初中數(shù)學人教版九年級上冊圓2弧長和扇形面積 優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎

24-13扇形面積人教九上一、學習目標1．經(jīng)歷探索扇形面積計算公式的過程；2．了解扇形面積計算公式，并會用公式解決問題；3．了解弧長和扇形面積的關系.二、知識回顧1．圓的周長2πR可以看作360度的圓心角所對的?。▓A的半徑為R）.當圓的半徑為R時，1°的圓心角所對的弧長是；2°的圓心角所對的弧長是；60°的圓心角所對的弧長是；n°的圓心角所對的弧長是；結論：半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長為.注意：進行計算時，要注意公式中n的意義，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的.三、新知講解1．扇形由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.2．扇形的面積在半徑為R的圓中，因為360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積S=πR2，所以圓心角是1°的扇形面積是.于是，圓心角為n°的扇形面積是.因為n°的圓心角所對的弧長為，所以=.3．陰影部分面積的四種求法（1）公式法：當已知圖形為我們熟知的基本圖形或將圖形分割成幾個可直接利用公式求面積的圖形時，我們可直接利用有關面積公式求解.（2）等積變換法：把所求陰影部分的圖形適當進行等積變形，即找出與它面積相等的特殊圖形，從而求出陰影部分圖形的面積.（3）整體法：當陰影部分圖形為分散的個體時，可針對其結構特征，視各陰影部分圖形為一個整體，然后利用相關圖形的面積公式整體求出.（4）割補法：將一個圖形的一部分割下來，移動到其他合適的位置上，從而構成易求面積的圖形.四、典例探究掃一掃，有驚喜哦！1．求扇形面積【例1】（2015?湖州）如圖，已知C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點，O是圓心，半徑OA=2，∠COD=120°，則圖中陰影部分的面積等于_______．總結：利用扇形的面積公式進行求解注意兩種情況：（1）已知圓心角和半徑，利用公式；（2）已知弧長和半徑，利用公式．練1．（2013四川涼山州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，兩等⊙A、⊙B外切，那么圖中兩個扇形（即陰影部分）的面積之和為．2．求弓形面積【例2】如圖，AB為⊙O的切線，切點為B，連接AO，AO與⊙O交于點C，BD為⊙O的直徑，連接CD．若∠A=30°，⊙O的半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．B．C．D．總結：求弓形的面積一般是轉化為求扇形面積與三角形面積的差.求弓形面積時，一般要用到垂徑定理，所以過圓心作弦的垂線段是常見的輔助線.練2．（2015?福州校級質(zhì)檢）如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC=2，∠B=30°，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求：（1）BC、AD的長；（2）圖中兩陰影部分面積的和．3．求圖形繞某點旋轉后掃過的面積【例3】（2015?永州）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．現(xiàn)將Rt△ABO繞原點O按順時針方向旋轉到Rt△A′B′O的位置，則此時邊OB掃過的面積為_____．總結：求圖形繞某點旋轉后掃過的圖形面積，先要根據(jù)運動軌跡分析出掃過的圖形的形狀，然后根據(jù)圖形形狀求解面積.如果是規(guī)則圖形，就利用規(guī)則圖形的公式進行計算；如果是不規(guī)則圖形，要先轉化為規(guī)則圖形.不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形的方法有：等積變換法.對所求圖形進行適當?shù)确e變形，即找到與它面積相等的規(guī)則圖形；割補法.對所求圖形進行適當分割，并將一部分圖形移位，組成規(guī)則圖形；.練3．（2012?廣東校級模擬）當汽車在雨天行駛時，司機為了看清楚道路，要啟動前方擋風玻璃上的雨刷器．如圖是某汽車的一個雨刷器的轉動示意圖，雨刷器桿AB與雨刷CD在B處固定連接（不能轉動），當桿AB繞A點轉動90°時，雨刷CD掃過的面積如圖所示，現(xiàn)量得：CD=80cm、∠DBA=20°，AC=115cm，DA=35cm，試從以上信息中選擇所需要的數(shù)據(jù)，求出雨刷掃過的面積．五、課后小測一、選擇題1．（2015?甘孜州）如圖，已知扇形AOB的半徑為2，圓心角為90°，連接AB，則圖中陰影部分的面積是（）A．π﹣2B．π﹣4C．4π﹣2D．4π﹣42．（2015?東莞）如圖，某數(shù)學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細），則所得扇形DAB的面積為（）A．6B．7C．8D．93．（2015?達州）如圖，直徑AB為12的半圓，繞A點逆時針旋轉60°，此時點B旋轉到點B′，則圖中陰影部分的面積是（）A．12πB．24πC．6πD．36π4．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中點D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在EF上，設∠BDF=α（0°＜α＜90°），當α由小到大變化時，圖中陰影部分的面積（）A．由小到大B．由大到小C．不變D．先由小到大，后由大到小二、填空題5．（2015?泰州）圓心角為120°，半徑長為6cm的扇形面積是______cm2．6．（2015?常州）已知扇形的圓心角為120°，弧長為6π，則扇形的面積是________．7．（2014?洛陽二模）如圖，正方形ABCD中，分別以B、D為圓心，以正方形的邊長a為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的面積為__________．8．（2011?高淳縣一模）如圖，兩個半徑為2cm的等圓互相重疊，且各自的圓心都在另一個圓上，則兩圓重疊部分的面積是_______cm2．（結果保留π）．9．（2012?黃陂區(qū)校級模擬）如圖，把⊙O1向右平移8個單位長度得⊙O2，兩圓相交于A、B，且O1A⊥O2A，則圖中陰影部分的面積是________．10．（2015?安順）如圖，在?ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接CE，則陰影部分的面積是_________（結果保留π）．11．（2015?江陰市校級一模）如圖，AB，CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點O1，O2，O3，O4分別是OA，OB，OC，OD的中點，若⊙O的半徑為2，則陰影部分的面積為__________．12．（2015?東莞模擬）如圖是圓心角為30°，半徑分別是1、3、5、7、…的扇形組成的圖形，陰影部分的面積依次記為S1、S2、S3、…，則Sn=_________．（結果保留π）三、解答題13．（2013?路南區(qū)一模）如圖，方格紙中4個小正方形的邊長均為1，求圖中陰影部分三個小扇形的面積和以及周長的和（結果保留π）．14．（2013秋?章丘市校級期末）如圖，兩個同心圓的半徑分別為18cm和30cm，又知∠COD=30°，求陰影部分ABDC的面積．15．（2013秋?海門市校級期中）如圖，Rt△ABC的一條直角邊AB是⊙O的直徑，AB=8，斜邊交⊙O于D，∠A=30°，求陰影部分的面積．16．（2012?云和縣模擬）一個商標圖案如圖，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A為圓心，AD長為半徑作半圓，求商標圖案的面積．

典例探究答案：【例1】【分析】圖中陰影部分的面積=半圓的面積﹣圓心角是120°的扇形的面積，根據(jù)扇形面積的計算公式計算即可求解．【解答】解：圖中陰影部分的面積=π×22﹣=2π﹣π=π．答：圖中陰影部分的面積等于π．故答案為：π．【點評】考查了扇形面積的計算，求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉化為規(guī)則圖形的面積．練1．解：【例2】【分析】過O點作OE⊥CD于E，首先根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得∠AOB=60°，再根據(jù)平角的定義和三角形外角的性質(zhì)可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)可得OE，CD的長，再根據(jù)陰影部分的面積=扇形OCD的面積﹣三角形OCD的面積，列式計算即可求解．【解答】解：過O點作OE⊥CD于E，∵AB為⊙O的切線，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，∵⊙O的半徑為2，∴OE=1，CE=DE=，∴CD=2，∴圖中陰影部分的面積為：﹣×2×1=π﹣．故選：A．【點評】本題考查了扇形面積的計算，切線的性質(zhì)，解題的關鍵是理解陰影部分的面積=扇形OCD的面積﹣三角形OCD的面積．練2．【分析】（1）根據(jù)直徑得出∠ACB=∠ADB=90°，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)圓周角定理求出AD=BD，求出AD即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式，求出△AOC和△AOD的面積，再求出S扇形COD，即可求出答案．【解答】解：（1）∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2，∴AB=4，∴BC==2，∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，∴∠DCA=∠BCD∴=，∴AD=BD，∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=2；（2）連接OC，OD，∵∠B=30°，∴∠AOC=∠2∠B=60°，∵OA=OB，∴S△AOC=S△ABC=××AC×BC=××2×2=，由（1）得∠AOD=90°，∴∠COD=150°，S△AOD=×AO×OD=×22=2，∴S陰影=S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD=﹣﹣2=π﹣﹣2．【點評】本題考查了勾股定理、圓周角定理、三角形的面積等知識點的應用，關鍵是求出∠ACB=∠ADB=90°，題型較好，通過做此題，培養(yǎng)了學生運用定理進行推理的能力．【例3】【分析】根據(jù)點A的坐標（﹣2，0），可得OA=2，再根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)可得OB的長，再根據(jù)旋轉的性質(zhì)和扇形的面積公式即可求解．【解答】解：∵點A的坐標（﹣2，0），∴OA=2，∵△ABO是直角三角形，∠AOB=60°，∴∠OAB=30°，∴OB=OA=1，∴邊OB掃過的面積為：=π．故答案為：π．【點評】本題考查了旋轉和扇形的面積公式，準確找到運動路徑是解題的關鍵．練3．【分析】雨刷CD掃過的面積就是一個大扇形﹣小扇形的面積，圓心角是90度，半徑分別為115cm，35cm，所以根據(jù)扇形的面積公式計算．【解答】解：由題意可知：△ABD≌△AB′D′，△ACD≌△AC′D′，且大扇形半徑AC=115cm，小扇形半徑AD=35cm，且圓心角都為直角，所以雨刷CD掃過的面積為：S扇形ACC′﹣S扇形ADD′=﹣=（115+35）（115﹣35）=3000π（cm2）．答：雨刷掃過的面積為3000πcm2．【點評】此題主要考查了扇形面積計算，本題的關鍵是看出雨刷CD掃過的面積就是一個大扇形﹣小扇形的面積，然后再從一堆的數(shù)據(jù)中分出哪些是有用的，哪些是沒用的．根據(jù)扇形的面積公式計算．課后小測答案：一、選擇題1．【分析】由∠AOB為90°，得到△OAB為等腰直角三角形，于是OA=OB，而S陰影部分=S扇形OAB﹣S△OAB．然后根據(jù)扇形和直角三角形的面積公式計算即可．【解答】解：S陰影部分=S扇形OAB﹣S△OAB==π﹣2故選：A．【點評】本題考查了扇形面積的計算，是屬于基礎性的題目的一個組合，只要記住公式即可正確解出．關鍵是從圖中可以看出陰影部分的面積是扇形的面積減去直角三角形的面積．2．【分析】由正方形的邊長為3，可得弧BD的弧長為6，然后利用扇形的面積公式：S扇形DAB=，計算即可．【解答】解：∵正方形的邊長為3，∴弧BD的弧長=6，∴S扇形DAB==×6×3=9．故選：D．【點評】此題考查了扇形的面積公式，解題的關鍵是：熟記扇形的面積公式S扇形DAB=．3．【分析】根據(jù)題意得出AB=AB′=12，∠BAB′=60°，根據(jù)圖形得出圖中陰影部分的面積S=+π×122﹣π×122，求出即可．【解答】解：∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°∴圖中陰影部分的面積是：S=S扇形B′AB+S半圓O′﹣S半圓O=+π×122﹣π×122=24π．故選：B．【點評】本題考查的是扇形的面積及旋轉的性質(zhì)，通過做此題培養(yǎng)了學生的計算能力和觀察圖形的能力，題目比較好，難度適中．4．【分析】作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，構造正方形DMCN，利用正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，通過證明△DMG≌△DNH，把△DHN補到△DNG的位置，得到四邊形DGCH的面積=正方形DMCN的面積，于是得到陰影部分的面積=扇形的面積﹣正方形DMCN的面積，即為定值．【解答】解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，連接DC，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，DM=AD=AB，DN=BD=AB，∴DM=DN，∴四邊形DMCN是正方形，∴∠MDN=90°，∴∠MDG=90°﹣∠GDN，∵∠EDF=90°，∴∠NDH=90°﹣∠GDN，∴∠MDG=∠NDH，在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH，∴四邊形DGCH的面積=正方形DMCN的面積，∵正方形DMCN的面積=DM2=AB2，∴四邊形DGCH的面積=，∵扇形FDE的面積==，∴陰影部分的面積=扇形面積﹣四邊形DGCH的面積=（定值），故選：C．【點評】本題主要考查了等腰直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，能正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．二、填空題5．【分析】將所給數(shù)據(jù)直接代入扇形面積公式S扇形=進行計算即可得出答案．【解答】解：由題意得，n=120°，R=6cm，故=12π．故答案為12π．【點評】此題考查了扇形面積的計算，屬于基礎題，解答本題的關鍵是熟記扇形的面積公式及公式中字母所表示的含義，難度一般．6．【分析】利用弧長公式即可求扇形的半徑，進而利用扇形的面積公式即可求得扇形的面積．【解答】解：設扇形的半徑為r．則=6π，解得r=9，∴扇形的面積==27π．故答案為：27π．【點評】此題主要考查了扇形面積求法，用到的知識點為：扇形的弧長公式l=；扇形的面積公式S=．7．【分析】由圖可知，陰影部分的面積是兩個圓心角為90°，且半徑為a的扇形的面積與正方形的面積的差，可據(jù)此求出陰影部分的面積．【解答】解：由題意可得出：S陰影=2S扇形﹣S正方形=2×﹣a2=（﹣1）a2．故答案為：（﹣1）a2．【點評】本題利用了扇形的面積公式，正方形的面積公式求解，得出S陰影=2S扇形﹣S正方形是解題關鍵．8．【分析】連接相交兩圓的交點，根據(jù)其圖形的對稱性可知，陰影部分的面積等于公共弦與圓所構成的弓形面積的2倍．【解答】解：如圖連接AB，OA、OB，根據(jù)對稱性可知OA=OB=2，OC⊥AB，OC=1，∴∠AOB=2∠AOC=2×60°=120°，∴S陰影部分=2（S扇形AOB﹣S△AOB）=2（）=（π﹣2）故答案為：（π﹣2）．【點評】本題考查了扇形的面積及相交兩圓的性質(zhì)，解題的關鍵是正確的分析圖形并分解為兩個弓形的面積的和．9．【分析】陰影部分的面積=2扇形AO1E的面積﹣△AO1O2的面積．【解答】解：連接AB交O1O2于點C，∵把⊙O1向右平移8個單位長度得⊙O2，∴O1O2=8，∴O1C=8÷2=4，易得△AO1O2為等腰直角三角形，∴AO1=4，∴陰影部分的面積=2×﹣4×4÷2=8π﹣16，故答案為8π﹣16．【點評】本題的難點是得到圓的半徑，關鍵是得到陰影的面積的求法．10．【分析】過D點作DF⊥AB于點F．可求?ABCD和△BCE的高，觀察圖形可知陰影部分的面積=?ABCD的面積﹣扇形ADE的面積﹣△BCE的面積，計算即可求解．【解答】解：過D點作DF⊥AB于點F．∵AD=2，AB=4，∠A=30°，∴DF=AD?sin30°=1，EB=AB﹣AE=2，∴陰影部分的面積：4×1﹣﹣2×1÷2=4﹣π﹣1=3﹣π．故答案為：3﹣π．【點評】考查了平行四邊形的性質(zhì)，扇形面積的計算，本題的關鍵是理解陰影部分的面積=?ABCD的面積﹣扇形ADE的面積﹣△BCE的面積．11．【分析】首先根據(jù)已知得出正方形內(nèi)空白面積，進而得出扇形COB中兩空白面積相等，進而得出陰影部分面積．【解答】解：如圖所示：連接EFMN，∵四邊形的邊長為2，四個角都是直角，∴四邊形EFMN是正方形，正方形中兩部分陰影面積為：22﹣π×12=4﹣π，∴正方形內(nèi)空白面積為：4﹣2（4﹣π）=2π﹣4，∵⊙O的半徑為2，∴O1，O2，O3，O4的半徑為1，∴小圓的面積為：π×12=π，扇形COB的面積為：=π，∴扇形COB中兩空白面積相等，∴陰影部分的面積為：π×22﹣2（2π﹣4）=8．故答案為：8．【點評】此題主要考查了扇形的面積公式以及正方形面積公式，根據(jù)已知得出空白面積是解題關鍵．12．【分析】由圖可知S1=，S2=×3，S3=×5，S4=×7，…Sn=×（2n﹣1），從而得出Sn的值．【解答】解：由題意可得出通項公式：Sn=×（2n﹣1），即Sn=×（2n﹣1），故答案為．【點評】本題考查了扇形面積的計算，是一道規(guī)律性的題目，難度較大．解答題13．【考點】扇形面積的計算；弧長的計算；旋轉的性質(zhì)．【分析】先求出三個扇形的圓心角之和與半徑，再根據(jù)扇形的面積公式及弧長公式即可得出結論．【解答】解：∵三個扇形的半徑相等，都為1，圓心角之和為135°，∴三個小扇形的面積和==π，∴三個小扇形的弧長和==π，∴三個小扇形