2018屆高中數(shù)學(xué)專題10探索利用空間向量求空間夾角方法特色訓(xùn)練2-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE45學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題10探索利用空間向量求空間夾角方法一、選擇題1．【北京海淀北方交大附2016—2017學(xué)年高二上學(xué)期期中】過正方形的頂點(diǎn)，作平面,若，則平面和平面所成的銳二面角的大小是（）．A。B。C。D?！敬鸢浮緽,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，,∵平面的一個(gè)法向量為，，∴所求銳二面角為．故選．二、解答題2．【河南省漯河市高級(jí)中學(xué)2018屆高三上學(xué)期三?！咳鐖D，四邊形和四邊形均是直角梯形,二面角是直二面角，。（1）證明:在平面上,一定存在過點(diǎn)的直線與直線平行;(2）求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析（2）【解析】試題分析：(1）利用線面、面面平行的判定和性質(zhì)定理即可證明；

（2)可證，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．利用空間向量可求二面角的余弦值(2）因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,又，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?所以,因?yàn)?，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于二面角為銳角,因此二面角的余弦值為。【點(diǎn)睛】熟練掌握線面、面面平行的判定和性質(zhì)定理、以及利用空間向量可求二面角是解題的關(guān)鍵．3．【陜西省榆林市第二中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期中】如圖，在矩形中，，,是平面同一側(cè)面點(diǎn)，,，，,。（Ⅰ）證明：平面平面；(Ⅱ)求二面角的正弦值.【答案】（1)見解析（2)【解析】試題分析:（Ⅰ）由條件可得，，從而可證得平面，根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的運(yùn)算可求得二面角的余弦值為，進(jìn)一步可得正弦值為。（Ⅱ）∵，，,∴，∴,又，，∴平面。以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則，,，.∴，，4．如圖,在三棱柱中，平面平面，四邊形為菱形，點(diǎn)是棱上不同于，的點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，，,．(Ⅰ）求證:∥平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ)若二面角為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見解析；（2)詳見解析；(3）?！窘馕觥吭囶}分析：（Ⅰ）先利用面面平行的性質(zhì)定理得到線線平行，再利用線面平行的判定定理進(jìn)行求解；（Ⅱ)先利用面面垂直的性質(zhì)定理和菱形的對(duì)角線相互垂直得到線線垂直,再利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明；（Ⅲ）利用空間向量進(jìn)行求解。試題解析:（Ⅰ）因?yàn)樵谌庵?平面平面，平面平面，平面平面，所以。又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面。（Ⅲ）取線段中點(diǎn)，因?yàn)榱庑沃?，，所以。又因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫?如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，，,。設(shè),(）,設(shè)平面的法向量為，則，即,所以，即的長(zhǎng)為?！军c(diǎn)睛】在處理空間角(異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角），往往利用空間向量進(jìn)行處理，即先合理建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)直線的方向向量和有關(guān)平面的法向量,再利用有關(guān)公式進(jìn)行求解.5．【湖南省衡陽市第八中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期中】如圖,在四棱錐中,平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD,PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，.（1）求證：PD⊥平面PAB；（2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)見解析；（2）【解析】試題分析:（1)由條件得平面PAD，因此,再結(jié)合，可得PD⊥平面PAB。（2）取AD的中點(diǎn)O,連PO，CO，可證得OP，OA，OC兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的運(yùn)算求解。（2）取AD的中點(diǎn)O，連PO，CO.∵,∴CO⊥AD，∵PA=PD，∴PO⊥AD，∴OP,OA，OC兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz，則.∴?！嘀本€PB與平面PCD所成角的正弦值為。點(diǎn)睛：利用向量法求線面角的方法:（1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的投影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角);（2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面的夾角．即設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m,n,則直線l與平面α所成角θ滿足sinθ＝|cos<m，n〉|。6．【河南省鄭州市第一中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期中】如圖，在六面體中，平面平面,平面，，。且，.(1）求證:平面；（2）求銳二面角的余弦值.【答案】(1）見解析；（2）.【解析】試題分析：(1）取的中點(diǎn)，連接，通過平行且等于證明是平行四邊形，即可證明平行且等于，再證明出是平行四邊形，然后根據(jù)線面平行判定定理即可求證；（2)由兩兩垂直，故可建立空間直角坐標(biāo)系，求出二面角的兩個(gè)平面法向量，通過計(jì)算法向量夾角的余弦值，再根據(jù)二面角為銳角即可求出二面角的余弦值。（2)由題意可得,兩兩垂直,故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。。設(shè)平面的法向量為,則，令，則。又平面的法向量。∴。由于所求的二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為。7．【廣東省陽春市第一中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考】在四棱錐中，平面,是的中點(diǎn)，，，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值?！敬鸢浮浚?)證明見解析；(2）.【解析】試題分析:（1）取的中點(diǎn),連接,則，先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明；進(jìn)而可得，再由線面判定定理即可證明平面,從而可得；（2)建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，即可求二面角的余弦值.因?yàn)槠矫?，所以。?)以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，.所以，由圖可知，二面角為銳角,所以二面角的余弦值為?！痉椒c(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量求二面角，屬于難題?？臻g向量解答立體幾何問題的一般步驟是:（1)觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；(3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;（4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.8．【北京市平谷區(qū)2016—2017高三第二學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，，,，是中點(diǎn)．(I)求證:直線平面．(II)求證:直線平面．(III）在上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為，若存在,確定的位置，若不存在,說明理由．【答案】(I）見解析；（Ⅱ）見解析（III)與重合．點(diǎn)的位置為所求?！窘馕觥吭囶}分析：（I）結(jié)合條件中給出的線段間的長(zhǎng)度關(guān)系，在上取點(diǎn)，使，證明四邊形為平行四邊形，可得,故可得結(jié)論;（II）結(jié)合圖形分析可得只需證,，便可得到平面；（III）建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法通過計(jì)算進(jìn)行判斷可得結(jié)果。又平面，平面,所以平面（Ⅱ）因?yàn)槭侵悬c(diǎn),底面是菱形，，所以，因?yàn)?，所以，所以．又平面，所以又所以直線平面(III)由(Ⅱ）可知，，,相互垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．由題意得，點(diǎn)睛：空間向量為立體幾何中的探索性問題的解法帶來了方便,解題時(shí)可先假設(shè)所探索的點(diǎn)（或其他元素）存在，然后通過代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證，看是否得到矛盾，若得到矛盾的結(jié)論，則說明假設(shè)不成立,即滿足條件的點(diǎn)(或其他元素）不存在，否則存在。9．【廣西桂林市第十八中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考】如圖,在三棱錐中,，分別為線段上的點(diǎn)，且，.（1）求證：平面；（2）若與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值。【答案】（1）詳見解析；(2）.【解析】試題分析；（1）連接，據(jù)勾股定理可證,即進(jìn)而證得平面，又由勾股定理證得,于是平面（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立直角坐標(biāo)系，由空間向量的夾角公式可求平面與平面所成銳二面角的余弦值。（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，且與平面所成的角為，有,則∴又∵由（1）知，∴平面∴為平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，則∴，令，則∴為平面的一個(gè)法向量∴故平面與平面的銳二面角的大小為。10．【云南省昆明市高新技術(shù)開發(fā)區(qū)2018屆高考適應(yīng)性月考】如圖所示，四棱錐中，平面，，，,為線段上一點(diǎn)，，為線段上一點(diǎn)，.(1）證明:平面；(2）求直線與平面所成角的正弦值【答案】(1）詳見解析；(2）.【解析】試題分析：證明線面平行有兩種思路：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理。第二尋求面面平行，進(jìn)而說明線面平行；本題借助平行四邊形可以得到線線平行,進(jìn)而證明線面平行；第二步求線面角，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),借助空間向量，求法向量，利用公式求角。（Ⅱ）解：如圖,取的中點(diǎn)，連接．由得，從而,且．以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題意知，，，,,，所以直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】證明線面平行有兩種思路：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理.第二尋求面面平行，本題借助平行四邊形和三角形中位線定理可以得到線線平行，進(jìn)而證明線面平行;求線面角有兩種方法，一是傳統(tǒng)方法，“一作，二證,三求”,如本題的解析，二是建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量，求法向量，利用公式求角.11．【江西省贛州市十四縣2017—2018學(xué)年高二期中聯(lián)考】。.【答案】(1）；(2）【解析】試題分析:傳統(tǒng)方法求二面角,一般采用“一作，二證、三求"三個(gè)步驟，首先根據(jù)二面角的定義結(jié)合幾何體圖形中的線面關(guān)系作出二面角的平面角,本題利用底面為正方形，三角形AEC為等腰三角形的特點(diǎn)做出二面角，進(jìn)而求出，求線面角既可作出后再求，還可直接求出點(diǎn)B到平面的距離，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出正弦值.（2)在交，取，-因此-.【點(diǎn)睛】傳統(tǒng)方法求線面角和二面角，一般采用“一作，二證、三求"三個(gè)步驟，首先根據(jù)二面角的定義結(jié)合幾何體圖形中的線面關(guān)系作出線面角或二面角的平面角，進(jìn)而求出；而角的計(jì)算大多采用建立空間直角坐標(biāo)系，寫出向量的坐標(biāo)，利用線面角和二面角公式,借助法向量求空間角。12．【北京西城44中2016—2017學(xué)年高二上學(xué)期期中】在四棱錐中，，，，，,，且平面．（1)設(shè)平面平面，求證：．（2）求證:．（3）設(shè)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．【答案】（1)見解析;（2)見解析；（3)【解析】試題分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線的傳遞性即可找出兩個(gè)平面的交線并且證明結(jié)論；（2）利用已知條件結(jié)合勾股定理先證明，再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理即可證明；（3）通過結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，設(shè),利用法向量與斜線所成的角即可找出點(diǎn)的位置。試題解析：（1）如圖所示，過點(diǎn)作，并且取，連接,

∴四邊形為平行四邊形，∴，

∵,∴,即為平面平面,．

（3）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，設(shè),則,∴，，由（2）可知為平面的法向量，∴，∵直線與平面所成角的正弦值為，∴,化為，解得,∴。13．【北京西城44中2016—2017學(xué)年高二上學(xué)期期中】如圖，在直三棱柱中,，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．①求證：．②求點(diǎn)到平面的距離．③求二面角的余弦值的大?。敬鸢浮?1）見解析；（2）；（3）【解析】試題分析：（1）由等腰三角形得，由平面得，故而可得平面，最后得結(jié)論;（2)點(diǎn)到平面的距離為．通過轉(zhuǎn)化，求點(diǎn)到平面的距離;（3)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為,，軸，建立空間直角坐標(biāo)系,求出面和面的法向量,計(jì)算法向量的夾角，根據(jù)圖可判斷二面角為銳角，故可得角的大小。（3)如圖，點(diǎn)睛：本題考查了線線垂直的判定，用等體積法求點(diǎn)到面的距離,用空間向量求平面間的夾角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題；在證明垂直的過程中主要通過線線垂直和面面垂直之間的互相轉(zhuǎn)化,兩個(gè)平面的法向量之間所成的角與二面角之間相等或互補(bǔ),主要通過圖形來確定。14．【北京朝陽日壇中學(xué)2016—2017學(xué)年高二上學(xué)期期中】如圖所示,在多面體中，四邊形，，均為正方形，為的中點(diǎn)，過,，的平面交于．（I）證明：．（II)求二面角余弦值．【答案】（I）見解析；(II)。【解析】試題分析：(I）由線面平行推出線線平行。(II）建立空間直角坐標(biāo)系，求出二面角兩個(gè)平面的法向量，利用法向量夾角的余弦值求出二面角的余弦值。（II)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為,，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)邊長(zhǎng)為．設(shè)為面法向量，，，∴．面法向量為,∴．15．【河北省衡水市武邑中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次調(diào)研】在五面體中，,，，平面平面。(1)證明：直線平面；（2)已知為棱上的點(diǎn),試確定點(diǎn)位置,使二面角的大小為.【答案】(1）證明見解析；（2）點(diǎn)在靠近點(diǎn)的的三等分點(diǎn)處。試題解析:（1)四邊形為菱形，，平面平面，平面平面平面，又直線平面.（2),為正三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；(4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.16．【山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)、南海桂城中學(xué)2018屆高三上學(xué)期聯(lián)考】如圖所示，在中,斜邊，將沿直線旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)二面角的大小為.（1）取的中點(diǎn),過點(diǎn)的平面與分別交于點(diǎn)，當(dāng)平面平面時(shí)，求的長(zhǎng)(2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值?！敬鸢浮?1)；（2)?！窘馕觥吭囶}分析：(1)根據(jù)兩個(gè)面平行的性質(zhì)，可以得出交線平行,利用中位線的性質(zhì)可得；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可證明平面，建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角可求出二面角的余弦值。（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接,則。因?yàn)?，所以平面平面。因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平?以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在中，，所以。所以。所以。點(diǎn)睛:本題考查面面垂直，線面垂直，線線垂直的判定及性質(zhì)以及二面角的余弦,屬于中檔題。對(duì)于第一問，要注意結(jié)合圖形，特別是中點(diǎn)，尋求垂直或平行關(guān)系，對(duì)于第二問關(guān)鍵是建系寫點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求得的法向量來求二面角的余弦，注意對(duì)角是銳角鈍角的分析.17．【北京西城44中2016-2017學(xué)年高二上學(xué)期期中】在四棱錐中，，，,,，，且平面．(1）設(shè)平面平面,求證：．（2）求證:．(3）設(shè)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．【答案】(1）見解析；（2)見解析；（3）【解析】試題分析:（1）利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線的傳遞性即可找出兩個(gè)平面的交線并且證明結(jié)論;(2）利用已知條件結(jié)合勾股定理先證明，再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理即可證明；（3）通過結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用法向量與斜線所成的角即可找出點(diǎn)的位置.試題解析：（1)如圖所示，過點(diǎn)作，并且取，連接，

∴四邊形為平行四邊形，∴，

∵，∴，即為平面平面，．

（3）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，,,，，∴，設(shè),則，∴，，由（2）可知為平面的法向量,∴，∵直線與平面所成角的正弦值為,∴，化為,解得,∴。18．【北京西城44中2016-2017學(xué)年高二上學(xué)期期中】如圖，在直三棱柱中，，,點(diǎn)是的中點(diǎn)．①求證：．②求點(diǎn)到平面的距離．③求二面角的余弦值的大?。敬鸢浮?1）見解析；（2）;（3)【解析】試題分析：（1）由等腰三角形得，由平面得，故而可得平面，最后得結(jié)論；(2)點(diǎn)到平面的距離為．通過轉(zhuǎn)化，求點(diǎn)到平面的距離；（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，,，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系,求出面和面的法向量，計(jì)算法向量的夾角,根據(jù)圖可判斷二面角為銳角，故可得角的大小.試題解析：（1）∵在等腰中，為斜邊中點(diǎn)，∴,又∵在直三棱柱中，平面，平面，∴，∵點(diǎn)，、平面，∴平面，平面，∴．（3）如圖,點(diǎn)睛：本題考查了線線垂直的判定，用等體積法求點(diǎn)到面的距離，用空間向量求平面間的夾角,考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題；在證明垂直的過程中主要通過線線垂直和面面垂直之間的互相轉(zhuǎn)化，兩個(gè)平面的法向量之間所成的角與二面角之間相等或互補(bǔ)，主要通過圖形