數(shù)學奧林匹克上期問題解答

初215 在五角星形ABCDE中,各條線段交點如圖3所示,AG=GF=FD,BG

S△DFJ=S△FGJ=6x5S△FIJ=7S△DFJ=21x

3EG,FC=2FE.若五邊形FGHIJ的面積 S△CIJ=7S△FIJ=49x 91,試求五角星形ABCDE的面積 解:如圖3,聯(lián) S△HIJ=7S△CIJ=4x

S

=25S

=25x4S S

S△CAG=1, 圖 x+9x+7x=S ·ECFAGH=1·CFAG

xS五角星形 2·

=

=S△AGH+S△EFG+S△DFJ+S△CIJ+S△BHI+

=x+2x

6x

49x

25x+91=于是HE=3BG3EG,537

江蘇省興化市昭陽中學,初216 試求出所有的三個整數(shù)ab、c,使得S△AEFS△FCAS c-b1)=b1)-a,c-1=bS

S△FAHS

=1 a+S△BCJS△JEBS =1

a+c=2b+2S△BJES△JBHS (a+1≠0,b≠0)EFCA CJEB (a+1)(c-1)= ·

=1 ··=1FCAH J BH

(a+1)+(c-1)=2b+2即

(a+1≠0,b≠0)1CA

(a+1)(c-1)=2 ·2A

=1

·

=

a1c-1x25S△AGH=x.注意到“共高三角形面積S△FGH=x,S△EFG=2x,S△EFH=3x

x2-(2b+2)x+b2=0(b∈N+的兩個非零整數(shù)根于是Δ=4(b+1)2-4b2=4(2b+=4(2k+1)2(k∈N+)b2k22k x=2b+22b+S△FHJ=5S△EFH=5x2b+

2b+1=b+1S△FGJ=5

S△EFG=6x5

=2k2+2k+1±(2k+2k22k24k2a+1=2k2 b=2k2+2k

a+1=2k2+4k+2或b2k22k

∠PDE+∠PAC=180.PHE+∠PDEc-1=2k2+4k+ c-1=2k2 ∠PHC+∠PAC=因此,所求的三個整數(shù)abc 故∠PHE+∠PHC+∠PDE+∠PAC=360.a=2k2-1b=2k(k+1)c=2k2+4k+3k12

a=2k2+4k+1b=2k(k+1)c=2k2+1

∠PHE+∠PHC180.EHC三點共線.FDH=∠CEB,∠DHF=∠DPF=∠EBC(廣州大學數(shù)學與信息科學學,510006)高215 如圖4,⊙O1⊙O2與⊙O3相交于點P,⊙O1與⊙O2相交于點A,經(jīng)過AP的延長線交⊙O3于點D,DE∥BC⊙O3EEMENO1、⊙O2的切線,MN為切點.證明:EM2-EN2=

所以, △CEBDF=DH=FH=k(設(shè)), DF=kEC DH=kEB FH= 在圓內(nèi)接四邊形DFHE中,由EMO1MENO2于點N,所以,EM2=EF·EB,EN2=EM2-EN2=(遼寧省岫巖自治縣教師進修學校,114300)216f(n)表示把正整數(shù)n分解1的因子之積(不考慮因子的順序的不同分解式的個數(shù),f(12)=3.12=)n=pmpl,求證1于點FH,聯(lián)結(jié)EFBFEHCHDFDH FHPFPH.∠PFE+∠PHE=

∠PHE=∠PAC= 所以∠PFE+∠PFB180°EF、B三點共線.

f(n)m 其中p1p2是不同的質(zhì)數(shù)m是自然數(shù),l550,1,2, 21(1l0n=pm1若用P(m表示正整數(shù)m的加法分拆數(shù)即將m分拆成若干個加數(shù)之和的所有分拆種數(shù)),f(n)=P(m)

1l2n=pmp21Pm),P(m)≤P(m-1)+P(m-2)(m≥3)

設(shè)n1的整數(shù)之積,n=k1k2?ks,記n13 成的集合Ann=pmpp,13事實上,m34,.m≥5,m=m1+m2+?+mk

312sp1p2,可以分解成大于1的整數(shù)之積,即n=kk?k′記12s,1≤m1≤m2≤?≤mkk≥2分兩種情況m11,m=m1+m2+?+mk,m-1=m2+m3+?+mk.可見,這樣mm-1分拆;反之亦然.故有Pm-1個

))對n的任意一個分解式a∶n=k1k2?ksakj2當m1≥2時,因m=m1+m2+ =2p|mk,則m-2=(m1-2)+m2+?+mk.由 其中,kj=max{p|2≤m2≤m3≤?≤mk,可見,m的加法分拆數(shù)少于m-2的加法分拆數(shù)P(m-2).

2)n)n=pmpp有分解n=kk?k由(i)(ii),再注意到m

12

1 不妨設(shè)ks=p11p22p3(i1=0,1,?,m,i2=0下面用數(shù)學歸納法證明當l=0時,

1),由于對每對給定的i1,i2),的這樣的分解式的個數(shù)恰有fpmi1p1i2,,≥

n)

f(pm-i1p1-i2

i=0i= 5α15

m- 1-立,則由式 ≤∑α α-1i1=α-1P(m)≤P(m-1)+P(m-≤m- m-2≤ α

=

m-

-i1= i2= α從而,m,(2)當l=1時,n=pmp m+1-·1 =

α-12-α-αα設(shè)n1的整數(shù)之積,in=k1k2?k.sks=p1pi=01,

-