高中物理問題的數學方法

高中物理問題與數學方法（國際中文核心期刊《中國現代教育論壇》發(fā)表洪奇標）內容提要：物理問題的解決有賴于數學知識的掌握和熟練運用，而靈活的數學方法與獨到運算技巧往往為復雜的物理問題的解決提供了快捷、簡便的竅門。如何培養(yǎng)和發(fā)展學生的物理學科思維能力，有賴于在長期的習題訓練中，使學生學會整合物理科與數學科及其它相關學科的知識，尋找有用的信息和方法，并運用學過的知識去分析、解決實際問題的過程中，用心鉆研和總結解決各種物理問題的思路和方法，才能逐步提高。本文在此僅對高中物理問題解題方案中的常用的數學方法與解題技巧淺作介紹，望能為正在進行緊張復習并即將面臨高考的莘莘學子們起到啟迪的作用。關鍵詞.：物理問題解題方法一、代數法代數法解決物理問題又分為若干種技能技巧：1、聯立方程組解答物理問題典型例題：如圖所示，兩端封閉的內徑均勻的直玻璃管內，有一段水銀柱將兩種氣體a和b隔開將管豎立著，達到平衡時，若溫度為T,氣柱a和b的長度分別為L和L,ab若溫度為T/，長度分別為L/和L/。然后將管平放在水平桌面上，在平衡時,ab兩段氣柱長分別是L//和L//。已知T、T/、L、L/、L、L/，求L///T//。abaabbab分析：這是一道高考題，其物理過程分列式并不難，但做數學聯立解答時，由于方程多，往往不易熟練解出正確答案。為此平時要多練，尤其要多練比例法，最終才使本題在P、P、P/、P/、H及P//、P//都不知情的情況下能得出答案。ababab解答：對a段氣體有：taLpa￡a①TT/

p/.l/=p〃.l//②aaaa對b段氣體有：p.lp.lp/.l/bb=bb—TT/p/.l/=p//.l//④bbbb另有壓強關系：p-p=h⑤bap/一p/=h⑥P//=p//⑦，由⑤、⑥消去h得：p一p=p/一p/⑧baabbaba化①、②、③、④得：p、p/、p、p/的值，代入⑧中，且由⑦整理得：aabb2、運用一元二次方程判別式解答物理問題在不少情況下，不一定能顯然地得出一元二次方程標準式，但只要有這樣的可能性則就要做傾向性的代換、變形和組合，才有可能最終整理成功一元二次方程式，也許此時的系數a、b、c都分別是較為復雜的多項式，但用判別式A=b2-4ac>0也正當其時了。典型例題：凸透鏡焦距為f,物體與成像屏幕之間的距離為L，當L至少為多大時，才能在屏幕上呈現清晰的像？解答：由透鏡成像公式丄+—=①依題意得u+v=L②uvf聯立①、②得v2-Lv+Lf=0③；式③是一個關于像距v的一元二次方程，為使屏上出現清晰的像，v須為實數，由A=b2-4ac>0得L2-4Lf>0，即L>4f3、用二元二次方程組解答物理問題對于某些需要綜合運用動量守恒定律與動能定理聯合解決的物理問題，則可考慮通過運用動量守恒定律與動能定理分別列出二元一次方程和二元二次方程組成方程組求解。在

聯立方程的時候，設法將二元二次方程通過特定的關系處理成二元一次方程后，再次聯立方程解答。典型例題：試求質量為m、速度為v的物體和質量為m、速度為v的物體相碰撞后的速度。

1122假設碰撞后動能沒有損失。解答：由于碰撞后沒有動能損失，那么碰撞前后動量守恒，能量也守恒。那么有：1111mv+mv=mv/+mv/11221122①；mv+mv=mv/+mv/11221122①；211222211222由①得：③；由②得：m(2一由①得：③；由②得：m(2一v/2)=m(/111222)2式④除以式③得；v+v/=v/+v⑤;1122聯立①、⑤組成二元一次方程組再求解就方便多了，可以的到:4、運用合、分比定理解答物理問題物理學中經常遇到分量之間，某一分量之間的比例計算和換算問題，因此常用到數學中的合比及分比定理。在形如a=-的比例關系中，如果a和b,c和d是同一物理量，則bd可根據分比定理和合比定理解答。定理：如果a、b、c、d均不為零，當b=d時，則有:a+bc+dbd（合比定理）；Jb=（分比定理）；典型例題：例1：如圖所示裝置，水銀柱將氣體o2、N分隔成兩部分。開始時N的溫度222為10C,o2的溫度為20C，水銀柱靜止，求下列情況下，水銀柱移動的方向。⑴o2、N的溫度都升高IOC。.水銀.22II⑵o2、N的溫度都降低10C。NlOoC_O20oC⑶N的溫度升高IOC,o2的溫度升高20C。22解：⑴°2、N變化前的壓強為p、絕對溫度為T,升高10C后的壓強為P/，絕對溫22度為T/，假設。2、N均發(fā)生等容變化，對氣體。2、N分別用查理定律，由匕二匚得：2222pTTOC\o"1-5"\h\zp/—pT/—TT/—T10P對于N有：=np/一p=pnAP=①2pTT283op/—pT/—TT/—T10P對于°2有：=np/一p=pnAP=②2pTT293比較①、②：因為旦e10p，所以水銀柱向n方向移動。2832932⑵對于N同理可得：出二p=土二二np/—p=p^ZnAP=二竺③2pTT283對于o2同理可得：竺二上=匕二二np/—p=p^LnAP=?④2pTT293比較③、④：因為二些兀二也，所以水銀柱向N方向移動。2832932⑶對于N同理可得：————=—Tnp/—p=p——■TnAP=P⑤2pTT283對于o2同理可得：巴二p=ILzLnp/—p=plLzLnAP=空⑥2pTT29300比較⑤、⑥，因為：p/-P兀P/-P，所以水銀向著Nc方向移動。功率為N2N202O22功率為例2：將電阻R接到恒壓電源上，功率為P；將電阻R接到同一恒定電源上,11P。那么將R、21R串聯后接到同一恒定電源上，2總功率為多少？P。那么將R、21R串聯后接到同一恒定電源上，2總功率為多少？A、P+P12B、P+P—122C、PP12D、ppP=1―2—P+P

12解：根據pU2可知，電壓一定時功率和電阻成反比，則有：厶二解：根據pRp2設兩電阻串聯后接到恒壓電源上，功率為p.由合比定理整理①得：匕Z二pR22聯立②、③解得：p=,P+P12故正確選項為D5運用指數和對數知識解答物理問題典型例題：在一原子反應堆中，用石墨(碳)做減速劑使快中子減速。已知碳核質量是中子質量的12倍，假設把中子與碳核的每次碰撞都看作是彈性正碰撞，而且認為碰撞前碳核都是靜止的。(lg13=1.114、lgll=1.1041)⑴沒碰撞前中子的動能是E0，問經過一次碰撞中子損失的能量是多少？⑵至少經過多少次碰撞，中子動能損失小于10-8E

解答：(1)設中子和碳核的質量分別為m和M,碰撞前中子的速度為v0，碰撞后中子和碳核的速度分別是v和V，根據動量守恒定律得：mv=mv+MV①，0又由于動能守恒，則有：-mv又由于動能守恒，則有：-mv2=1mv2+-MV2202聯立①、②解得：V聯立①、②解得：V+v二V0把③代入①德：已知M=12m，代入④得V=-詈vo算得一次碰撞時中子損失能量為：AE=11mv2一算得一次碰撞時中子損失能量為：AE=11mv2一mv2=0248169E。⑵E、E12En分別表示中子第1次、第2次第n次碰撞后的動能，由⑸得:E0E0⑥E廣掙叮誥"?2Eo已知：En二l0-6E。代入上式得：l0-6E=(U)2n?已知：En00l30即：(U)2n=10-613n=-=4l.l0.073兩邊取對數得：2n(lgl3-lgll)=6，將lg13和lglln=-=4l.l0.073故需要至少經過42次碰撞，中子動能才能小于10-6E0二、幾何法我國的高考經過多年的理論研究和實踐，命題思想、題型題量都有了很大的變化，近幾年的高考，考查的重點主要放在系統(tǒng)地掌握課程內容的內在聯系上，放在掌握分析問題的方法和解決問題的能力上。而許多擔負考查能力的高考題，都要用到幾何方法，對于這

類問題，如果我們僅僅是列出物理的關系式，而看不出問題的幾何關系式，最終就無法解出這道物理題。在這里通過一典型例題，探討運用幾何原理解決物理問題的方法。典型例題：幾何圖如下：h幾何圖如下：h/=\：h2+s2-s①由于AVMVxAAMB,T所以：V所以：V"T由機械能守恒定律再得：Mgh=MV2+m匕2+mgh/22聯立①、②、③得:2Mgh一2mgPs2+h2一=m+M^+ll聯立①、②、③得:三、三角函數法典型例題：光線從空氣斜射到玻璃磚的一個平面上，再從另一平面射出，試證出射光線跟222222BC沁=1②siniBC沁=1②sini/nsinisiny/〔sinysini/又因為入射光線平行，并求出射光線對入射光線的平移。解答：如圖，n為玻璃對空氣的折射率，玻璃磚厚為h,入射角I,EF、FG和GH分別代表入射光線、折射光線和出射光線。應有：smi=n①siny所以sini=sini/或Zi=Zi/，那么側移FI=a即：四、極值法⑴用配方法求物理問題的極值典型例題：把某一電何Q分成q與(Q-q)兩個部分，且此兩部分相隔一定距離，如果使這兩部分有最大的斥，則Q與q部分有最大的斥，則Q與q的數量關系如何確定？斥力大小如何?解：由f=kqQ-q)得:r2f=-止+kQqr2r2得：F得：F=—kr22kQi4r2討論：當q=Q時，F=kQ22max4r2⑵應用二次三項性質求物理問題的極值(以上題為例)把某一電何Q分成q討論：當q=Q時，F=kQ22max4r2⑵應用二次三項性質求物理問題的極值(以上題為例)把某一電何Q分成q與(Q-q)兩個部分，且此兩部分相隔一定距離，如果使這兩部分有最大的斥，則Q與q的數量關系如何確定？斥力大小如何？解：由F=Kq°-q)得：F=—K里+Kr2r2Qqr2將二次三項式：y=ax2+bx+ca一K、b=KQ、c=0r2r2②與之對照得：b因為a兀0，故當x=——涵數有極大值:2amaxb2—4ac4a；也即當q=KQKQ2Kf時，有極大值：Fmax)2—0KQ24(-K⑶用不等式性質求物理問題的極值(以上題為例)把某一電何Q分成q與(Q-q)兩個部分，且此兩部分相隔一定距離，如果使這兩部分有最大的斥，則Q與q的數量關系如何確定？斥力大小如何？解：將F=K_—中的q和視作x，(Q-q)視作y，而y?0、y?0。由X+y、xyr22得：-~2^--\：xy，現屬于x+y=q+(Q-q)=Q(定值)故當x=y時有：xy="+"，亦即當q=(Q-q)，q=Q時有：max42q（Q—q（Q—q）max手’此式算得:FmaxKQ24r2⑷利用一元二次方程ax2十bx十c=0的判別式求物理問題的極值(以上題為例)把某一電何Q分成q與(Q-q)兩個部分，且此兩部分相隔一定距離，如果使這兩部分有最大的斥力，則Q與q的數量關系如何確定？斥力大小如何？解：如果ax2十bx十c=0有實數根，貝V：A=b-4ac>02由f=-q）得:f=-Q十kQq①r2r2r2整理①得：—整理①得：—止十kQq—F=0r2r2由②有：a=—、b=、c=F。r2r2那么：kQ—4〔——［（—那么：kQ—4〔——［（—F）>0,即Ir2丿=4-土（—F）,解得:Ir2丿kQ2結合題意：解得：q=f。⑸應用有關三角涵數知識求物理問題的極值典型例題：如圖所示，斜面傾角為a，摩擦系數為卩，物體在力F的作用沿斜面向上運動，加速度為a，問至少需要多大的外力?

解：由YF=ma得:最大值，便可算得F的極小值。為此得:整理得：F=ma+mg(：cossinJ，求出Qsin9+cos9)卩sin9+cos9最大值，便可算得F的極小值。為此得:當9=?=arctgp時，(gsin9+cos9)有極大值、:卩2+1,ma+mgQcosu+sina)故得：F=—minJg2+1⑹應用數列性質求物理問題的極值典型例題：線段AB長為S,均為n等份，一質點由A出發(fā)，以加速度a向B作勻加速度運動，當質點到達每一等份的末端時，它的加速度增加—，試證質點到達B點時的速度是：n證明：v=0，A證明：v=0，Av1v2⑺應用圖象（線）法求物理問題的極值例1：一觀察者站在列車第一節(jié)車廂的前端，列車從靜止開始做勻加速運動。第一節(jié)車廂駛過他身邊所用的時間為t，1設每節(jié)車廂等長，求第n節(jié)車廂駛過他身邊需要多少時間？（車

廂之間的距離不計)解：作出列車的速度一時間圖象，設列車加速度為a,每節(jié)車廂長為1,如圖所示,S=S，陰1陰2