2CDsinABsinBCCDcosABcosBCcos22sinsin2 22cos3cos將（7（8）式平方后相加且化簡，

2sinsin2coscos3cos32cos2 2對（9）t求一階微商，代入ππd d1 對（9）式對時間t求二階微商，并代入上述數(shù)據(jù)d23 將（10（11）式以及，， d2 Cldt d2 Cl 所

aC

74ldd2 Cd2dtC

所以求

d2ytan Cdt2

d2x C dt2arctan1.4CC 三、參考解mola室中增加的mol氣體在進入容器前的體積V，氣體進a室的過程中，大氣對這部分Ap0UCVTT0

U 4pV 50 由以上各式

p0V0RTV5CVT 5CV

K2打開后，a室中的氣體向b室自由膨脹，因系統(tǒng)絕熱又無外界做功，氣體內(nèi)能不變，所以溫度不（仍為T，而體積增大為原來的2倍．由狀態(tài)方程知，氣體壓強p1 2關(guān)閉K2，兩室中的氣體狀態(tài)相同ppp，TTT，VVV，且1 拔掉銷釘后，緩慢推動活塞 ，壓縮氣體的過程為熱程，達最狀態(tài)時設室氣體壓、體積溫為pa、pb、V、Vb、、b有VVVV

a aVVVV

由于隔板與容器內(nèi)壁無摩擦，故

b bpa 由理想氣體狀態(tài)方程

因 由（8～（15）式可

VV1 2 TT2CV 在推動活塞壓縮氣體這一絕熱過程中，隔板對a室氣體作的功W等于a室中氣體內(nèi)能的增加，W1CTT 由（6（17）和（18）

W C 2CV1p 02R 四、參考解設某一時刻線框在磁場區(qū)域的深xxl1，速v，因線框的一條邊切割磁感應線產(chǎn)生的感應電動勢為vBl2，它框中引起感應電流，感應電流的變化又7 時針方向，則切割磁感應線產(chǎn)生的電動勢 與設定的正方向相反，自感電動勢v同.因線框處于超導狀態(tài)，電阻R0，故

EELivBliR 即Li 或

x

Bl2x 即可見ix

i iBl2xCCx0i0，可得C0iBl2L

x0時i0，電流為負值表示線框中電流的方向與設定的正方向相反，即框進入磁場區(qū)域時右側(cè)邊的電流B2lfBl2i 2x

其大小與線框位移x成正比，方向與位移x相反，具有“彈性力”的性質(zhì)．下面分兩種情形做進一步分（）v00 周T振動的振幅可由能量關(guān)系求得，令xm表示線框速度減為0時進入磁場區(qū)的深度，這時線框的初始動能全部轉(zhuǎn)1mv 1B2l2 2 2L得xm 故其運動方程xLmsint，t從xLmsin2 2半個周期后，線框退出磁場區(qū)，將以速度v0向左勻速運動．因為在這種情況下xm的最大值是l1 1mv2 2l 2 由此可知，發(fā)生第（i）種情況時，v0的值要滿足下 1B2l2mv0 2 2L v0這要求v0滿足下式v0當線框的初速度滿足（15）12）x0到x1，所以時間間隔與（12）式不同，而是從0到 1t Lm 121

Bl2 生的電動勢之和為0，因而自感電動勢也為0．此后線框中維持有最大的電流iBl2l，磁場對線框兩條 L邊的安培力的合力等于零，線框?qū)⒃诖艌鰠^(qū)域勻速前進，運動的速度可由下式?jīng)Q 1mv2 mv2 2l 2 即v 五、參考解解法一由于等離子層的厚度遠小于地球的半徑，故在所的等離子區(qū)域內(nèi)的引力場和磁場都可視為勻強場.引力加速

BR03B3.0105T2.410-7 r 125 R

9.8m/s2gr0

g0 uy等離子層中的某一質(zhì)量為m、電荷量為q、初速度為u的粒子，取粒子所在處為坐標原點O，作一直角坐標系Oxyz，Ox軸指向地球中心，Oz1所示.該粒子的初速度在坐標系中的三個分量分uyyz軸垂直，故z軸方向不受力作用z軸的分度保持不變.現(xiàn)設想在開始時刻，附加給y軸正向大小為v0的速度，同時附加給粒子一沿y軸負方向大 v0的速度，要求與其中一個v0相聯(lián)系的洛倫茲力正好與qv0B得v

uuu這樣， 的粒子的速度可分為三部分

沿z軸的分速度uz．其大小和方向都保持不變，但對不同的粒子是不同的，屬于等離子層中粒子的無規(guī)y軸的速度v0．對帶正電的粒子，速度的方向沿y軸的負方向，對帶負電的粒子，速度的方向沿y軸的正方向．與這速度聯(lián)系的洛倫茲力正好和引力抵消，故粒子將以速率v0沿y軸運動．由（3）式可知，v0的大在Oxy平面內(nèi)的v．與這速度聯(lián)系的洛倫茲力使粒Oxy平面內(nèi)作速率為v的勻速率圓周運動，若以R表示圓周的半徑，則有qvBmvR得R 由（4（5）式可知，軌道半徑不僅與粒子的質(zhì)量有關(guān)，而且與粒子的初速度的x分量ux和y分量uy有關(guān)． 由（3）式和（1（2）兩式以及有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子和質(zhì)子的漂移速度分 9.2106 1.7102

jnqv0pv0e 代入有關(guān)數(shù)

j2.81014 電流密度的方向沿緯度向東上一小題的討論表明，粒子在Oxy 平面內(nèi)作圓周運動，運動的速率由（4）式給出，它與粒子的初速度有為u2vu2v由（1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入題給的有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子、質(zhì)子的軌道半徑分ReRp

2e066m和2p29.6m解法由于等離子層的厚度遠小于地球半徑，故在所等離子區(qū)域內(nèi)的引力場和磁場都可視為勻強場.在該域內(nèi)磁場的磁感引力加速

R0 3.0B 3BB 3B

T2.4

gR02 9.8m/s2 r 25 vz表示粒子在任意時刻t的速度v在x方向y方向和z方向 分速度，則帶電粒子在引力和洛倫茲力的共同作用下的運動程mdvxmg

B

mg

qBvy mdvyqv mdvz0（5）式表明，所粒子的速度在z軸上的分量保持不變，vzu

作變量代換

Vxv Vyvy 其v

把（7（8）式代入（3（4）式

mdVx

mdVyqV FxqBVyFyV2V若用表示F的方向與x軸的夾角，表示V的方向與x軸的夾角，V2V tanFy1 tan2tan1tan21F的方向與VFOxy平面內(nèi)作速率為V的勻速圓周運動．若以R表示圓周的半徑，則有qVBmVRR

時刻Vx Vyuy故uuu以上討論表明，粒子的運動可分成三部

根據(jù)（6）vzuz，可知粒子沿z軸的分速度大小和方向都保持不變，但對不同的粒子是不同的，屬于根據(jù)（7）vxVxvyVyv0Oxy平面內(nèi)以速率V且與粒子的初速度的x分量ux和y分量uy有關(guān)．圓周運動的速度方向是隨時間變化的，在圓周運動的一個周期內(nèi)的平均速度等于0．沿y軸的速v0由（8）式給出，其大小是恒定的，與粒子的初速度無關(guān)，同種粒子相同，但對帶正電粒子，其方向沿y軸的負方向，對帶負電的粒子，其方向沿y軸的正方向（8v0由（8）式和（1（2）兩式以及有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子和質(zhì)子的漂移速度分 1.7102

由于電子、質(zhì)子漂移速度的方相反，電荷異號，它們產(chǎn)生的電流方向相同，均為沿緯度向東.根據(jù)電度的定義代入有關(guān)數(shù)電流密度的方向沿緯度向東

jnqv0pv0ej2.81014

Oxy平面內(nèi)作圓周運動，運動的速率由（12）式給出，它與粒子的初速u2vu2vuxy（1）、（2、（8、（11）、（12各式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子、質(zhì)子的ReRp

為2e66m和2p29.6m在六、參考解2．ld1、2兩問的參考解法1.求S經(jīng)雙縫產(chǎn)生 圖像的零級亮紋P0的位設P0點的坐標為y0，它也就是光源S與S分別對應 條紋的零級亮紋之間的距離，由雙P0點的光程差1S2P0S1P0S1S2P0的垂線H點OP0P0與三角S1HS2相Dd，則dyd （ D 2G

S S2 1S2作SS1的垂線交GS到雙縫的2SS2 （三角形SOSS1GS2ldSSGGSGSd （ SSSPSSSPdyds 2 1 得yDs

（2.光源情況下，可以導出雙縫的相鄰兩亮紋的間距yDd

（s距y（w的擴展光源是由一系列s察的的每產(chǎn)生紋加擴度為w代入（4）

sD

（y 若

（y （的的的套由（5）式和（7）w解法

PyM是由擴展光源上yMP的平行光bb是由擴展光源下端邊緣發(fā)出的平行abMabMP0 aa光束中的光線aM1M31P到達觀察屏上P點；光線a經(jīng)過M2M4S2PP生套束b套源在0和雙孔，然后在觀察屏上產(chǎn)生很多套條紋．這些條紋光強度彼此相加，屏幕上就形成了光強度的分布圖2aa與b條紋的相對位置錯開的程度由對稱性考慮，平行光束aa中兩條光線aa在觀察屏上P0的光程差為0，即平行光aa產(chǎn)生的那套干bbbM1M3S1bM1點算起，所經(jīng)光程為M1M3M3S1bM2M4S2bM2M2M4M4S2．由對稱M1M3M3S1M2M4M4 也就是說M1M2算起，光b和bS1S2的光程是相等的，但b和b在到M1M2時，二者的相位卻M2作斜入射光線bM1的垂線HM2H相位相等，因此，斜入射的兩條平行光線b和bS1S2時的相位差是光程差HM1引起的1M2M4S2HM1M3S1HM1 從擴展光源下邊緣發(fā)出的平行光束斜入射到測星儀，經(jīng)雙孔后發(fā)出的相干光在觀察屏上坐標為y（坐標原點取P0上）的P點上引起的光程差hd 其零級亮紋所在位P0對應的光程差0P0的坐yh 這也就是平行光aa與bb產(chǎn)生的條紋的零級亮紋（也是兩套條紋）錯開的距yhd因光源情況下，可以導出雙孔的相鄰兩亮紋的間距yDd當二者錯開一個條紋間隔時yy，代入（6）式（星光波長采用h

到到大節(jié)MM2離h時h（7式就可確定擴展光源角直徑的大注：實際星體都看作均勻亮度的圓形擴展光源，通過調(diào)節(jié) 使屏幕上的條紋，即各處強度完全等時，通過數(shù)學計算， 遜測星儀測量得的星體角直徑 h解法3所示，對M1、M3而言，找出S1M3的中間S1M1所成的S1以及光線aM1、M3的反FGGS1GS1FS1FS1，故FS1FG即從a上一S1S1的光程相等．同理可證，從b上一點到S1S1的光程相等M2、 a1ba1bGFh

等aa垂直雙孔屏，故lala

平行光束bb斜入射時，可S1、S2b、b兩光線到達S1、S2處的光程差lb．由S2作bS1的垂（見圖

lbHS1hsin 00S通過雙孔S1S2后光線bb射出的相干光線在屏幕上形成的零級亮紋不可能位于P0處，因為二者到達雙孔前光線b已超前了光線b，如5所示，光線bS2孔后要多走一段光程來抵消前面的相位差，以達到與光線b在沒有光程差的情況下相交于遠方屏幕上，形成零級亮紋．該點所對應的bS2孔后多走的lbS2P0S1P0dsin 從lblb可求得平行光束bb經(jīng)雙孔后在觀察屏上 零級條紋位置P0．由（3）式和（4）式，P0的位置坐

hdy0Dtan

由小到大調(diào)節(jié)反射鏡M1、M2之間的距離（也就是S1、S2之間的距離）h，直到屏幕上的 各處強度完全相等時，記下此時h的值.這時相干光bb在屏幕上零級亮紋位置P0與P0的距離P0P0等于條紋間隔y，代入（7）由（5（9）

P0P0y00yPPD0 dh

解法根據(jù)2問的結(jié)果，為使條紋能被分辨