高中數(shù)學(xué)用勻速圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)講解三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

以勻速圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)講解三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)對(duì)于三角函數(shù)y=Asin（oox+$）的周期，頻率，初相，它是由函數(shù)y=sinx經(jīng)過怎樣的變換來(lái)得到，有些同學(xué)掌握的不是很好，他們主要是覺得比較抽象，雖然對(duì)于對(duì)變換法則進(jìn)行了記憶，但由于理解并不透徹，因而在具體應(yīng)用時(shí)，仍然常常出錯(cuò)。為了讓初次接觸這些函數(shù)的同學(xué)能更好的理解，掌握這些函數(shù)的性質(zhì)和它們之間的關(guān)系，我在此嘗試用質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的模型來(lái)講解三角函數(shù)y二Asin（⑴x+e）的圖像和性質(zhì)以及它是由y=sinx經(jīng)過怎樣的變換得到的。在正式講述之前，我們先來(lái)思考一個(gè)問題：有一個(gè)單位圓，以其圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，有一質(zhì)點(diǎn)，以單位圓與橫軸的交點(diǎn)為起點(diǎn)，以角速度1rad/單位時(shí)間在單位圓上按逆時(shí)針方向做周而復(fù)始的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)橫軸的位移（以x軸上方為正）是多少？并作出其圖像。對(duì)上面的問題，當(dāng)我們學(xué)過單位圓和三角函數(shù)之后，我們就知道，所求的這一位移正是質(zhì)點(diǎn)所到達(dá)位置的正弦線，如下圖中的PM因此，所求問題的解正是正弦函數(shù)y二sinx,其圖像也就是三角函數(shù)y二sinx的圖像，在此模型下，函數(shù)y二sinx圖像也就是質(zhì)點(diǎn)做此圓周運(yùn)動(dòng)的位移---時(shí)間圖像，如下圖從上面問題的敘述來(lái)看，質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)明顯是一種周期運(yùn)動(dòng)，那么其運(yùn)動(dòng)的周期是多少呢？我們知道，一個(gè)整圓的圓周角是2n,質(zhì)點(diǎn)以1rad/單位時(shí)間的角速度在圓上做圓周運(yùn)動(dòng)，那么它走完一周所需要的時(shí)間就是整圓的圓周角除以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度，也就是2n/1=2n,這就是它的周期。如果質(zhì)點(diǎn)在此單位圓上運(yùn)動(dòng)的角速度變成了3,那么其運(yùn)動(dòng)的周期就是2n/s，這時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)也就變成了y=sinOOXo在上面兩圖中，兩縱軸的意義相同，其上的縱坐標(biāo)都是表示位置,但兩圖的橫坐標(biāo)卻有了不同的含義,上面質(zhì)點(diǎn)在單位圓上的運(yùn)行圖中,橫坐標(biāo)仍然是表示位置的,但下面函數(shù)圖象上的橫坐標(biāo)就不再表示位置了,而是表示時(shí)間,整個(gè)函數(shù)圖象表示的是在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行時(shí)間內(nèi)的任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)橫軸的位移,因此,后面在此模型下討論函數(shù)y二Asin(3x+e)的圖象和性質(zhì)時(shí)，其圖象橫軸都是時(shí)間軸，其軸上坐標(biāo)都表示了某一時(shí)刻。在正弦函數(shù)y=sinx中的x實(shí)際上是1和x的乘積，它表示了質(zhì)點(diǎn)以1rad/單位時(shí)間的角速度運(yùn)動(dòng)了x時(shí)間后所產(chǎn)生的角位移，把這些區(qū)別記清楚。在上面,我們討論到當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度3不為單位速度時(shí)，其周期是2n/3，而在三角函數(shù)的書本上，我們知道，函數(shù)y二Asin(wx+$)的周期為2n除以頻率，從這里我們可以知道，我們平時(shí)在書本上所看到的三角函數(shù)的頻率正是這一模型中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的角速度。下面我們從角速度的方面出發(fā)來(lái)理解頻率3為什么能決定周期。我們?cè)賮?lái)看上面質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的模型，在這一模型中能影響質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行周期的因素有哪些呢？從學(xué)過的關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)中我們知道,做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體其運(yùn)行周期取決于運(yùn)行一個(gè)周期所經(jīng)歷的角位移的大小和運(yùn)行角速度的大小。在這一模型中，無(wú)論運(yùn)行的圓的半徑是多少，只要是一個(gè)整圓，其圓周角就是2n,為一定值,因此,其運(yùn)行的周期就只決定于質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度3,即T=2n/s。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以1rad/單位時(shí)間在圓周上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周所需時(shí)間為2n,此時(shí)它的轉(zhuǎn)動(dòng)周期T為2n,那么當(dāng)質(zhì)點(diǎn)分別以0.5rad/單位時(shí)間和2rad/單位時(shí)間的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其周期就分別為T=2n/0.5=4n和T=2n/2=n，這時(shí)它們的函數(shù)式分別為y二sin1/2x和y二sin2x,它們的函數(shù)圖像和y=sinx的函數(shù)圖像之間的關(guān)系如下圖上面我們只比較了它們?cè)谝粋€(gè)周期內(nèi)的圖像關(guān)系，從圖像上來(lái)看,y二sin1/2x就像是y二sinX的圖像沿橫軸拉伸了，y二sin2x則像是y二sinx的圖像沿橫軸壓縮了，從角速度方面來(lái)理解，3值越大，表面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的越快,在相同時(shí)間里,它走的圈數(shù)就可能越多,反應(yīng)到圖像上就是同一區(qū)間內(nèi)圖像越密。3越小，則表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的越慢，運(yùn)行一個(gè)周期所需的時(shí)間就越長(zhǎng)，反應(yīng)到圖像上就是同一區(qū)間內(nèi)圖像就越稀疏。我們?cè)谏厦嬗懻撡|(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的起點(diǎn)是單位圓與橫軸的交點(diǎn)，為后面敘述方便，我們?cè)诖税堰@點(diǎn)叫做質(zhì)點(diǎn)的原定起點(diǎn)。如果質(zhì)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)不是原定起點(diǎn)，那情況將會(huì)怎么樣呢？我們假設(shè)質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際起點(diǎn)和原定起點(diǎn)之間所夾的弧長(zhǎng)為e,那么這個(gè)e對(duì)應(yīng)的正是函數(shù)y二Asin（3X+e）中的初相e,下面我們先討論y二sin（x+e）的圖像與y=sinx的圖像間的關(guān)系，我們討論的e的取值限定在（-n/2,n/2）內(nèi)，在這個(gè)范圍之外的e可以先根據(jù)三角函數(shù)間的關(guān)系轉(zhuǎn)化到這個(gè)范圍內(nèi)再來(lái)討論。在我們觀察記錄質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況時(shí)，我們先選定質(zhì)點(diǎn)在圓周上處于某一位置時(shí)作為其運(yùn)動(dòng)零時(shí)，這一零時(shí)在圖像上對(duì)應(yīng)的就是橫坐標(biāo)x為o的位置，即y軸，在x+e中，當(dāng)e也為0時(shí)，表示開始記錄時(shí)質(zhì)點(diǎn)處于原定起點(diǎn)，那么其開始記錄時(shí)的縱坐標(biāo)也為0，這一點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著圖像上的坐標(biāo)原點(diǎn)。當(dāng)e不為o時(shí)，在我們開始記錄時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)橫軸之間就有一段位移，這時(shí)在圖像上質(zhì)點(diǎn)就處于y軸上的某點(diǎn)，而不再是坐標(biāo)原點(diǎn)了。此時(shí)原定起點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，在橫軸上，但因?yàn)樗皇怯涗浟銜r(shí)，因此它的位置不再是坐標(biāo)原點(diǎn)。此時(shí)實(shí)際起點(diǎn)距橫軸的距離就是它在圖像上y軸的位置，也就是我們知道了此時(shí)函數(shù)y=sin(x+e)的圖像與y軸的交點(diǎn)，但我們一般是把圖像與橫軸的某個(gè)交點(diǎn)作為圖像的一個(gè)周期的起點(diǎn)，那這個(gè)點(diǎn)該怎么找呢？實(shí)際上我們此時(shí)就是要在此情況下找原定起點(diǎn)在圖像上的位置，我們從實(shí)際起點(diǎn)開始沿e弧向原定起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)e>0,實(shí)際起點(diǎn)在原定起點(diǎn)上方，那么由實(shí)際起點(diǎn)走向原定起點(diǎn)就需要按順時(shí)針方向走，而我們學(xué)弧度時(shí)，按規(guī)定沿順時(shí)針走過的角度為負(fù)角，逆時(shí)針方向走過角度為正角，這時(shí)由實(shí)際起點(diǎn)到原定起點(diǎn)是按順時(shí)針方向，表示在圖像上要從y軸開始沿橫軸負(fù)向去找，需要用時(shí)為e/i=e,也即這時(shí)原定起點(diǎn)應(yīng)該在X軸負(fù)向離y軸為e個(gè)單位的點(diǎn)上，從圖像上看，就相當(dāng)于把函數(shù)y=sinx的圖像沿x軸負(fù)向移動(dòng)e個(gè)單位來(lái)得到y(tǒng)=sin(x+e)的圖像。如果從實(shí)際起點(diǎn)沿e弧都原定起點(diǎn)是按逆時(shí)針方向，那么原定起點(diǎn)在圖像上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就應(yīng)該在y軸的右方，x軸正向上。綜合上面的敘述，從y二sinx的圖像通過平移來(lái)得到y(tǒng)=sin(x+e)的圖像，需要把y=sinx的圖像沿x軸正向移動(dòng)-e個(gè)單位。如果是函數(shù)y=sin(wx+e)所描述的質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度3不為單位速度，那么走過e弧所需時(shí)間就是e/w,這時(shí)就需要把函數(shù)y=sinx的圖像沿x正向移動(dòng)-e/w個(gè)單位來(lái)得到y(tǒng)=sin(wx+e)的圖像(先處理頻率，把圖像伸縮，再移動(dòng)時(shí)需要移動(dòng)的單位。如果是先移動(dòng)，后伸縮，那就是直接移動(dòng)-e個(gè)單位，再調(diào)整橫坐標(biāo)為原來(lái)的i/w)。前面我們講述了函數(shù)y=sin(wx+e)中的頻率w和初相①，它們對(duì)應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型中的角速度和運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)。前面的模型中質(zhì)點(diǎn)都是在單位圓上運(yùn)動(dòng)，如果它所運(yùn)動(dòng)的圓周不是單位圓，那會(huì)怎么樣呢？對(duì)于正弦函數(shù)y二sinx,我們知道，函數(shù)y是單位圓中的正弦線，當(dāng)圓的半徑不為1時(shí)，這時(shí)求圓中某處的正弦線的公式就成了y=rsinx,從這里我們可以知道，在函數(shù)y=Asin(sx+e)+B中，A就是質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。B則是質(zhì)點(diǎn)所在圓周圓心在y軸上的坐標(biāo),這時(shí)過圓心且與y軸垂直的直線就不再是x軸,而是直線y=B了。上面我們從質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的模型來(lái)理解函數(shù)y二Asin(3x+e)+B中各量的含義，各量對(duì)函數(shù)圖象的形狀和位置的影響。對(duì)于函數(shù)y=Acos(3X+e)+B，可以有相似的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型，就是質(zhì)點(diǎn)的原定起點(diǎn)在圓周與y軸的交點(diǎn)，其它條件與y二Asin(wx+$)+B中的相同，各量的意義也一樣，同學(xué)們可以對(duì)照y二Asin(3X+e)+B與y=sinx的關(guān)系來(lái)探討y=Acos(wx+$)+B與y=cosx之間的關(guān)系，在此就不再另敘。這篇短文是從一個(gè)新的角度來(lái)講解函數(shù)y=Asin(oox+$)+B的圖像和性質(zhì)的初次嘗試，希望對(duì)初次接觸函數(shù)y二Asin(wx+$)+B的同學(xué)