2023秋九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊模型構(gòu)建專題相似三角形中的基本模型（新版）湘教版

2023秋九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊模型構(gòu)建專題相似三角形中的基本模型（新版）湘教版模型構(gòu)建專題：相似三角形中的根本模型eq\a\vs4\al(◆)類型一“A〞字型1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.假設(shè)AD＝3，DB＝2，BC＝6，那么DE的長為________．第1題圖第2題圖2．如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10eq\r(2).四邊形BDEF是△ABC的內(nèi)接正方形(點(diǎn)D、E、F在三角形的邊上)．那么此正方形的面積是________．3．如圖，菱形ABCD的邊長為1，直線l過點(diǎn)C，交AB的延長線于點(diǎn)M，交AD的延長線于點(diǎn)N，那么eq\f(1,AM)＋eq\f(1,AN)＝________．第3題圖4．如圖①，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC交于點(diǎn)E，EF⊥BD，垂足為F，我們可以證明eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF)成立．假設(shè)將圖①中的垂直改為斜交，如圖②，AB∥CD，AD與BC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AB交BD于F，那么eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF)還成立嗎？如果成立，給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．eq\a\vs4\al(◆)類型二“X〞字型5．(2023·哈爾濱中考)如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，BE與CD相交于點(diǎn)F，那么以下結(jié)論一定正確的選項(xiàng)是()A.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)B.eq\f(DF,FC)＝eq\f(AE,EC)C.eq\f(AD,DB)＝eq\f(DE,BC)D.eq\f(DF,BF)＝eq\f(EF,FC)第5題圖第6題圖6．如圖，?ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，那么DF∶BD等于()A．2∶3B．2∶1C．1∶2D．1∶37．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接BE并延長交CD的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G.(1)假設(shè)FD＝2，eq\f(ED,BC)＝eq\f(1,3)，求線段DC的長；(2)求證：EF·GB＝BF·GE.eq\a\vs4\al(◆)類型三旋轉(zhuǎn)型8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，點(diǎn)B′在AB上，A′B′交AC于F，那么圖中與△AB′F相似的三角形有(不再添加其他線段)()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)eq\a\vs4\al(◆)類型四“子母〞型(大三角形中包含小三角形)9．如圖，要使△ABC與△DBA相似，那么只需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是__________(填一個(gè)即可)．第9題圖第10題圖10．在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，且∠BCD＝∠A，BC＝2eq\r(2)，AB＝3，那么BD＝________．eq\a\vs4\al(◆)類型五垂直型11．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點(diǎn)，分別以ED、EC為折痕將兩個(gè)角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點(diǎn)A、B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處，假設(shè)AD＝3，BC＝5，那么EF的值是〔〕A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)第11題圖第12題圖12．如圖，矩形ABCD中，M是BC邊上且與B、C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P是射線AM上的點(diǎn)，假設(shè)以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似，那么這樣的點(diǎn)P有_______個(gè)．13．★如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，4)，直線y＝eq\f(3,4)x－3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PM長的最小值為________．14．(2023·齊齊哈爾中考)如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點(diǎn)F.(1)求證：△ACD∽△BFD；(2)當(dāng)AD＝BD，AC＝3時(shí)，求BF的長．eq\a\vs4\al(◆)類型六一線三等角型15．如圖，等邊△ABC的邊長為6，D是BC邊上的點(diǎn)，∠EDF＝60°.假設(shè)BD＝1，CF＝3時(shí)，那么BE的長為________．【方法12】第15題圖變式題圖【變式題】如圖，△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點(diǎn)F，AB＝9，BD＝3，那么CF等于________．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD＝∠B.(1)求證：AC·CD＝CP·BP；(2)假設(shè)AB＝10，BC＝12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長．【方法12】模型構(gòu)建專題：相似三角形中的根本模型1.eq\f(18,5)2.253．1解析：∵AB＝BC＝CD＝AD＝1，BC∥AD，∴eq\f(BC,AN)＝eq\f(BM,AM)，即eq\f(1,AN)＝eq\f(BM,AM)，∴eq\f(1,AM)＋eq\f(1,AN)＝eq\f(AB,AM)＋eq\f(BM,AM)＝eq\f(AM,AM)＝1.4．解：成立．證明如下：∵AB∥EF∥CD，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(DF,DB)，eq\f(EF,CD)＝eq\f(BF,DB)，兩式相加，得eq\f(EF,AB)＋eq\f(EF,CD)＝eq\f(DF,DB)＋eq\f(BF,DB)＝1，等式兩邊同時(shí)除以EF，得eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).5．A6.D7．(1)解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴eq\f(FD,FC)＝eq\f(ED,BC)＝eq\f(1,3)，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4；(2)證明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴eq\f(EF,BF)＝eq\f(DE,BC)，eq\f(AE,BC)＝eq\f(GE,GB).∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∴eq\f(EF,BF)＝eq\f(GE,GB)，∴EF·GB＝BF·GE.8．D9．∠BAC＝∠BDA(答案不唯一)10.eq\f(8,3)11.A12.213.eq\f(28,5)解析：根據(jù)“垂線段最短〞，得PM的最小值就是當(dāng)PM⊥AB時(shí)PM的長．∵直線y＝eq\f(3,4)x－3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，∴令x＝0，得y＝－3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，－3)，即OB＝3.令y＝0，得x＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0),即OA＝4，∴PB＝OP＋OB＝4＋3＝7.在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(42＋32)＝5.在Rt△PMB與Rt△AOB中，∵∠PBM＝∠ABO，∠PMB＝∠AOB，∴Rt△PMB∽R(shí)t△AOB，∴eq\f(PM,OA)＝eq\f(PB,AB)，即eq\f(PM,4)＝eq\f(7,5)，解得PM＝eq\f(28,5).14．(1)證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD；(2)解：∵AD＝BD，△ACD∽△BFD，∴eq\f(AC,BF)＝eq\f(AD,BD)＝1，∴BF＝AC＝3.15.eq\f(5,3)解析：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵∠EDF＝60°，∴∠BED＋∠EDB＝∠EDB＋∠FDC＝120°，∴∠BED＝∠FDC，∴△BDE∽△CFD，∴eq\f(BE,CD)＝eq\f(BD,CF).∵BC＝6，BD＝1，∴CD＝BC－BD＝5，∴eq\f(BE,5)＝eq\f(1,3)，解得BE＝eq\f(5,3).【變式題】2解析：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°.∵∠ADC＝∠ADE＋∠FDC＝∠B＋∠BAD，∴∠BAD＝∠CDF，∴△BAD∽△CDF，∴AB∶BD＝CD∶CF，即9∶3＝(9－3)∶CF，∴CF＝2.16．(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴eq\f(BP,