2021年四川省高考數(shù)學診斷性試卷（理科）

2021年四川省高考數(shù)學診斷性試卷（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.（5分）設集合A={-1,0,1,2,3},集合B={x|/>2x},則4cB的子集個數(shù)為（）

A.2B.4C.6D.8

2.（5分）方勝是漢民族的傳統(tǒng)寓意祥紋，由兩個菱形壓角疊加而成，一個菱形的頂點與另

一個菱形的中心對應，象征著“同心”.在如圖所示的二連方勝中任取一點，則該點恰好

落在疊加小菱形內的概率為（不考慮菱形邊界的寬度）（）

1111

A.-B,一C.-D.—

6789

3.（5分）已知命題p,?是簡單命題，則”「?是假命題”是“pVq是真命題”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.（5分）2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范圍內相繼爆發(fā)，因為政治制度、文化背景等

因素的不同，各個國家疫情防控的效果具有明顯差異.如圖是西方某國在60天內感染新

冠肺炎的累計病例人數(shù)y（萬人）與時間，（天）的散點圖，則下列最適宜作為此模型的

回歸方程的類型是（）

..............................................A.

.........................

6U.....................................

40..............................■...*........

20.........................*

**

0~1020304050（ij7/人

A.y=a+bxB.y=a+by/xC.y=a+bevD.y=a+blnx

5.（5分）在（x-4）6的展開式中，常數(shù)項為（）

V%

A.256B.240C.192D.160

6.（5分）在△ABC中，a,b,c分別是內角A,B,C的邊，已知24cosc=26+則角

4等于（）

n7i27157r

A.-B?-C.—D.—

6336

7.（5分）某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)市場預測，甲、乙兩個項目的可能最大

盈利率分別為30%和20%,可能最大虧損率分別為50%和20%.該投資人計劃利用不超

過300萬元的資金投資甲、乙這兩個項目，在總投資風險不超過30%的情況下，該投資

人可能獲得的最大盈利為（）

A.40萬元B.50萬元C.60萬元D.70萬元

8.（5分）己知直線/：經過點尸（-1,2）,則2a+b的最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

9.（5分）將函數(shù)y=sin2x圖象上的每一一個點按向量Z=（甲，相）（其中中和"?為常數(shù)，且

77TT

I（PI<-）移動后，所得圖象關于直線工=石對稱，則⑴的值可能為（）

①半窯③嚓④卷

A.①③B.②③C.①④D.②④

%2y2

10.（5分）已知F（c,0）（其中c>0）是雙曲線"一J=1（a>0,b>0）的焦點，圓

f+y2-2cx+廿=0與雙曲線的一條漸近線/交于A、B兩點,已知/的傾斜角為30°,則

tanZAFB=（）

A.-V2B.-V3C.-2V2D.-2V3

11.（5分）設”=0.2吟b=0.2°3,C=0.3°2,d=0.303,則a,b,c,d的大小關系是（）

A.c>a>d>bB.c>d>a>bC.c>a>b>dD.d>c>b>a

12.（5分）已知正方體45co-A出QQi的棱長為4,且+34；C=4/；E,正方體內的

動點尸滿足|而|=2|而I，則點尸的軌跡所形成圖形的面積是（）

A.IlB.21TC.3TID.4n

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）設復數(shù)z=l7&為虛數(shù)單位）的共枕復數(shù)為2,則|z"l+2）|=.

14.（5分）在正四棱柱（底面為正方形且側棱垂直于底面）ABC。-A1B1C1G中，BC=2/L4i,

M是BC的中點，則異面直線BD\與MC\所成角的大小為.

15.(5分)已知直線經過拋物線夕=4》的焦點凡并交拋物線于A、B兩點,在拋物線的

準線上的一點C滿足3=2加則|Af]=.

x—2,xV2

一，則方<5)]=_______；不等式f(x+2)

{log2(x-1),x>2

+f(x)>/(2)的解集是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：

共60分。

17.(12分)如圖所示，在四棱錐P-A8C。中，底面48co為正方形，E為側棱PC的中

點.

(1)求證：經過A、B、E三點的截面平分側棱PD：

(2)若布_L底面48CZ),且B4=A￡>,求二面角A-BE-C的大小.

18.(12分)團結協(xié)作、頑強拼搏的女排精神代代相傳，極大地激發(fā)了中國人的自豪、自尊

和自信，為我們在實現(xiàn)中華民族偉大復興的新征程上奮勇前進提供了強大的精神力量.最

近，某研究性學習小組就是否觀看過電影《奪冠(中國女排)》對影迷們隨機進行了一次

抽樣調查，其列聯(lián)表如表(單位：人).

是否合計

青年401050

中年302050

合計7030100

(1)根據(jù)列聯(lián)表以及參考公式和數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下，認

為是否觀看過電影《奪冠(中國女排)》與年齡層次有關？

(2)(i)現(xiàn)從樣本的中年人中按分層抽樣方法取出5人，再從這5人中隨機抽取3人，

求其中至少有2人觀看過電影《奪冠(中國女排)》的概率；

(ii)將頻率視為概率，若從眾多影迷中隨機抽取10人記其中觀看過電影《奪冠(中國

女排)》的人數(shù)為講求隨機變量F的數(shù)學期望及方差.

參考公式：心w，

其中〃=a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù)：

P（非》0.150.100.050.0250.010

20）

ko2.0722.7063.8415.0246.635

19.(12分)設等差數(shù)列｛.〃｝的前"項和為Sn,己知S5=35,且3是ai與ai3的等比中項

(1)求｛“”｝的通項公式；

11132

(2)若?1<4,求證：一+—+…+—<>—----，其中

S］S?Sn4&i+i

x2y2

20.(12分)設A、尸分別為橢圓C—4-77=1(?>Z?>0)的左頂點和右焦點，B為它的

a2b2

b3

一個短軸端點，已知AAB尸的面積為一.

a

(1)求橢圓C的離心率；

(2)經過點F且不與坐標軸垂直的直線/與橢圓交于M、N兩點，線段MN的垂直平分

線與x軸交于點P,當/的方向變化時，是否存在常數(shù)入，使得|MN=RPF］恒成立？若存

在，求出入的值；若不存在，請說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)--ax1-x.

(1)設/(x)是/(x)的導函數(shù)，討論函數(shù)y=/(x)的單調性；

(2)當aW1-亍時，求證：f(x)+x-In(x+1)21.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計分。［選修4?4：極坐標與參數(shù)方程］

22.(10分)在平面直角坐標系X。)，中，已知曲線C：卜=感+子05。(其中&為參數(shù)).以

0為極點、x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系(兩種坐標系的單位長度相同)

(1)求曲線C的極坐標方程；

7T

(2)設點A的極坐標為(-3,石)，點8在曲線C上運動，求△O4B面積的最大值以及

此時點8的極坐標.

［選修4-5：不等式選講］

23.設函數(shù)/(x)=^x-a\,其中a為常數(shù).

(1)當a=l時，求不等式/(x)<2的解集；

(2)若方程/(X)=1有三個不等實根，求a的取值范圍.

2021年四川省高考數(shù)學診斷性試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.（5分）設集合A={-1,0,1,2,3},集合5={x[?>2x},則4nB的子集個數(shù)為（）

A.2B.4C.6D.8

【解答】解：：A={-1,0,1,2,3},8={x|x<0或x>2},

；.AnB={-I,3},

.??ACB的子集個數(shù)為：22=4.

故選：B.

2.（5分）方勝是漢民族的傳統(tǒng)寓意祥紋，由兩個菱形壓角疊加而成，一個菱形的頂點與另

一個菱形的中心對應，象征著“同心”.在如圖所示的二連方勝中任取一點，則該點恰好

落在疊加小菱形內的概率為（不考慮菱形邊界的寬度）（）

8

1111

A.-B.—C.一D.—

6789

【解答】解：設大菱形的邊長為2a,其中一個頂角為a,

則小菱形的邊長為a,

一個大菱形的面積為：2xix2a,2a,sina=4iz2,sina,

一個小菱形的面積為：2xixa,a,sina=a2,sina,

???任取一點，則該點恰好落在疊加小菱形內的概率為（不考慮菱形邊界的寬度）：

a2-sina1

2x4a2-sina-a2sina7-

故選：B.

3.（5分）已知命題p,q是簡單命題，則”「?是假命題”是“pVq是真命題”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解答】解：「〃是假命題，則p是真命題，推出pVq是真命題，是充分條件，

反之，不成立,

故選：A.

4.（5分）2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范圍內相繼爆發(fā)，因為政治制度、文化背景等

因素的不同，各個國家疫情防控的效果具有明顯差異.如圖是西方某國在60天內感染新

冠肺炎的累計病例人數(shù)y（萬人）與時間，（天）的散點圖，則下列最適宜作為此模型的

回歸方程的類型是（）

…?”萬人

120......................

10U........................

81/.........................

6U........................................:…?

4U.....................................:..........

20.............*-*.........

J.f:I____,，,

'102（13U405u力人

A.y=a+hxB.y=a+hyfxC.y=a+bexD.y—a+blnx

【解答】解：函數(shù)圖像隨著自變量的變大，函數(shù)值增長速度越來越快，屬于指數(shù)型函數(shù)

的特征,

只有選項C為指數(shù)型函數(shù).

故選：C.

5.（5分）在（x-，=）6的展開式中，常數(shù)項為（）

VX

A.256B.240C.192D.160

【解答】解：（X-焉）6的展開式的通項公式為Tf=C/?x6々-金，=（-2）、C「x6-|r,

由6—5，=0,可得r—4,

即有展開式的常數(shù)項為16X15=240.

故選：B.

6.（5分）在△4BC中，a,b,c分別是內角A,B,C的邊，已知2“cosC=2b+V^c,則角

A等于（）

TCIT27T57T

A?一B,-C.—D.—

6336

【解答】解：ZVIBC中，V2acosC=2Z?+V3c.

由正弦定理得：2sinB+V5sinC=2sinAcosC,

*/2sinBz=2sin(4+C)=2sinAcosC+2cosAsinC,

，化簡可得：2cosAsinC+gsinC=0,

VsinC^O,

??COS/TL—2~，

.?.由(0,It),可得：A=管.

故選：D.

7.(5分)某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)市場預測，甲、乙兩個項目的可能最大

盈利率分別為30%和20%,可能最大虧損率分別為50%和20%.該投資人計劃利用不超

過300萬元的資金投資甲、乙這兩個項目，在總投資風險不超過30%的情況下，該投資

人可能獲得的最大盈利為()

A.40萬元B.50萬元C.60萬元D.70萬元

【解答】解：設投資甲、乙兩個項目分別為x、y萬元，

x+y<300

0個：0.2y<90,且最大盈利為z=30%x+20%y,

XNU

{y>o

所以由圖知，當z=30%x+20%)，過x+y=300,0.5x+0.2y=90的交點(100,200)時有最

大值，

所以z=0.3X100+0.2X200=70萬元，

故選：D.

8.(5分)已知直線I：bx-ay+”h=0("b>0)經過點P(-1,2),貝!|2a+b的最小值為()

A.6B.7C.8D.9

【解答】解：：直線/：bx-ay+ab=0(ab>0)經過點尸(-1,2),

/.-b-2a+ab=0,即2a+b=ab、272ab,ab^S.

則2a+b的最小值為8,

故選：C.

9.(5分)將函數(shù)y=sin2x圖象上的每一個點按向量改=((p,m)(其中(p和團為常數(shù)，且

nn

|<p|<-)移動后，所得圖象關于直線龍=不對稱，則⑴的值可能為()

??照③吟④吟

A.①③B.②③C.①④D.②④

【解答】解：函數(shù)y=sin2x圖象上的每一個點按向量之=(<p,tn)移動后得到y(tǒng)=sin[2

(X-(P)]+機，

71

??,所得圖象關于直線1=不對稱，

12

7T、71

：.2(—―<p)=4-^n，kwZ,

.八_TTkn

.?(p=一石—2~">kC,

n

又kpiq，

，當％=0時,(p=-^；當)=-!.時,<P=泉

???平的值可能為E

3b

故選：A.

%2y2

10.(5分)已知F(c,0)(其中c>0)是雙曲線一7—七=1(a>0,b>0)的焦點，圓

/+/-23+廿=0與雙曲線的一條漸近線/交于A、B兩點，已知/的傾斜角為30。，則

tanZAFB=()

A.-V2B.-V3C.-2V2D?-2V3

【解答】解：由題意可設雙曲線的一條漸近線方程為法-ay=0,

圓/+>2_2以+/=0化為(x-c)2+y2=a2,

圓心(c,0),半徑為m

/與圓(x-c)2+y1=a1(其中C2=J+〃2)相交于A,B兩點,

bV3

由/的傾斜角為30°,可得一=tan30°=—,

a3

F(c,0)到直線/的距離為日Z)|=*￡U=b,

：.\BD\=y/a2-b2,

MtanZDFB=ra=￡p!=，一i=g,

得tanZAFB=tan2ZDFB=產嗎空口=銬=一2夜.

1-tan^z.DFB1一，

故選：C.

11.(5分)設。=0.2°2,小=O.203,C=0.3°2,d=0.3°3,則a,b,c,d的大小關系是()

A.c>a>d>bB.c>d>a>bC.c>a>b>dD.d>c>b>a

【解答】解：Va=0.202,6=0.2%c=0.302,J=0.3°-3,

函數(shù)y=0.2*是R上的減函數(shù)，??.4>b；

y=0.3"是R上的減函數(shù)，，c>d

而y=/3是R上的增函數(shù)，???〃<於

y=x0,2是R上的增函數(shù)，

再根據(jù)西，d='標歷，：.a>d.

綜上可得，c>a>d>b

故選：A.

12.（5分）已知正方體ABC。-AiBCiOi的棱長為4,且+3&C=鈉止，正方體內的

動點P滿足|麗|=2|而則點尸的軌跡所形成圖形的面積是（）

A.itB.2nC.3nD.4n

【解答】解：以4為坐標原點，A181為x軸，4￡>1為y軸，A1A為z軸，建立如圖所示

的空間直角坐標系，

T1TT

則&E=+34?=(4,3,4),

設尸(x,y,z),則|而產=4|屆『，

所以(JC-4)2+J+(z-4)2=4[(x-4)2+(y-3)2+(z-4)2],

化簡Cx-4)2+(y-4)2+(z-4)2=4,

即以C(4,4,4)為球心，半徑為2的球面，

而點P在正方體內，則點P的軌跡是球面的：，

1C

所以S=QxTTx22=27r.

04

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)設復數(shù)z=l-iM為虛數(shù)單位)的共朝復數(shù)為2,貝U|z?(l+2)|=_V10_.

【解答】解：z?(i+z)=(1-/).(i+i+/)=2+1-z=3-i,

?,.|z*(l+z)|=,32+(-1)2=VTo.

故答案為：VTo.

14.(5分)在正四棱柱(底面為正方形且側棱垂直于底面)ABC。-A\B\C\D\中，8C=2A4,

n

M是BC的中點，則異面直線BD\與MC\所成角的大小為：.

【解答】解：設B1C的中點為N,連結BN,ND1,

正四棱柱(底面為正方形且側棱垂直于底面)A3C￡)-AIBICIOI中，底面ABCD為正方

形，

設BC=2?j,則A4=，w,

M,N分別為3C,的中點，故BN〃C\M,

所以異面直線BD\與MC\所成的角即為BD\與BN所成的角即NN8D1,

BiN=1cl=m,則BN=夜6，C,N=1cl=m,C1D1=2m,

22222

則ND】=yjm+(2m)=V5m,BDr=y/(2m)4-(2m)+m=3m,

在△BND中，由余弦定理可得COS/NBDL嗎需辭一=?胃看=冬

因為異面直線所成的角的范圍為(0,芻，

所以NN8DI=A，

TC

故異面直線BD】與MC1所成角的大小為：.

4

7T

故答案為：了.

4

15.(5分)已知直線經過拋物線丁=曲的焦點凡并交拋物線于4、B兩點，在拋物線的

準線上的一點C滿足后=2標，則|Afl=4.

【解答】解：由拋物線的方程可得焦點尸(1,0),準線方程為x=-l,

由題意可得C(-1,加,)設3(xi,yi),設3在x軸下方，

因為g=2晶，即(xi+1,yi-yo)=2(1-xi,-yo),

1

屬于可得xi+l=2(1-M),可得Xl=w，

將XI=g代入拋物線的方程可得y/=4x1=1，

所以戶=一竽，即B(1,一孥)，

所以如片匕卓=百，

1-3

所以直線AB的方程為：y=V3(x-1),

聯(lián)立卜;8。一1),整理可得3/-10x+3=0,解得：x=3或

(y“=4x3

所以可得A的橫坐標為3,

由拋物線的性質到焦點的距離等于到準線的距離，

所以|AQ=3-(-1)=4,

丫_?2

一’一，則—(5)1=0；不等式/(x+2)

{log(x-1),x>2

2

+f(x)>/(2)的解集是{x|x>“.

【解答】解：由題意可知/(5)=log2(5-1)=2,

?W(5)]=/(2)=2-2=0,

：.f(x+2)+f(x)>f(2)=0,

或1>2或，;廣，

(x+x-2>0{loa(x2-l)>0,

2八

v，\log2{x+1)>2—x

；.x>2或l〈xW2,

即解集為3x>l}.

故答案為：1,

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：

共60分。

17.(12分)如圖所示，在四棱錐P-4BCO中，底面ABCD為正方形，E為側棱PC的中

點.

(1)求證：經過A、B、E三點的截面平分側棱PZ)；

(2)若以_L底面A8C￡>,且也=A。，求二面角A-BE-C的大小.

【解答】(1)證明：設載面ABE與側棱PO交于點尸，

連接ERAF,

因為底面A8C。為正方形，所以AB〃C￡),

又因為ABU平面PC。，且C￡>u平面PCD,

所以A8〃平面PCD,

又ABu平面ABE,且平面ABEQ平面PCD=EF,

所以A8〃EF,

又因為A8〃C￡>,所以CD〃EF,

因為E為PC中點，所以尸為尸。中點，

即截面ABE平分側棱PD

(2)解：建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設A8=2,

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(1,1,1),

BA=(-2,0,0),BE=C-1,1),BC=(0,2,0),

設平面ABE與平面BEC法向量為U=(x,y,z),n=(u,v,w),

'TT

BE?m=-x+y+z=0人〔一1、

-J,令z=l,m=(/0n,1t,1),

BA-m=-2x=0

^BE-n=-u+v+w=0)令w=],-=(1)。，】),

^BC-n=2v=0

、\m-n\11

…'n>=向詞=7O=2-

所以二面角A-BE-C的大小為60°.

18.（12分）團結協(xié)作、頑強拼搏的女排精神代代相傳，極大地激發(fā)了中國人的自豪、自尊

和自信，為我們在實現(xiàn)中華民族偉大復興的新征程上奮勇前進提供了強大的精神力量.最

近，某研究性學習小組就是否觀看過電影《奪冠（中國女排）》對影迷們隨機進行了一次

抽樣調查，其列聯(lián)表如表（單位：人）.

是否合計

青年401050

中年302050

合計7030100

（1）根據(jù)列聯(lián)表以及參考公式和數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下，認

為是否觀看過電影《奪冠（中國女排）》與年齡層次有關？

（2）（i）現(xiàn)從樣本的中年人中按分層抽樣方法取出5人，再從這5人中隨機抽取3人，

求其中至少有2人觀看過電影《奪冠（中國女排）》的概率；

（ii）將頻率視為概率，若從眾多影迷中隨機抽取10人記其中觀看過電影《奪冠（中國

女排）》的人數(shù)為序求隨機變量f的數(shù)學期望及方差.

參考公式：心■喊餐

其中n=a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù):

P（非》0.150.100.050.0250.010

ko）

ko2.0722.7063.8415.0246.635

9

【解答】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算長2=吟黑淺哉抖=舞,

因為二二<5<5.024,所以不能在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下,

認為是否觀看過電影《奪冠(中國女排)》與年齡層次有關.

(2)(i)依題意，從樣本的中年人中按分層抽樣方法取出的5人中,

觀看過電影的有5x|§=3(人)，沒觀看過的有2人,

記抽取的3人中有i人觀看過電影為事件4&=1,2,3),

。起_3X2_

則)

P(42=10

八用)=,=左

從這5人中隨機抽取3人，其中至少有2人觀看過該電影的概率為:

317

P=P(A2)+P〃3)=弓+而=而；

一7

(ii)由題意知，觀看過該電影的頻率為一，

10

7

將頻率視為概率，則隨機變量m服從二項分布8co,—

所以隨機變量《的數(shù)學期望為E簿)=10x《=7,

方差為O(?)—10xx(1—.)=2.1.

19.(12分)設等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S”已知55=35,且衣是小與G3的等比中項.

(1)求｛6｝的通項公式；

11132

(2)若m<4,求證：一+—+???+—----，其中

SiS?Sn4CLn+i

【解答】(1)解：設等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,由S5=35,得5m+10d=35,

因為Q4是與〃13的等比中項，所以(m+3d)2=a\(m+12d),

化簡得〃1=7-2d,且2md=3屋，

解方程組，得〃1=7,d=0或ai=3,d=2,

故｛?！ǎ耐椆綖樵?7或詼=2〃+1(其中〃EN*).

(2)證明：因為m<4,貝ija〃=2〃+l,于是S〃=〃(n+2),

.口11111

于7￡以=而而=5、一初)'

,11111111111

故丁+——+…+——=—[(1-^)+(---)+(---)+???+(--------------)+(-----------)]

S]S?S"232435n-1n+1nn+2

111112?1+3

=—(1+-------------------)=

2'[十2幾+1n+2，2(n+l)(n+2)'

因為(〃+1)(〃+2)〈(苦2)2,

2n+344

----------->-----=-----，

(n+l)(n+2)2n+3an+1

十口11131432

于是一+—+…+—<-------=-----,其中〃€N*.

SiS?Sn42。九+14。九+1

x2y2

20.(12分)設A、尸分別為橢圓C二++=1(4Q0)的左頂點和右焦點，B為它的

a2b2

b3

一個短軸端點，已知AAB尸的面積為一.

a

(1)求橢圓。的離心率；

(2)經過點尸且不與坐標軸垂直的直線/與橢圓交于M、N兩點，線段的垂直平分

線與x軸交于點P,當/的方向變化時，是否存在常數(shù)入，使得|MM=RPF1恒成立？若存

在，求出入的值；若不存在，請說明理由.

1A3

【解答】解：(1)設橢圓的半焦距為c,由己知得5(a+c)b=',

B|Ja(〃+c)=2見又b2=a2-c2,

所以2c2+ac-。2=0,

所以(2c-a)(c+a)=0

由于。>0,c>0,

所以2c=a.

解得e=￡=|,

1

所以橢圓的離心率為二.

2

(2)由(1)知，a2=4c2,Z?2=3C2,

所以橢圓C的方程可化為37+4y=12d,

設M(xi,y\),N(X2,”)，直線/的方程為元=/y+c,聯(lián)立，

聯(lián)立直線/與橢圓的方程，得(3?+4)y2+6cry-9?=0,

則)'巾‘2=離')叱=逐'

由弦長公式可得|MV|=J(1+t2)[(yi+丫2)2-4%丫21=卜-t2)/柒+黑]=

12(t2+l)c

3t2+4'

設線段MN的中點坐標為(刈，yo).

-3c￡4c

則獷空xo=tyo+c=

3t2+4,3t2+4

則MN的垂直平分線方程為)，+術%=T(X一點工)，

令y=0,得點P的橫坐標xp=

3t?+4

于是|叩=匕-XP|=3紇=i|M7V|,

故存在常數(shù)入=4滿足條件.

21.(12分)己知函數(shù)/(x)=^-|a?-x.

(1)設/(X)是f(x)的導函數(shù)，討論函數(shù)y=/(X)的單調性;

1

(2)當aWl—時，求證：f(x)+x-In(x+1)21.

e

【解答】解：(1)由已知/(x)="-奴-1,

設g(x)=f(x)-ax-\,

g'(x)

①當aWO時，g'(x)="-〃>0在R上恒成立，

所以g(x)=/(x)=>0在R上恒成立，

所以g(X)=/(龍)在(-8,4-oo)上單調遞增，

②當〃>0時.，令g'(x)>0得x>加〃，gr(x)VO得xV歷〃，

所以g(x)=f(x)在(-°°,Ina｝上單調遞減，在(加m+8)上單調遞增，

綜上所述，當時，y=f(x)是(-8,+oo)上的增函數(shù)，

當a>0時，y=f(x)在(-8,勿〃)是減函數(shù)，在(1必+°°)上是增函數(shù).

(2)由(1)知，①當。W0時，/(x)=/-ar-1在(-1,+8)上單調遞增,

又，(0)=0,

所以-IVxVO時，/(%)<0；x>0時，f(x)>0,

則/(%)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，

所以/(K)min=f(0)=1,

②當01時，InaM-1,

由(1)知/(外在(-1,+8)上單調遞增，又/(0)=0,

則/(x)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+OO)上單調遞增，

所以/(X)min=f(0)=1,

③當亍V/Wl-J時，由⑴知/'(x)在(-1,lna')上單調遞減，在(Ina,+~