新教材高中數(shù)學(xué)函數(shù).2

04/403/4/3．2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系第1課時函數(shù)的零點(diǎn)[課程目標(biāo)]1.理解函數(shù)零點(diǎn)的概念；2.會求一次函數(shù)、二次函數(shù)的零點(diǎn)；3.初步了解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系．知識點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)[填一填]一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．在坐標(biāo)系中表示圖像與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)．[答一答]1．函數(shù)的零點(diǎn)是一個點(diǎn)嗎？提示：不是．零點(diǎn)是函數(shù)的圖像與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，它是一個實(shí)數(shù)．2．任何函數(shù)都有零點(diǎn)嗎？提示：不是．如果函數(shù)的圖像與x軸沒有交點(diǎn)，則函數(shù)就沒有零點(diǎn)，如函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)就沒有零點(diǎn)．

類型一求函數(shù)的零點(diǎn)[例1](1)求函數(shù)f(x)＝－3x2－7x＋6的零點(diǎn)；(2)求函數(shù)f(x)＝x4－2x2－3的零點(diǎn)．[解](1)由方程－3x2－7x＋6＝0得x1＝－3，x2＝eq\f(2,3)，所以函數(shù)f(x)＝－3x2－7x＋6的零點(diǎn)為－3，eq\f(2,3).(2)f(x)＝(x2＋1)(x2－3)＝(x2＋1)(x＋eq\r(3))(x－eq\r(3))＝0.解得x1＝－eq\r(3)，x2＝eq\r(3)，所以f(x)的零點(diǎn)是－eq\r(3)，eq\r(3).函數(shù)零點(diǎn)的求法?1?代數(shù)法：求方程f?x?＝0的實(shí)數(shù)根；?2?幾何法：對于不能用求根公式求解的方程f?x?＝0，可以將它與函數(shù)y＝f?x?的圖像聯(lián)系起來，圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).[變式訓(xùn)練1]求下列函數(shù)的零點(diǎn)：(1)f(x)＝－x2－2x＋3；(2)f(x)＝x4－1.解：(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，∴方程－x2－2x＋3＝0的兩根分別是－3和1.故函數(shù)的零點(diǎn)是－3,1.(2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，∴方程x4－1＝0的實(shí)數(shù)根是－1或1.故函數(shù)的零點(diǎn)是－1,1.類型二函數(shù)零點(diǎn)的判斷[例2]觀察下圖中四個函數(shù)圖像，指出在(－∞，0)上哪個函數(shù)有零點(diǎn)，并說明理由．[解]f1(x)和f2(x)．理由：觀察函數(shù)fi(x)(i＝1,2,3,4)的圖像，知在(－∞，0)上f1(x)，f2(x)與x軸都有交點(diǎn)，即函數(shù)有零點(diǎn)；而在(－∞，0)上f3(x)，f4(x)與x軸都沒有交點(diǎn)，即函數(shù)沒有零點(diǎn)．?1?方程與不等式的解的問題通?？梢赞D(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與橫軸的交點(diǎn)及其對應(yīng)的區(qū)間來解決，而求函數(shù)的零點(diǎn)問題，常常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程的解的問題.?2?函數(shù)與方程之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，本質(zhì)上是圖形的直觀作用與數(shù)值的精確性之間的相互補(bǔ)充.[變式訓(xùn)練2]下列圖像表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是(A)解析：B，C，D的圖像均與x軸有交點(diǎn)，故圖像表示的函數(shù)均有零點(diǎn)，A的圖像與x軸沒有交點(diǎn)，故A的圖像表示的函數(shù)沒有零點(diǎn)．類型三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用[例3]已知關(guān)于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有兩個根，且一個根大于2，另一個根小于2，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依題意知，函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，且一個零點(diǎn)大于2，一個零點(diǎn)小于2.∴f(x)的大致圖像如圖所示：則a應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,f?2?<0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,f?2?>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,4a－4?a＋1?＋a－1<0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,4a－4?a＋1?＋a－1>0，))解得0<a<5，∴a的取值范圍為(0,5)．解決此類問題可設(shè)出方程對應(yīng)的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間分析區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號，建立不等式?組?，使問題得解.當(dāng)函數(shù)解析式中含有參數(shù)時，要注意分類討論.[變式訓(xùn)練3]討論關(guān)于x的方程|x2－4x＋3|＝a(a∈R)的實(shí)數(shù)解的個數(shù)．解：作兩個函數(shù)y＝|x2－4x＋3|＝|(x－2)2－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－2?2－1，x<1或x>3，,－?x－2?2＋1，1≤x≤3))及y＝a的圖像，如圖所示，方程|x2－4x＋3|＝a的實(shí)數(shù)解就是兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)(縱坐標(biāo)相等)的橫坐標(biāo)x的值．因此原方程解的個數(shù)就是兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)個數(shù)，由圖可知：①當(dāng)a∈(－∞，0)時，原方程沒有實(shí)數(shù)解；②當(dāng)a＝0或a∈(1，＋∞)時，原方程有兩個實(shí)數(shù)解；③當(dāng)a＝1時，原方程有三個實(shí)數(shù)解；④當(dāng)0<a<1時，原方程有四個實(shí)數(shù)解．1．函數(shù)y＝2x－1的圖像與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)及零點(diǎn)分別是(B)A.eq\f(1,2)，eq\f(1,2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，－eq\f(1,2)解析：由2x－1＝0，∴x＝eq\f(1,2).∴圖像與x軸交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，零點(diǎn)是eq\f(1,2).故選B.2．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)的零點(diǎn)個數(shù)為(A)A．0 B．1C．2 D．3解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，當(dāng)x>0時，f(x)>0；當(dāng)x<0時，f(x)<0，所以函數(shù)沒有零點(diǎn)，故選A.3．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－3x.則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)的集合為(D)A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－eq\r(7)，1,3} D．{－2－eq\r(7)，1,3}解析：當(dāng)x≥0時，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；當(dāng)x<0時，由f(x)是奇函數(shù)得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－eq\r(7)(正根舍去)．故選D.4．若f(x)＝x＋b的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，則b的取值范圍為(－1,0)