2023屆湖南省株洲市二中教育集團(tuán)高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆湖南省株洲市二中教育集團(tuán)高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（

）A．P B．M C． D．【答案】A【分析】求出，從而得到.【詳解】，.故選：A2．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題可通過(guò)二項(xiàng)式系數(shù)的定義得出結(jié)果.【詳解】第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故選：A.3．在平面直角坐標(biāo)系中，角的大小如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義和正切和角公式求出，化弦為切，代入求值即可.【詳解】由題圖知，則，所以.故選：C4．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)最小 D．時(shí)的最小值為【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算可得，進(jìn)而根據(jù)遞增即可判斷AB,根據(jù)和即可判斷CD.【詳解】由得，由于是遞增數(shù)列，所以，，故A,B錯(cuò)誤，，由于，故當(dāng),時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,當(dāng),時(shí)，，因此當(dāng)或時(shí)最小，故C錯(cuò)誤，，由于，故解得，故時(shí)的最小值為，D正確.故選：D5．已知為兩個(gè)隨機(jī)事件，，則“相互獨(dú)立”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用獨(dú)立事件的公式，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)，，，則，故充分；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，得，，故必?故選：A.6．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上，圓的半徑為1，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，則的最小值為（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】利用向量數(shù)量積的定義得，再根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得，進(jìn)而可求解.【詳解】，當(dāng)即點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，取最小值，故選:B.7．已知正數(shù)，，滿(mǎn)足，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，分別造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出，，進(jìn)而求解即可.【詳解】；構(gòu)造，則，令，即解得：，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以，構(gòu)造，則，令，即，解得：，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，所以，綜上可知：，故選：.8．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，且，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用、可得，從而求出、的解析式，再由二倍角公式和余弦函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】，，所以，得，，所以，，所以，，得的最小值為.故選：A.二、多選題9．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)3，5，8，9，12，13，15，20，22，30的上四分位數(shù)為15B．若隨機(jī)變量，且，則C．已知數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的4倍D．對(duì)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量，其線(xiàn)性回歸方程為，若一個(gè)樣本點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)【答案】BC【分析】根據(jù)上四分位數(shù)的概念可判斷選項(xiàng)；根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)；利用標(biāo)準(zhǔn)差的運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)；利用線(xiàn)性回歸直線(xiàn)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于，由上四分位數(shù)的概念可知：數(shù)據(jù)3，5，8，9，12，13，15，20，22，30的上四分位數(shù)為20，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)殡S機(jī)變量，圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又，所以，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，設(shè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)闃颖军c(diǎn)不一定在線(xiàn)性回歸直線(xiàn)上，所以不一定是，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：.10．設(shè)函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增；B．若且則；C．若在上有且僅有2個(gè)不同的解，則的取值范圍為；D．存在，使得的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)為奇函數(shù).【答案】AD【分析】由，選項(xiàng)A：利用正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷；選項(xiàng)B：利用正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷；選項(xiàng)C：利用正弦函數(shù)的圖象判斷；選項(xiàng)D：【詳解】，選項(xiàng)A：，得，因?yàn)?，有，所以在上單調(diào)遞增；故A正確；選項(xiàng)B：可知，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：已知，若有且僅有2個(gè)不同的解，如圖所示：可得，解得，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：，可知當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足為奇函數(shù)，故D正確；故選：AD.11．已知點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)和的斜率之積為，記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則（

）A．曲線(xiàn)的方程為： B．為直角三角形C．面積最大值為 D．面積最大值為【答案】BD【分析】對(duì)A，設(shè)，由直線(xiàn)和的斜率之積為列式得方程；對(duì)B，設(shè)，，得，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上求得，即可證；對(duì)C，求出與直線(xiàn)平行且與曲線(xiàn)相切且切點(diǎn)在第一象限的切線(xiàn)方程，結(jié)合點(diǎn)線(xiàn)距離求得最大面積；對(duì)D，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程解得P點(diǎn)坐標(biāo)，即可求直線(xiàn)方程，結(jié)合韋達(dá)定理及鉛錘法得，最后討論最大值.【詳解】對(duì)A：設(shè)，則化簡(jiǎn)得：，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：設(shè)，，，則，，∵，，∴，則，則，故B正確；對(duì)C：與直線(xiàn)平行且與曲線(xiàn)相切且切點(diǎn)在第一象限的切線(xiàn)方程為，聯(lián)立得，由得，∴切線(xiàn)為，兩平行直線(xiàn)的距離為，此時(shí)面積最大，最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：設(shè)直線(xiàn)得方程為，，解得，則直線(xiàn)：，聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程可得，則，，令，則，∵在，即上單調(diào)遞增，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確，故選：BD12．已知數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列前項(xiàng)和為，則下列敘述正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的作差，放縮，累加，等方法即可求解.【詳解】，又，歸納可得，故選項(xiàng)A正確；數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選項(xiàng)D正確；，，，，，又，，，，,，所以當(dāng)時(shí)，.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)B正確；故選：ABD.三、填空題13．若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)_________.【答案】1【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由純虛數(shù)的定義可得，再代入計(jì)算可得答案.【詳解】，因?yàn)榧兲摂?shù)，所以，且，解得，得，所以虛部為1.故答案為：1.14．在正三棱錐中，，為中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為_(kāi)___.【答案】【分析】根據(jù)向量的夾角即可求解異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.【詳解】在中，，,由,所以，即異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故答案為：15．已知雙曲線(xiàn)的焦距為，過(guò)的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與的兩條漸近線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_________.【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)條件確定，進(jìn)而可確定，從而在直角△AOB中，，結(jié)合正切的二倍角公式求解.【詳解】因?yàn)?，?huà)出示意圖如圖，設(shè)，因?yàn)?，則，所以，則，所以.又，所以，所以，根據(jù)，所以.又因?yàn)?，所?在直角△AOB中，，所以，化簡(jiǎn)得：，所以，則漸近線(xiàn)方程為：，故答案為:.16．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足：，且，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________.【答案】【分析】注意到，所以可設(shè)，進(jìn)而得到，參變分離得，所以【詳解】設(shè)，則，故，則，又因?yàn)椋?，所以，，又因?yàn)楹愠闪?，即，因?yàn)?，參變分離得在上恒成立，其中，理由如下：構(gòu)造，則，令得：，當(dāng)?shù)茫?，?dāng)?shù)茫海试谔幦〉脴O小值，也是最小值，，從而得證.故，故，實(shí)數(shù)a的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】①含參不等式經(jīng)?？紤]參變分離的方法；②熟悉常用結(jié)論：，；③觀察函數(shù)的形式，滲透同構(gòu)的思想.四、解答題17．已知數(shù)列滿(mǎn)足(1)求證：為等差數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)將題中遞推公式整理變形可得：，進(jìn)而證明；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論得出：，利用錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）由，可得因此為等差數(shù)列，且公差為.（2）又因?yàn)?，所以，所以所以?8．在中，角的對(duì)邊分別為已知，，(1)證明：(2)若求的周長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由已知條件結(jié)合正弦定理可得，則，再由正弦定理可證得結(jié)論；（2）由已知得，再結(jié)正弦定理和可得，化簡(jiǎn)后可得，再求出，然后由可求出，從而可判斷為直角三角形，進(jìn)而可求得的周長(zhǎng).【詳解】（1），所以由正弦定理得，即，所以，所以由正弦定理得，（2）由，可得，由正弦定理得，即，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，，，為直角三角形，因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以，，所以的周長(zhǎng)為.19．圖1是直角梯形ABCD，，，四邊形ABCE是邊長(zhǎng)為4的菱形，并且，以BE為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且，如圖2.(1)求證：平面平面ABED；(2)在棱上是否存在點(diǎn)P，使得P到平面的距離為？若存在，求出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)存在，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為【分析】（1）作出輔助線(xiàn)，得到⊥BE，⊥BE，且，由勾股定理逆定理求出AF⊥，從而證明出線(xiàn)面垂直，面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得到線(xiàn)面角.【詳解】（1）取BE的中點(diǎn)F，連接AF，，因?yàn)樗倪呅蜛BCE是邊長(zhǎng)為4的菱形，并且，所以均為等邊三角形，故⊥BE，⊥BE，且，因?yàn)?，所以，由勾股定理逆定理得：AF⊥，又因?yàn)?，平面ABE，所以⊥平面ABED，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫鍭BED；（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A所在直線(xiàn)為x軸，F(xiàn)B所在直線(xiàn)為y軸，所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，故，解得：，故，設(shè)平面的法向量為，則，故，令，則，故，其中則，解得：或（舍去），則，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.20．某社區(qū)為豐富居民的業(yè)余文化生活，打算在周一到周五連續(xù)為該社區(qū)居民舉行“社區(qū)音樂(lè)會(huì)”，每晚舉行一場(chǎng)，但若遇到風(fēng)雨天氣，則暫停舉行.根據(jù)氣象部門(mén)的天氣預(yù)報(bào)得知，在周一到周五這五天的晚上，前三天每天出現(xiàn)風(fēng)雨天氣的概率均為，后兩天每天出現(xiàn)風(fēng)雨天氣的概率均為，每天晚上是否出現(xiàn)風(fēng)雨天氣相互獨(dú)立.已知前兩天的晚上均出現(xiàn)風(fēng)雨天氣的概率為，且這五天至少有一天晚上出現(xiàn)風(fēng)雨天氣的概率為.(1)求該社區(qū)能舉行4場(chǎng)音樂(lè)會(huì)的概率；(2)求該社區(qū)舉行音樂(lè)會(huì)場(chǎng)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由題意先求出，由相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出答案；（2）求出的可能取值和每個(gè)對(duì)應(yīng)的概率，即可求出的分布列，再由期望公式即可求出.【詳解】（1）由已知可得，，又，解得設(shè)表示第i天可以舉行音樂(lè)會(huì)，B表示該社區(qū)能舉行4場(chǎng)音樂(lè)會(huì)則（2）的可能取值為0，1，2，3，4，5；所以的分布列為012345P從而數(shù)學(xué)期望為：21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為且離心率為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，為上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑作圓，若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)（異于軸）與圓相切于點(diǎn)，且與直線(xiàn)相交于點(diǎn)試判斷是否為定值，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定值，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何關(guān)系，定義，離心率代入即可求解；（2）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，軌跡方程，和橢圓的定義即可求解.【詳解】（1）由題意可知：，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知，則，設(shè)點(diǎn)則圓的半徑為，則直線(xiàn)直線(xiàn)方程為，設(shè)的方程為則可得，聯(lián)立,所以點(diǎn)的軌跡方程為,則為定值.22．已知函數(shù)．(1)若是的極值點(diǎn)，求a；(2)若，分別是的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，證明下面①，②中的一個(gè)．①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．注：如果選擇①，②分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，即可得，然后將帶入原函數(shù)進(jìn)行分析說(shuō)明即可；（2）選擇①因?yàn)榉謩e為的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，所以，分別求出的值，找出等量關(guān)系式，然后根據(jù)，對(duì)函數(shù)式進(jìn)行分析，利用構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性，同時(shí)結(jié)合已知的條件即可得；選擇②因?yàn)榉謩e為的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，所以，分別求出的值，找出等量關(guān)系式，然后根據(jù)，對(duì)函數(shù)式進(jìn)行分析，利用構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性，同時(shí)結(jié)合已知的條件即可得；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，若是函?shù)的極值點(diǎn)，則，，即，此時(shí)，設(shè)，則，，所以存在，使得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn).（2）選擇①：因?yàn)榉謩e為的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，所以，，所以.當(dāng)時(shí)，，則，即因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，若，則只需證明，設(shè)，則設(shè)，則為增函數(shù)，且所以存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，所以，單調(diào)遞增，所以，則，等價(jià)于.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，若時(shí)，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，所以當(dāng)時(shí)，成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，，即成立，綜上，若，分別是的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.選擇②：因?yàn)榉謩e為的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，所以，，所以.當(dāng)時(shí)，，則，即若，即則只需證明，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以.若，設(shè)，則，單調(diào)遞增，所以，所以，，所以只需證明.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，此時(shí)也有，所以當(dāng)