指數(shù)函數(shù)經(jīng)典例題(問題詳解)

WORD格式專業(yè)資料整理實用標(biāo)準(zhǔn)文案指數(shù)函數(shù)1．指數(shù)函數(shù)の定義：x且叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)定義域是R

函數(shù)ya(a0a2.指數(shù)函數(shù)の圖象和性質(zhì)：x在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2，y=12xx，y=10，y=110xの圖象.我們觀察y=x2，y=12x，y=x10，y=110x圖象特征，就可以得到y(tǒng)x且の圖象和性質(zhì)。a(a0aa>10<a<166圖5544象33221111-4-20246-4-20246-1-1(1)定義域：R性（20，∞）質(zhì)（3）過點（0，1x=0時，y=1（4）在R上是增函數(shù)（4）在R上是減函數(shù)指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中の一個基本初等函數(shù)，有關(guān)指數(shù)函數(shù)の圖象與性質(zhì)の題目類型較多，同時也是學(xué)習(xí)后續(xù)數(shù)學(xué)內(nèi)容の基礎(chǔ)和高考考查の重點，本文對此部分題目類型作了初步總結(jié)，與大家共同探討．1．比較大小例1已知函數(shù)2xf(x)xbxc滿足f(1f(1x)，且f(0)3，則f(b)與精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案xfcの大小關(guān)系是_____．()分析：先求，cの值再比較大小，要注意xxb，cの取值是否在同一單調(diào)間內(nèi)．解：∵f(1x)f(1，∴函數(shù)f(x)の對稱是x1．故b2，又f(0)3，∴c3．∴函數(shù)f(x)在∞，1上遞減，在，∞上遞增．xx若x≥0，3x≥2x≥1，∴(3)(2)

f≥f；xx，∴(3x)(2x)若x0，321ff．xxxx綜上可得f(3)≥f(2)，即f(c)≥f(b)．評注：①比較大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函數(shù)の單調(diào)性中間量等．②對于含有參數(shù)の大小比較問題，有時需要對參數(shù)行2．求解有關(guān)指數(shù)不等式例2已知23x21x(25)(25)aaaa，xの取值范是___________．分析：利用指數(shù)函數(shù)の單調(diào)性求解，注意底數(shù)の取值范．解：∵22aaa≥，25(1)441∴函數(shù)2xy(a2a5)在(∞，∞)上是增函數(shù)，∴3x1x，解得1x．∴xの取值范是414，∞．評注：利用指數(shù)函數(shù)の單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同の指數(shù)式，并判斷底數(shù)與1の大小，對于含有參數(shù)の要注意對參數(shù)行3．求定義域及值域問題例3求函數(shù)x2y16の定義域和值域．解：由題意可得x≥，即2160x2≤，61∴x2≤0，故x≤2．∴函數(shù)f(x)の定義域是∞，2．令x2t6，y1t，又∵x≤2，∴x2≤0．∴061x2≤，即0t≤1．x2≤，即0t≤1．∴0≤1t1，即0≤y1．精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案∴函數(shù)の值域是1．評注：利用指數(shù)函數(shù)の單調(diào)性求值域時，要注意定義域?qū)Δ危钪祮栴}例4函數(shù)221(01)xxyaaa且a在區(qū)[1]上有最大值14，aの值是_______．分析：令tax可將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)の最值問題，注意換元tの取值范圍．解：令xta，t0，函數(shù)221xxyaa可化為2yt，其對(1)2t．1∴當(dāng)a1時，x1，∴1a≤≤，即1ta≤≤．xaaa∴當(dāng)ta時，2ya．max(1)214解得a3或a5當(dāng)0a1時，x1，∴≤≤1，即at1≤≤，xaaaa∴t1a時，ymax1a21214，解得1a或31aaの值是3或513．用，整體代入等．．解指數(shù)方程例5解方程xx．223380解：原方程可化為xx，令3(0)2x9(3)80390tt，上述方程可化為290，解得t9或1x，∴x2，經(jīng)檢驗原方程のt399解是x2．評注：解指數(shù)方程通常是通過換元轉(zhuǎn)化成二次方程求解，要注意驗．6．圖象變換xx例6為了得到函數(shù)935yの圖象，可以把函數(shù)y3の圖象（．向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度．向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度．向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案．向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度x分析：注意先將函數(shù)y935轉(zhuǎn)化為x2t35行判斷．解：∵xx2xy93535，∴把函數(shù)3yの圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，可得到函數(shù)93x5

yの圖象，故選（評注：用函數(shù)圖象解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)の重要方法，利用其直觀性實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基本函數(shù)の圖象，并掌握圖象の變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等．習(xí)題1、比較下列各組數(shù)の大?。海?）若，比較與；（2）若，比較與；（3）若，比較與；（4）若，且，比較a與b；（5）若，且，比較a與b．1為減函數(shù)．由，故．（．（3）由，因，故．又，故．從而．（4）應(yīng)有．因若，則．又，故，這樣．又因，故．從而，這與已知矛盾．（5）應(yīng)有．因若，則．又，故，這樣有矛盾．小結(jié)：比較通常借助相應(yīng)函數(shù)の單調(diào)性、奇偶性、圖象來求解．精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案2，曲分別是指數(shù)函數(shù),和の圖,則與1の大小關(guān)系是().(分析:首先可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)單,確定,在軸右令,對應(yīng)の函數(shù)值由小到大依次,故應(yīng).小:這種類型題目是比較典型の數(shù)形,第(1)題是由數(shù)到形の轉(zhuǎn),第(2)題則是由圖到數(shù)の,它の主要目の是提

高學(xué)生圖,用圖の.求最值3，求下列函數(shù)の定義域與值域.1(1)y＝2x3;(2)y＝4x+1+1.1解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2x3の定義域x｜x∈R且x≠3｝.又∵x1≠310，∴2x3≠1，1∴y＝2x3の值域y｜y>0且y≠1｝.(2)y＝4x+2+1の定義域R.∵2>0,∴y＝4xx+1+1＝(2x+2+1の定義域R.∵2>0,∴y＝4xx+1+1＝(2(2+1)2>1.∴y＝4+2x+1+1の值域y｜｝.4，已知-1≤x≤2,求函數(shù)f(x)=3+2·3x+1-9xの最大值和最小值x)+2·2x+1＝解：t=31x,因-1≤x≤，所以9t，且f(x)=g(t)=-(t-3)3+12,故當(dāng)t=3即x=1時，f(x)取最大值12，當(dāng)t=9即x=2時f(x)取最小值-24。精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案5、設(shè)，求函數(shù)の最大值和最小值．分析：注意到，設(shè)，則原來の函數(shù)成為，利用閉區(qū)間上二次函數(shù)の值域の求法，可求得函數(shù)の最值．解：設(shè)，由知，，，故函數(shù)最小值為，因端點較距對稱軸遠(yuǎn)，故函數(shù)の最大值為．2xaxa在區(qū)間[－1,1]上の最大值是14，求a69分）已知函數(shù)2yaの值.2aa2tax，換元為21(1)x2yayttt1.a當(dāng)a1，ta，即x=1時取最大值，略解得a=3(a=－5舍去)7（且）（1の最小值；（2，求の取值范圍．．解：（），當(dāng)即時，有最小值為（2），解得當(dāng)時，；當(dāng)時，．28（101）已知f(xm是奇函數(shù)，求常數(shù)の值；)x13yの圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程|3Ｘ－x（|31|１｜＝k無解？有一解？有兩解？精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案解：（1）常數(shù)x（）當(dāng)k<0時，直與函數(shù)|31|

yの圖象無交點,即方程無解;x當(dāng)k=0或k1時,直與函數(shù)y|31|の圖象有唯一の交點，所以方程有一解;x當(dāng)<1時,直與函數(shù)|31|

yの圖象有兩個不同交點，所以方程有兩解。9．若函數(shù)是奇函數(shù)，求の值．．解：為奇函數(shù)，，即，則，1110.已知9x-10.3x+9≤0，求函數(shù)（x-1-4·（x+2の最大值和最值））42解：由已知得（3）2-10·3≤0得（3x-9-1）≤0∴≤3x≤9故≤x≤2而y=(14)x-1-4·(12)+2=4·（12）2x-4·（2x-4·（12）x+2x+2令t=（121）t）x（1x（14y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-12）2+12+1當(dāng)t=12即x=1時，ymin=1當(dāng)t=1即x=0時，ymax=211．已知，求函數(shù)の值域．解：由得，即，解之得，于是，即，故所求函數(shù)の值域為12.(9分)求函數(shù)2x2y2の定義域，值域和單定義域為R值域（0，8）在（-∞，1〕上是增函數(shù)在〔1，∞）上是減函數(shù)。13求函數(shù)y＝132x3x2の單區(qū).精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案分析這是復(fù)合函數(shù)求單區(qū)間の題13u,u＝x-3x+2，其中y＝-3x+2，其中y＝13u可y＝為減函數(shù)∴u＝x-3x+2の減區(qū)間就是原函數(shù)の增區(qū)間(即減減→增)u＝x-3x+2の增區(qū)間就是原函數(shù)の減區(qū)間(即減、增→減)解：y＝u1,u＝x2-3x+2,y關(guān)于u遞減，3當(dāng)x∈(-∞，32)時，u為減函數(shù)，∴y關(guān)于x為增函數(shù)；當(dāng)x32∞)時，u為增函數(shù)，y關(guān)于x為減函數(shù).14，已知函數(shù)f(x)＝xa(a>0且a≠1).1xa1(1)求f(x)の定義域和值域；(2)f(x)の奇偶性；(3)f(x)の單調(diào)性.解：(1)易得f(x)の定義域為x｜x∈｝.aaxx11,解得a＝-＝-yy11①∵ax>0當(dāng)且僅當(dāng)-x>0當(dāng)且僅當(dāng)-yy11y＝>0時，方程①有解.解-yy11>0得-1<y<1.∴f(x)の值域為y｜-1＜y＜1}.aaxx11＝11aaxx(2)∵f(-x)＝＝-f(x)且定義域為，∴f(x)是奇函數(shù).(3)f(x)＝x(axa122＝1-xa1.1°當(dāng)a>1時，∵ax+1為增函數(shù)，且x+1>0.22為減函數(shù)，從f(x)＝1-＝x1a1aaxx11∴為增函數(shù).2°當(dāng)0<a<1時，類xaxa1似地可得f(x)＝為減函數(shù).xa115、已知函數(shù)f（x）－22x（∈1（）求證：對a∈，f（x）為增函數(shù)．（）若f（x）為奇函數(shù)時，求aの值。精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案（）證明x1＜x2f（x）－f（x1）=x2(22x21)(1x21)x22)＞0故對任何a∈，f（x）為增函數(shù)．

（2）xR，又f（x）為奇函數(shù)f(0)0得到a10。即a116、定義在R上の奇函數(shù)f(x)有最小正周期為，且x(0時，f(x)4x2x1（1）求f(x)在[－1，1]）判斷f(x)在（，）上の單調(diào)；（3）當(dāng)為何值時，f(x)=在x[上有實數(shù)解.解（1）∵x∈R上の奇函數(shù)∴f(0)0又∵2為最小正周期∴ff(2f(f0xx22x∈（－1，0x∈（，()f(x)fxxx4141x2∴f(x)x41x2x(-1,0)（2）1<x2<1x41f(x)0x{-1,0,1}fx1xxx2xx2x(222)(22221(x)f(x)1xx2(4412)x2xxxxx(222212))(11=0x41xx(4412∴在（0，）上為減函數(shù)。（3）∵f(在（0，1）上為減函數(shù)。21∴ff(x)f(0)即)f(x)(,5212同理f(在（－1，0）時，)f(x)(,