武康平-高級微觀經(jīng)濟學(xué)08風(fēng)險厭惡度量課件

Lecture8風(fēng)險厭惡度量MeasureofRiskAversion1Topicstobediscussed預(yù)期效用與主觀概率理論，對人們在不確定環(huán)境中的行為進行了準(zhǔn)確描述和深刻分析，論證了人們追求預(yù)期效用最大化的行為準(zhǔn)則，為研究不確定條件下的選擇問題提供了很好的理論基礎(chǔ)。本講在此基礎(chǔ)上展開進一步討論，議題主要有三個：預(yù)期效用與主觀概率理論是否反映了實際現(xiàn)象？在不確定的環(huán)境中，人們對待風(fēng)險的態(tài)度如何？如何測定人們的風(fēng)險規(guī)避傾向的強弱？第三個問題是本講要重點討論的。事實上，從賭博事例已經(jīng)看到，隨著效用函數(shù)的性能發(fā)生“凸性線性凹性”的變化，消費者對待風(fēng)險的態(tài)度相應(yīng)地發(fā)生“愛好中立厭惡”的變化。由此可以猜想：效用函數(shù)越凹，人們越厭惡風(fēng)險，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。我們將證明這一猜想。由此猜想可引出一種辦法來測定人們的風(fēng)險規(guī)避傾向的強弱——風(fēng)險厭惡度量。2關(guān)于預(yù)期效用的悖論與爭議關(guān)于不確定條件下的選擇問題，預(yù)期效用和主觀概率似乎是完美的和合乎實際的理論，讓我們完全有理由相信人們在不確定的環(huán)境(風(fēng)險環(huán)境或無常環(huán)境)中是根據(jù)預(yù)期效用大小進行評判和選擇的。然而阿萊和艾斯勃格分別對預(yù)期效用和主觀概率進行了實際考察，發(fā)現(xiàn)了理論與實際不符的兩個現(xiàn)象：AllaisParadox和EllsbergParadox，引起了人們對這兩種理論的質(zhì)疑和爭議。有些人借此否定預(yù)期效用和主觀概率理論，認為需要建立新的理論來解釋不確定條件下的選擇行為。另一些人則認為，出現(xiàn)如此悖論的原因不是理論錯了，而在于人們進行評判時發(fā)生了“視覺錯誤”。比如，有時候人們無法判斷距離，但這不意味著需要重新發(fā)明一種距離概念。因此，預(yù)期效用和主觀概率理論是正確的。下面，我們介紹這兩個悖論。3計算預(yù)期效用設(shè)消費者的預(yù)期效用函數(shù)為

u。計算一下預(yù)期效用，則有：

u(A)=u(100)u(B)=u(110)10%+u(100)89%+u(0)1%u(C)=u(100)11%+u(0)89%

u(D)=u(110)10%+

u(0)90%

根據(jù)調(diào)查結(jié)果A

B，應(yīng)有u(A)>u(B)。由此可知：u(100)11%>u(110)10%+u(0)1%在此式兩邊加上u(0)89%

可得：u(100)11%+u(0)89%>u(110)10%+u(0)90%

即

u(C

)

>

u(D)，這與調(diào)查結(jié)果

D

C

相矛盾：通過預(yù)期效用函數(shù)

u

得到的評價與調(diào)查出的消費者實際評價相悖。這一悖論是否說明預(yù)期效用理論有些不切實際？其實，這個悖論中消費者評價的“視覺錯誤”是明顯存在的。(一)AllaisParadox關(guān)于預(yù)期效用的悖論與爭議5

從袋中摸出一球，如果為紅球，可得1000元。

從袋中摸出一球，如果為藍球，可得1000元。

從袋中摸出一球，若不是紅球，可得1000元。

從袋中摸出一球，若不是藍球，可得1000元。主觀判斷：面對這四種賭博，每個人都需要對袋中有多少藍球和有多少綠球作出自己的主觀判斷，因而涉及主觀概率。調(diào)查結(jié)果：通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)人認為

A

B

且

C

D

。其原因可能在于

A

的確定性比

B

高，C

的確定性比

D

高。

P：賭博者的主觀概率測度。

u

：賭博者在主觀概率測度

P

下的預(yù)期效用函數(shù)。

F

：摸出的是紅球。：摸出的不是紅球。

G：摸出的是藍球。：摸出的不是藍球。(二)EllsbergParadox這是關(guān)于主觀概率的悖論。情景：袋中有紅、藍、綠球共300個，其中紅球100個?，F(xiàn)有四種形式的賭博A、B、C、D：關(guān)于預(yù)期效用的悖論與爭議6計算預(yù)期效用從A

B知：(

p-

q)

u(1000)>(

p-

q)

u(0)。從

C

D

知：(

p-

q)

u(1000)<(

p-

q)

u(0)。這是兩個矛盾的不等式！可見，按照主觀概率理論，根本不可能讓A

B

和

C

D同時成立。然而，調(diào)查得到的事實卻是如此。因此，主觀概率理論也有不切實際的地方和時候。其實，出現(xiàn)這個悖論的原因依然在于評判上的錯覺。是調(diào)查中消費者評價錯了，而不是理論錯了。

令p

=

P(F

)，q

=

P(G

)。則。計算這四種賭博的效用，可得到：(二)EllsbergParadox關(guān)于預(yù)期效用的悖論與爭議7(一)

熱衷態(tài)度風(fēng)險愛好者：對任何非退化風(fēng)險行為X，都有

E。對于風(fēng)險行動X和確定性行動

xX

，當(dāng)

E

=

x

時，如果消費者認為

比

x

好(

x)，就足以說明消費者熱衷冒險：不冒險，就沒有取得高收益的可能；為了高收益，值得去冒險。這種熱衷于冒險的消費者，叫做風(fēng)險愛好者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)y證明：

x,

yX

及

p[0,1]，有u(

y)這就說明，U(x)是嚴(yán)格凸函數(shù)。Xu(x)xyEu(E

)u(

)對待風(fēng)險的態(tài)度風(fēng)險愛好者的結(jié)果效用函數(shù)U

:

XR

嚴(yán)格凸。9(二)

冷淡態(tài)度風(fēng)險冷淡者：對任何

X，都有

E。

xy

=

px(1

p)yy

E

y這說明U(x)是凹函數(shù)，故擬凹，從而結(jié)果偏好是凸偏好。XxyE

=

px+(1

p)y結(jié)果偏好是凸偏好對于風(fēng)險行動X和確定性行動

xX

，當(dāng)

E

=

x

時，如果消費者認為

不比

x

好(

x)，則說明消費者不熱衷于冒險，對風(fēng)險抱冷淡態(tài)度：不愿意冒險追求高收益。這種不熱衷于冒險的消費者，叫做風(fēng)險冷淡者。對待風(fēng)險的態(tài)度風(fēng)險冷淡者的結(jié)果效用函數(shù)是凹函數(shù)，從而結(jié)果偏好是凸偏好。證明：

x,

yX

及

p[0,1]，有10這說明U(x)嚴(yán)格凹，故嚴(yán)格擬凹，從而結(jié)果偏好嚴(yán)格凸。對于風(fēng)險行動X和確定性行動

xX

，當(dāng)

E

=

x

時，如果認為

比

x

差(x)，則說明討厭冒險，根本不會冒險追求高收益。這種討厭冒險的消費者，叫做風(fēng)險厭惡者或風(fēng)險規(guī)避者。1.風(fēng)險厭惡者風(fēng)險厭惡者：對任何非退化風(fēng)險行為X，都有

E。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)yu(

y)Xu(x)xyEu(E

)u(

)(二)

冷淡態(tài)度對待風(fēng)險的態(tài)度風(fēng)險厭惡者的結(jié)果效用函數(shù)嚴(yán)格凹，從而結(jié)果偏好嚴(yán)格凸。證明：

x,

yX

及

p[0,1]，有11(三)

結(jié)果效用函數(shù)的基數(shù)意義經(jīng)濟活動者要么是風(fēng)險愛好者，要么是風(fēng)險冷淡者。應(yīng)該說，絕大多部分人都是風(fēng)險冷淡者。這樣一來，在預(yù)期效用函數(shù)下，絕大多數(shù)人的結(jié)果效用函數(shù)都是凹函數(shù)，結(jié)果偏好是凸偏好，而只有少數(shù)人的結(jié)果效用函數(shù)是凸函數(shù)。無論如何，風(fēng)險選擇理論讓我們進一步看到了確定性條件下對消費者偏好作出凸性假設(shè)的合理性，也看到了確定性偏好的必然凸性。更重要的是，我們看到了每個人在確定性選擇集合上都存在著凹或凸的效用函數(shù)。凹的效用函數(shù)說明邊際效用遞減，凸的則說邊際效用遞增。邊際效用是基數(shù)意義下的效用。只有在基數(shù)效用意義下，才能談?wù)撔в迷黾佣嗌?。凹或凸的結(jié)果效用函數(shù)的存在，意味著基數(shù)意義上的效用函數(shù)存在。因此，預(yù)期效用函數(shù)存在定理順便回答了基數(shù)效用函數(shù)的存在性問題，而且是肯定的回答。對待風(fēng)險的態(tài)度13財富計量：以元為單位。假定經(jīng)濟人當(dāng)前有w元。經(jīng)濟人的財富收入效用函數(shù)

u(r)：(rR)(u

(r)

>

0)。隨機事件

F：發(fā)生的概率為p。通過事件F，可以設(shè)計賭博。賭博

g(x,

y)：若事件F

發(fā)生，則贏

x

元，財富變?yōu)閣

+x

元；若事件F

未發(fā)生，則贏

y

元，經(jīng)濟人的財富變?yōu)閣

+y

元。平面R2：每一點(x,

y)R2

都代表一個賭博g(x,

y)。這樣，R2代表通過F

設(shè)計的賭博的全體G：G

=

R2

，稱為賭博平面。賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)

以上對于消費者對待風(fēng)險的態(tài)度的研究表明，沒有風(fēng)險規(guī)避傾向的風(fēng)險愛好者，其結(jié)果效用函數(shù)是嚴(yán)格凸的；而對風(fēng)險持中立態(tài)度的消費者，其結(jié)果效用函數(shù)既不嚴(yán)格凸，也不嚴(yán)格凹；一旦消費者具有了風(fēng)險規(guī)避傾向，其結(jié)果效用函數(shù)就成為嚴(yán)格凹的。這種現(xiàn)象讓我們產(chǎn)生一種猜想：效用函數(shù)越凹，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。那么，這一猜想是否正確？我們還是以為賭博為例，來對這個問題進行說明。14(一)

賭博平面偏盈賭博px

+

(1p)y

>

0偏虧賭博px

+

(1p)y

<

0xyo原點(0,0)代表不賭

賭博平面G=R2賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)

公平賭博：px

+

(1p)y

=

0(x,

y)(x,

y)15風(fēng)險冷淡者的接受集是凸集。

證明：任意給定(x,

y

),

(x,

y)GA

及實數(shù)t[0,1]。為方便起見，令(x,

y)

=

t

(x,

y

)

+

(1t)(x,

y)。此刻

u

為凹函數(shù)，我們有1.接受集的凸性故(x,

y)GA。這說明，風(fēng)險冷淡者的接受集GA是凸集。(二)

接受集GA賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)

17由此可得下述結(jié)論：

(0)正是接受集邊界

GA

在原點處的切線斜率。GA

在原點(0,0)處的切線方程：p

x+(1

p)

y=0。GA在原點(0,0)處的切線正是公平賭博直線！接受集邊界GA={(x,

y)R2

:pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)}邊界方程pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)

隱含著y

=

(x)。求導(dǎo)可得：p

u(w+x)+(1p)

u(w+y)

(x)=0令

x

=

0，即得到y(tǒng)

=

(x)在

x

=

0

處的導(dǎo)數(shù)：2.接受集邊界在原點處的切線(二)

接受集GA賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)

18

(0)與u(w)

u(w)成正比，從而接受集邊界GA在原點(0,0)處的曲率大小與

u(w)

u(w)

成正比！3.接受集邊界在原點處的曲率接受集邊界GA在原點處的曲率大小與

(0)成正比。通過求導(dǎo)，可計算出

(0)

：(二)

接受集GA賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)

191.阿羅-普拉特風(fēng)險厭惡度(三)

原點附近賭博的意義賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)

GuA接受GvA拒絕小賭博GuAGvAGuAGvA212.風(fēng)險厭惡度AP

與風(fēng)險加價RPU

=

v

(r)U

=

u

(r)(三)

原點附近賭博的意義賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)

22風(fēng)險規(guī)避傾向與風(fēng)險厭惡度

賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)AP(w)，適用于在任何風(fēng)險環(huán)境中去測量人們的風(fēng)險規(guī)避傾向的強弱?，F(xiàn)在，我們來證實這一結(jié)論。風(fēng)險環(huán)境：(,

F,

P)。確定性選擇集合：X=R

，即

X

為實數(shù)集合

R。也就是說，經(jīng)濟人選擇的任何結(jié)果都可以用實數(shù)加以表示。風(fēng)險選擇集合：X是風(fēng)險環(huán)境(,F,P)中的隨機變量的全體。經(jīng)濟人的VNM效用函數(shù)：u

:

X

R。風(fēng)險愛好者的VNM效用函數(shù)u

是嚴(yán)格凸函數(shù)；風(fēng)險厭惡者的VNM效用函數(shù)

u

是嚴(yán)格凹函數(shù)；風(fēng)險中立者的VNM效用函數(shù)

u

是線性函數(shù)；風(fēng)險冷淡者的VNM效用函數(shù)

u

是凹函數(shù)。按照絕對量變和相對量變，風(fēng)險規(guī)避傾向分為絕對風(fēng)險規(guī)避傾向(通常省略“絕對”二字)和相對風(fēng)險規(guī)避傾向。

231.普拉特定理定理設(shè)風(fēng)險環(huán)境為(,

F,

P)，確定性選擇集合

X=R，并且

uA:

X

R

和

uB:

X

R

都是二階可微、遞增、凹的VNM效用函數(shù)。則下面三個條件相互等價：w

X

，都有；存在遞增的凹函數(shù)

g

:

RR

使得

(wX

)(uA(w)

=

g(uB(w)))；對一切

X，都有

RPA(

)RPB(

)。注釋：風(fēng)險加價RP(

)的定義為

RP(

)

=

E

c(

)，其中

c(

)是按照“c(

)X

s.t.u(c(

))

=

u(

)”來確定的。定理的意義：定理表明，阿羅-普拉特度量函數(shù)

AP

:

X

R

很好地度量著經(jīng)濟人的風(fēng)險規(guī)避傾向。(一)

絕對風(fēng)險規(guī)避傾向風(fēng)險規(guī)避傾向與風(fēng)險厭惡度

252.嚴(yán)格形式的普拉特定理定理設(shè)風(fēng)險環(huán)境為(,

F,

P)，確定性選擇集合

X=R，并且

uA:

X

R

和

uB:

X

R

都是二階可微、遞增、凹的VNM效用函數(shù)。則下面三個條件相互等價：w

X

，都有；存在遞增的嚴(yán)格凹函數(shù)

g

使得

(wX

)(uA(w)

=

g(uB(w)))；對一切非退化的風(fēng)險行為X，都有

RPA(

)>RPB(

)。(一)

絕對風(fēng)險規(guī)避傾向風(fēng)險規(guī)避傾向與風(fēng)險厭惡度

普拉特定理中的那些不等式還可以換成嚴(yán)格不等式，從而得到嚴(yán)格形式的普拉特定理。26(1)相對接受集GA風(fēng)險規(guī)避傾向與風(fēng)險厭惡度

(二)

相對風(fēng)險規(guī)避傾向1.賭博揭示的相對風(fēng)險規(guī)避傾向GA

=

{(x,

y)R2

:

Eu(x,

y)

u(w)}GA

由方程

Eu(x,

y)

=

u(w)

來確定：y=

(x)

。類似地可以證明：風(fēng)險冷淡者的相對接受集

GA是凸集。GA的原點斜率：GA的原點切線：GA的原點曲率：切線——公平賭博——px

+

(1p)y

=

0GAGA29原點附近的賭博都是賭金相對較小的賭博——相對小賭博。如果一個人連相對較小的賭博都不愿意接受，就表明這個人對風(fēng)險的厭惡程度較大，足見他具有較強的風(fēng)險規(guī)避傾向。一個人不愿意接受的相對小賭博越多，他對風(fēng)險的厭惡程度越大，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。曲率

(0)

越大，GA

在原點(0,0)處越彎曲，不接受的相對小賭博越多，從而風(fēng)險厭惡程度越大，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。GA

在原點的曲率

(0)

與

APR(w)

=

u(w)w

u(w)

成正比。結(jié)論：阿羅-普拉特相對風(fēng)險厭惡度量函數(shù)

的確度量著經(jīng)濟人對風(fēng)險的厭惡程度強弱！(2)原點附近賭博的意義1.賭博揭示的相對風(fēng)險規(guī)避傾向(二)

相對風(fēng)險規(guī)避傾向風(fēng)險規(guī)避傾向與風(fēng)險厭惡度

302.阿羅-普拉特相對風(fēng)險厭惡度GuA接受GvA拒絕相對小賭博GuAGvAGuAGvA風(fēng)險規(guī)避傾向與風(fēng)險厭惡度

(二)

相對風(fēng)險規(guī)避傾向31風(fēng)險規(guī)避傾向的變化規(guī)律經(jīng)濟人的風(fēng)險規(guī)避傾向如何隨財富數(shù)量的變化而變化？什么情況下適合使用絕對風(fēng)險厭惡度來測定經(jīng)濟人的風(fēng)險規(guī)避傾向，又在什么情況下適合使用相對風(fēng)險厭惡度來測定？對于這些問題，下述回答似乎是合理的。第一，絕對風(fēng)險厭惡度AP(w)隨財富w的增加而遞減。

第二，相對風(fēng)險厭惡度APR(w)不隨財富w的變化而變化。下面就來給以說明。32(一)

絕對風(fēng)險厭惡度的變化規(guī)律對于一個用絕對數(shù)量表示的較小賭博來說，當(dāng)經(jīng)濟人的財富較少時，這個賭博可能不被接受；但當(dāng)財富較多時，接受這個賭博的可能性就大大增加了：賭一下也沒什么大不了。這一現(xiàn)象表明，隨著經(jīng)濟人擁有的財富的增多，一個較小賭博被接受的可能性是上升的，從而絕對風(fēng)險厭惡度下降，絕對風(fēng)險規(guī)避傾向變?nèi)?。另外，如果考慮的是短期行為，那么經(jīng)濟人是否能夠接受一個賭博，恐怕主要還是要看財富數(shù)量的絕對變化。因此可以說，當(dāng)進行短期分析的時期，適合使用絕對風(fēng)險厭惡度來測定經(jīng)濟人的風(fēng)險規(guī)避傾向。風(fēng)險規(guī)避傾向的變化規(guī)律33(二)相對風(fēng)險厭惡度的變化規(guī)律風(fēng)險規(guī)避傾向的變化規(guī)律對于相對賭博來說，由于賭金與財富成比例，因此低額賭注的賭博實際上是高額賭注的賭博的縮影?？s影是對原型的模仿，這樣一來，原型與縮影中的相對風(fēng)險規(guī)避傾向似乎應(yīng)該一致。根據(jù)以上說明，假定相對風(fēng)險厭惡度為常數(shù)，恐怕就是一個不錯的假設(shè)。另外，如果是在進行長期分析，那么面對遙遠的未來，就不宜采用絕對數(shù)量，而采用相對數(shù)量變化恐怕會更好些，可能會更能令人信服。這就說明：長期分析中適合使用相對風(fēng)險厭惡度來測定人們的風(fēng)險規(guī)避傾向。尤其是遙遠未來的不確定性太大，人們保持不變的相對風(fēng)險規(guī)避傾向便合情合理，即“以不變應(yīng)萬變”。34(三)

風(fēng)險規(guī)避傾向與效用函數(shù)形式風(fēng)險規(guī)避傾向的變化規(guī)律定理(武)

設(shè)

X=

{xR

:

x

>

0}，u

:

X

R

為VNM效用函數(shù)，并且對一切

xX

，都有u(x)

>

0。則有下述結(jié)論：經(jīng)濟人具有不變的相對風(fēng)險規(guī)避傾向

1當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)

a

,

b

(a

>

0)

使得對一切

wX

成立。經(jīng)濟人具有始終為

1

的相對風(fēng)險規(guī)避傾向當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)

a

>

0和常數(shù)

b

使得

u(w)

=

a

lnw

+

b

對一切

wX

成立。經(jīng)濟人具有不變的絕對風(fēng)險規(guī)避傾向

>

0當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a

,

b

(b

>

0)

使得對一切

wX

成立。VNM效用函數(shù)形式當(dāng)經(jīng)濟人具有不變的相對風(fēng)險規(guī)避傾向

時，VNM效用函數(shù)可取作這樣的形式：。當(dāng)經(jīng)濟人具有不變的絕對風(fēng)險規(guī)避傾向>

0

時，VNM效用函數(shù)可取作這樣的形式：。351.定理的證明風(fēng)險規(guī)避傾向的變化規(guī)律(三)

風(fēng)險規(guī)避傾向與效用函數(shù)形式只證明結(jié)論。其必要性通過計算可證，只需證充分性。已知

u(