高中數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)資料

---解析：由bsinA-asinB=0知，兩直線垂直.答案：垂直9.(2010年江蘇常州模擬)已知0vkv4,直線l］：kx-2y-2k+8=0和直線l2：2x+k2y-4k2-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使得這個(gè)四邊形面積最小的k值為.解析：1]:k(x-2)-2y+8=0過定點(diǎn)(2,4),12:k2(y-4)=4-2x也過定點(diǎn)(2,4)，如圖，A(0,4-k),B(2k2+2,0),S=|x2k2X4+(4-k+4)X2X]=4k2-k+8?當(dāng)k二1時(shí)，S取得最小值?答案：18810.在△ABC中，BC邊上的高所在直線方程為x-2y+1=0,ZA的平分線所在直線方程為y=0,若點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,2)，求點(diǎn)A和C的坐標(biāo).［x-2y+1二0,解：由］得A(-1,0)?又B(1,2),?????二1.b二0,???x軸是ZA的平分線，?kAC=-1.AC直線方程y二-(x+1).又BC方程為：y-2二-2(x-1),|y=-(x+1),由]得C(5,-6)..y-2--2(x-1),11.在直線l：3x—y—1=0上求點(diǎn)P和Q使得:P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；Q到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小.解：(1)如圖所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(a,b),則加ki--1，即3?□--1.a.??a+3b-12-0.①又由于線段BB'的中點(diǎn)坐標(biāo)為a士?)，且在直線l上，???3Xa-b^-1-0,即3a-b-6-0.②\2'2丿22解①②得a-3,b-3,:.B'(3,3).于是AB'的方程為二口，即2x+y-9-0.3-13-4

交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,5)．(2)如圖所示，設(shè)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C,求出C的坐標(biāo)為(J，罟).???AC'所在直線的方程為19x+17y-93二0,ac和i交點(diǎn)坐標(biāo)為(￥，號(hào))，故Q點(diǎn)坐標(biāo)為岸，芋).12.(2010年濟(jì)南模擬)已知n條直線l1：x-y+C1=0,q=l2：x-y+C2=0,l3：x-y+C3=0,…，l:x-y+C=0(其中C<C<C<-C)，在這n條平33nn123n行直線中，每相鄰兩條直線之間的距離順次為2、3、4、…、n.求Cn；求x-y+Cn=0與x軸、y軸圍成圖形的面積；求x-y+C",=0與x-y+C=0及x軸、y軸圍成的圖形的面積.TOC\o"1-5"\h\zn-1n解：(1)原點(diǎn)O到*的距離d］為1,原點(diǎn)O到—的距離為1+2,…，原(n+1)2n(n+1)點(diǎn)0至I」1的距離d為1+2+-+n=—2.TC二問,...C二2.2nnn2(2)設(shè)直線1n:x-y+Cn=0交x軸于M,交y軸于N，貝U11n2(n+1)2S二懇IOMIJONI二C2二.△OMN22n4(3)所圍成的圖形是等腰梯形，由(2)知Sn二n(3)所圍成的圖形是等腰梯形，由(2)知Sn二n2(n+1)24，貝有S1n-1(n-1)2?n24?Snn2(n+1)2-S1n－1第三節(jié)("-J"2二如，???所求面積為n3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程A組1.若圓x2+y2—2kx+2y+2=0(k>0)與兩坐標(biāo)軸無公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍為.解析：圓的方程為(x-k)2+(y+1)2=k2-1,圓心坐標(biāo)為(k,-1),半徑r二,——R/Rvlkl寸R，若圓與兩坐標(biāo)無公共點(diǎn)，即P，解得1vk<V2.K/k2^<1若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.I4x0－3I解析：由題意，設(shè)圓心(x01),?t0二1，解得x0二2或x042+(-3)2???所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=1.(2010年廣東汕頭調(diào)研)已知D是由不等式組「：y；0，所確定的平面區(qū)域,2x+y三0

則圓x2+y2=4在區(qū)域D內(nèi)的弧長(zhǎng)為答案：n4.(2009年高考寧夏、海南卷改編)已知圓q：(x+l)2+(y—1)2=1,圓C2與圓C］關(guān)于直線x—y—1=0對(duì)稱，則圓C2的方程為.解析：圓C1：(x+1)2+(y-1)2=1的圓心為(-1,1)?圓C2的圓心設(shè)為(a,b),C1與C2C1與C2關(guān)于直線X-y-1二0對(duì)稱b-1a＋11，解得斗二0,2lb二-2,圓C2的半徑為1,???圓c2的方程為(x-2)2+(y+2)lb二-2,\jcQI2-ICMI2=\:'ICQI2-16,七,I5+3I當(dāng)他丄11時(shí)，ICQI取最小值,ICQI=―=4J2,此時(shí)IQMI的最小值為\『32-16=4，這樣的直線12有兩條，設(shè)滿足條件的兩個(gè)公共點(diǎn)為M1,m2,易證四邊形m1CM2Q是正方形，???12的方程是x=1或y=-4.B組(2010年福州質(zhì)檢)圓心在直線2x—3y—1=0上的圓與x軸交于A(1,0),B(3,0)5.(原創(chuàng)題)圓x2+y2—4x+2y+c=0與y軸交于A、B兩點(diǎn)，其圓心為P,若ZAPB=90°,則實(shí)數(shù)c的值是.解析：當(dāng)ZAPB=90°時(shí)，只需保證圓心到y(tǒng)軸的距離等于半徑白的孕倍?由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=5-c,即2二-c，解得c二-3.6.已知點(diǎn)A(—3,0),B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足IPAI=2IPBI.若點(diǎn)P的軌跡為曲線C,求此曲線的方程；(2)若點(diǎn)Q在直線l：x+y+3=0上，直線12經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M,求IQMI的最小值，并求此時(shí)直線12的方程.解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則\：'(x+3)2+y2=2\；(x-3)2+y2,化簡(jiǎn)可得(x-5)2+y2=16即為所求.(2)曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖則直線兩點(diǎn),則圓的方程為解析：所求圓與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，故線段AB的垂直平分線x=2是此圓的切線，連結(jié)CQ，則QMI二2過所求圓的圓心，又所求圓的圓心在直線2x-3y-1=0上，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為所求圓的圓心坐標(biāo)，解之得圓心坐標(biāo)為(2,1)，進(jìn)一步可求得半徑為\'2，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為兩點(diǎn),則圓的方程為解析：所求圓與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，故線段AB的垂直平分線x=(2010年揚(yáng)州調(diào)研)若直線ax+by=1過點(diǎn)A(b,a),則以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓的面積的最小值是___．解析：直線ax+by=1過點(diǎn)A(b,a),.°.ab+ab二1,.°.ab二*，又OA-冷a2+b2,???以O(shè)為圓心QA長(zhǎng)為半徑的圓的面積:S二n?OA2二@+bi)n^2ab-n二n,???面積的最小值為n.(2009年高考上海卷改編)點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是.解析：設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則x02+y02-4,連線中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),2x=x0+4,Ix0=2x-4,貝出]代入x02+y02-4中得(x-2)2+(y+1)2-、2y-y0-)227^\5所以動(dòng)點(diǎn)P(x,y))227^\5所以動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡如圖：為原點(diǎn)和四段圓孤，J一?丿故P0的取值范圍是{0}U[1,⑴].8.(2010年安徽合肥質(zhì)檢)曲線f(x)=xlnx在點(diǎn)P(1,0)處的切線l與坐標(biāo)軸圍1.已知點(diǎn)P(1,4)在圓C：x2+y2+2ax—4y+b=0上，點(diǎn)P關(guān)于直線x+y—3=0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，則a=,b=.解析：點(diǎn)P(1,4)在圓C：x2+y2+2ax-4y+b-0上，所以2a+b+1-0,點(diǎn)P關(guān)于直線x+y-3-0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，所以圓心(-a,2)在直線x+y-3-0上，即-a+2-3-0，解得a--1，b-1.已知圓的方程為x2+y2—6x—8y=0.設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為.解析：由題意知，圓心坐標(biāo)為(3,4)，半徑r-5，故過點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦為AC-2r-10,最短弦BD-2\卜2-4-4農(nóng)，四邊形ABCD的面積為20護(hù).過圓x2+y2=4外一點(diǎn)P(4,2)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B,則△ABP的外接圓的方程是.解析：???圓心為0(0,0)又???△ABP的外接圓就是四邊形OAPB的外接圓其直徑d-0P-2\3，.：半徑r=J5.而圓心C為(2,1),???外接圓的方程為(x-2)2+(y-1)2-5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)滿足x2+y2—Ixl—lyl=0,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則P0的取值范圍是.y解析：方程x2+y2-|x|-lyl-0可化為(kl-1)2+(|y|一_—

成的三角形的外接圓方程是解析：曲線f(x)二xlnx在點(diǎn)P(l,0)處的切線l方程為x-y-1=0,與坐標(biāo)軸圍成的三角形的外接圓圓心為(2,-|),半徑為號(hào)，所以方程為(x-2)2+(y+2)2-答案：(x—2)2+(y+2)2=29?設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2+(y—1)2=1,若對(duì)滿足條件的x、y,不等式X—3+c三0恒成立，則c的取值范圍是.yyy-0解析：由題意，知-cWy恒成立’又表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)(3,0)x-3x-3x-3連線的斜率，范圍為[-4,0],所以-cW-4,即c的取值范圍是心410.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(a,0)(a>0),B(0,a),C(—4,0),D(0,4),設(shè)AAOB的外接圓圓心為E.若OE與直線CD相切，求實(shí)數(shù)a的值；設(shè)點(diǎn)P在圓E上，使APCD的面積等于12的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，試問這樣的0E是否存在，若存在？求出0E的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，說明理由.解：⑴直線CD方程為y-x+4,圓心靖，2)，半徑r-號(hào)a.Ia-a+4l廠由題意得2~-，解得a-4.⑵TICDI-(-4)2+42-4昇，?：當(dāng)APCD面積為12時(shí)，點(diǎn)P到直線CD的距離為3\：2又圓心E到直線CD距離為2爲(wèi)(定值)，要使APCD的面積等于12的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，只須圓E半徑字-5品，解得a-10,此時(shí)，OE的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+(y-5)2-50.11.在RtAABO中，ZBOA=90。，OA=8,OB=6，點(diǎn)P為它的內(nèi)切圓C上任一點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、O距離的平方和的最大值和最小值.解：如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy,則A(8,0),B(0,6)，內(nèi)切圓C的半徑r二|(OA+OB-AB)-齢："二2.???內(nèi)切圓C的方程為(x-2)2+(y-2)2-4.設(shè)P(x,y)為圓C上任一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、O的距離的平方和為d，則d-PA2+PB2+PO2(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y23x2+3y2-16x-12y+100二3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76.*.*點(diǎn)P(x,y)在圓C上.(x-2)2+(y-2)2=4.d二3X4-4x+76-88-4九???點(diǎn)P(x.y)是圓C上的任意點(diǎn)，Ax￡[0,4].當(dāng)x-0時(shí)，d-88；當(dāng)x-4時(shí)，d.-72.maxmin12.(2008年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x￡R)的圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.求實(shí)數(shù)b的取值范圍；求圓C的方程；問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))？請(qǐng)證明你的結(jié)論.解：(1)顯然b工0.否則，二次函數(shù)f(x)-x2+2x+b的圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)(0,0).(-2,0)，這與題設(shè)不符?由bM0知，二次函數(shù)f(x)-x2+2x+b的圖象與y軸有一個(gè)非原點(diǎn)的交點(diǎn)(0.b)，故它與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程x2+2x+b-0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此方程的判別式4-4b>0，即bvl.所以b的取值范圍是(--.0)U(0,1).(2)由方程x2+2x+b-0.得x--1-b.于是二次函數(shù)f(x)-x2+2x+b的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是(-1-jE,0).(-1+1-b,0),(0,b).設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F-0.因圓C過上述三點(diǎn)，將它們的坐標(biāo)分別代入圓C的方程，得廠(-1-寸1-b)2+D(-1-寸l-b)+F-0,(_1+寸1_b)2+D(-1+寸1-b)+F-0,解上述方程組，因方工0,、b2+Eb+F-0.D-2,得|E--(b+1),所以，圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b-0.F-b.(3)圓C過定點(diǎn).證明如下：假設(shè)圓C過定點(diǎn)(％,y0)(x0,y0不依賴于b),將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，并變形為x02+y02+2x0-y0+b(1-y0)-0.(*)為使(*)式對(duì)所有滿足bv1(bM0)的b都成立，必須有1-y0-0,結(jié)合(*)式得x02+y02+2x0-y0-0.經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0,1),(-2,1)均在圓C上，答案：sina+cosa,貝0+cos2a=sina－cosa7函數(shù)fx)的一條對(duì)稱軸方程為x=J2n；函數(shù)fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為［令，罰；函數(shù)的解析式為fx)=V3sin(2x—尹).解析：據(jù)圖象可得：A-書,2-罟-3~T-n，故rn=2，又由f(尋)-sin(2X7n+p)=1”解得p-2kn-普伙立)，又-n<p<n，故p--2n,故fx)-護(hù)sin(2x-2n)，依次判斷各選項(xiàng)，易知①②是錯(cuò)誤的，由圖象易知x-尋是函數(shù)圖20102sin2xcos2x_.201122>-sin2xcos2x+20102sin2xcos2x-2015^20