小學(xué)奧數(shù)題型與解題思路一

1、最值問題【最小值問題】例1外賓由甲地經(jīng)乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中點(diǎn)，原來就各有一位民警值勤。為了保證安全，上級決定在沿途增加值勤民警，并規(guī)定每相鄰的兩位民警（包括原有的民警）之間的距離都相等。現(xiàn)知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。（《中華電力杯》少年數(shù)學(xué)競賽決賽第一試試題）講析：如圖5.91，現(xiàn)在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點(diǎn)各有一位民警，共有7位民警。他們將上面的線段分為了2個(gè)2500米，2個(gè)4000米，2個(gè)2000米?，F(xiàn)要在他們各自的中間插入若干名民警，要求每兩人之間距離相等，這實(shí)際上是要求將2500、4000、2000分成盡可能長的同樣長的小路。由于2500、4000、2000的最大公約數(shù)是500，所以，整段路最少需要的民警數(shù)是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。例2在一個(gè)正方體表面上，三只螞蟻分別處在A、B、C的位置上，如圖5.92所示，它們爬行的速度相等。若要求它們同時(shí)出發(fā)會(huì)面，那么，應(yīng)選擇哪點(diǎn)會(huì)面最省時(shí)？（湖南懷化地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽試題）講析：因?yàn)槿晃浵佀俣认嗟龋霃母髯缘牡攸c(diǎn)出發(fā)會(huì)面最省時(shí)，必須三者同時(shí)到達(dá)，即各自行的路程相等。我們可將正方體表面展開，如圖5.93，則A、B、C三點(diǎn)在同一平面上。這樣，便將問題轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)找出一點(diǎn)O，使O到這三點(diǎn)的距離相等且最短。所以，連接A和C，它與正方體的一條棱交于O；再連接OB，不難得出AO=OC=OB。故，O點(diǎn)即為三只螞蟻會(huì)面之處。【最大值問題】例1有三條線段a、b、c，并且a＜b＜c。判斷：圖5.94的三個(gè)梯形中，第幾個(gè)圖形面積最大？

（全國第二屆“華杯賽”初賽試題）講析：三個(gè)圖的面積分別是：三個(gè)面積數(shù)變化的部分是兩數(shù)和與另一數(shù)的乘積，不變量是（a＋b＋c）的和一定。其問題實(shí)質(zhì)上是把這個(gè)定值拆成兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)為何值時(shí)，乘積最大。由等周長的長方形面積最大原理可知，（a＋b）×c這組數(shù)的值最接近。故圖（3）的面積最大。例2某商店有一天，估計(jì)將進(jìn)貨單價(jià)為90元的某商品按100元售出后，能賣出500個(gè)。已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)。為了使這一天能賺得更多利潤，售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)______元。（臺(tái)北市數(shù)學(xué)競賽試題）講析：因?yàn)榘疵總€(gè)100元出售，能賣出500個(gè)，每個(gè)漲價(jià)1元，其銷量減少10個(gè)，所以，這種商品按單價(jià)90元進(jìn)貨，共進(jìn)了600個(gè)?，F(xiàn)把600個(gè)商品按每份10個(gè)，可分成60份。因每個(gè)漲價(jià)1元，銷量就減少1份（即10個(gè)）；相反，每個(gè)減價(jià)1元，銷量就增加1份。所以，每個(gè)漲價(jià)的錢數(shù)與銷售的份數(shù)之和是不變的（為60），根據(jù)等周長長方形面積最大原理可知，當(dāng)把60分為兩個(gè)30時(shí)，即每個(gè)漲價(jià)30元，賣出30份，此時(shí)有最大的利潤。因此，每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為90＋30=120（元）時(shí)，這一天能獲得最大利潤。2、最值規(guī)律【積最大的規(guī)律】（1）多個(gè)數(shù)的和一定（為一個(gè)不變的常數(shù)），當(dāng)這幾個(gè)數(shù)均相等時(shí)，它們的積最大。用字母表示，就是如果a1+a2+…+an=b（b為一常數(shù)），那么，當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，a1×a2×…×an有最大值。例如，a1+a2=10，…………→…………；1+9=10→1×9=9；2+8=10→2×8=16；3+7=10→3×7=21；4+6=10→4×6=24；4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75；5+5=10→5×5=25；5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；…………→…………；9+1=10→9×1=9；…………→…………由上可見，當(dāng)a1、a2兩數(shù)的差越小時(shí)，它們的積就越大；只有當(dāng)它們的差為0，即a1=a2時(shí)，它們的積就會(huì)變得最大。三個(gè)或三個(gè)以上的數(shù)也是一樣的。由于篇幅所限，在此不一一舉例。由“積最大規(guī)律”，可以推出以下的結(jié)論：結(jié)論1所有周長相等的n邊形，以正n邊形（各角相等，各邊也相等的n邊形）的面積為最大。例如，當(dāng)n=4時(shí)，周長相等的所有四邊形中，以正方形的面積為最大。例題：用長為24厘米的鐵絲，圍成一個(gè)長方形，長寬如何分配時(shí)，它的面積為最大？解設(shè)長為a厘米，寬為b厘米，依題意得（a+b）×2=24即a+b=12由積最大規(guī)律，得a=b=6（厘米）時(shí)，面積最大為6×6=36（平方厘米）。（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的長方形。）結(jié)論2在三度（長、寬、高）的和一定的長方體中，以正方體的體積為最大。例題：用12米長的鐵絲焊接成一個(gè)長方體，長、寬、高如何分配，它的體積才會(huì)最大？解設(shè)長方體的長為a米，寬為b米，高為c米，依題意得（a+b+c）×4=12即a+b+c=3由積最大規(guī)律，得a=b=c=1（米）時(shí)，長方體體積為最大。最大體積為1×1×1=1（立方米）。（2）將給定的自然數(shù)N，分拆成若干個(gè)（不定）的自然數(shù)的和，只有當(dāng)這些自然數(shù)全是2或3，并且2至多為兩個(gè)時(shí)，這些自然數(shù)的積最大。例如，將自然數(shù)8拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，要使這些自然數(shù)的乘積為最大。怎么辦呢？我們可將各種拆法詳述如下：分拆成8個(gè)數(shù)，則只能是8個(gè)“1”，其積為1。分拆成7個(gè)數(shù)，則只能是6個(gè)“1”，1個(gè)“2”，其積為2。分拆成6個(gè)數(shù)，可得兩組數(shù)：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它們的積分別是3和4。分拆成5個(gè)數(shù)，可得三組數(shù)：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它們的積分別為4，6，8。分拆成4個(gè)數(shù)，可得5組數(shù)：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它們的積分別為5，8，9，12，16。分拆成3個(gè)數(shù)，可得5組數(shù)：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它們的積分別為6，10，12，16，18。分拆成2個(gè)數(shù)，可得4組數(shù)：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它們的積分別為7，12，15，16。分拆成一個(gè)數(shù)，就是這個(gè)8。從上面可以看出，積最大的是18=3×3×2?？梢?，它符合上面所述規(guī)律。用同樣的方法，將6、7、14、25分拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，可發(fā)現(xiàn)6=3+3時(shí)，其積3×3=9為最大；7=3+2+2時(shí)，其積3×2×2=12為最大；14=3+3+3+3+2時(shí)，其積3×3×3×3×2=162為最大；由這些例子可知，上面所述的規(guī)律是正確的。【和最小的規(guī)律】幾個(gè)數(shù)的積一定，當(dāng)這幾個(gè)數(shù)相等時(shí)，它們的和相等。用字母表達(dá)，就是如果a1×a2×…×an=c（c為常數(shù)），那么，當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，a1+a2+…+an有最小值。例如，a1×a2=9，…………→…………1×9=9→1+9=10；3×3=9→3+3=6；…………→…………由上述各式可見，當(dāng)兩數(shù)差越小時(shí)，它們的和也就越?。划?dāng)兩數(shù)差為0時(shí)，它們的和為最小。例題：用鐵絲圍成一個(gè)面積為16平方分米的長方形，如何下料，材料最?。拷庠O(shè)長方形長為a分米，寬為b分米，依題意得a×b=16。要使材料最省，則長方形周長應(yīng)最小，即a+b要最小。根據(jù)“和最小規(guī)律”，取a=b=4（分米）時(shí)，即用16分米長的鐵絲圍成一個(gè)正方形，所用的材料為最省。推論由“和最小規(guī)律”可以推出：在所有面積相等的封閉圖形中，以圓的周長為最小。例如，面積均為4平方分米的正方形和圓，正方形的周長為8分米；而的周長小于正方形的周長?！久娣e變化規(guī)律】在周長一定的正多邊形中，邊數(shù)越多，面積越大。為0.433×6=2.598（平方分米）。方形的面積。推論由這一面積變化規(guī)律，可以推出下面的結(jié)論：在周長一定的所有封閉圖形中，以圓的面積為最大。例如，周長為4分米的正方形面積為1平方分米；而周長為4分米的圓，于和它周長相等的正方形面積?！倔w積變化規(guī)律】在表面積一定的正多面體（各面為正n邊形，各面角和各二面角相等的多面體）中，面數(shù)越多，體積越大。例如，表面積為8平方厘米的正四面體S—ABC（如圖1.30），它每一個(gè)面均為正三角形，每個(gè)三角形面積為2平方厘米，它的體積約是1.1697立方厘米。而表面積為8平方厘米長約為1.1546厘米，體積約為1.539立方厘米。顯然，正方體體積大于正四面體體積。推論由這一體積變化規(guī)律，可推出如下結(jié)論：在表面積相等的所有封閉體中，以球的體積為最大。例如，表面積為8平方厘米的正四面體，體積約為1.1697立方米；表面積為8平方厘米的正六面體（正方體），體積約為1.539立方厘米；而表面積是8平方厘米的球，體積卻約有2.128立方厘米。可見上面的結(jié)論是正確的。【排序不等式】

對于兩個(gè)有序數(shù)組：a1≤a2≤…≤an

及b1≤b2≤…≤bn，則a1b1+a2b2+……+anb抇n（同序）T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n（亂序）≥a1bn+a2bn-1+……+a>nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n為b1、b2、……、bn的任意一種排列（順序、倒序排列在外），當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn時(shí)，式中等號成立。）由這一不等式可知，同序積之和為最大，倒序積之和為最小。例題：設(shè)有10個(gè)人各拿一只水桶，同時(shí)到一個(gè)水龍頭下接水。水龍頭注滿第一、第二、……九、十個(gè)人的桶，分別需要1、2、3、……、9、10分鐘。問：如何安排這10個(gè)人的排隊(duì)順序，可使每個(gè)人所費(fèi)時(shí)間的總和盡可能少？這個(gè)總費(fèi)時(shí)至少是多少分鐘？解設(shè)每人水桶注滿時(shí)間的一個(gè)有序數(shù)組為：1，2，3，……，9，10。打水時(shí)，等候的人數(shù)為第二個(gè)有序數(shù)組，等候時(shí)間最長的人數(shù)排前，這樣組成1，2，3，……，9，10。根據(jù)排序不等式，最小積的和為倒序，即1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2=（10+18+24+28+30）×2=220（分鐘）其排隊(duì)順序應(yīng)為：根據(jù)注滿一桶水所需時(shí)間的多少，按從少到多的排法。3、最優(yōu)方案與最佳策略【最優(yōu)方案】例1某工廠每天要生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，按工藝規(guī)定，每件甲產(chǎn)品需分別在A、B、C、D四臺(tái)不同設(shè)備上加工2、1、4、0小時(shí)；每件乙產(chǎn)品需分別在A、B、C、D四臺(tái)不同設(shè)備上加工2、2、0、4小時(shí)。已知A、B、C、D四臺(tái)設(shè)備，每天最多能轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間分別是12、8、16、12小時(shí)。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品該廠得利潤200元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品得利潤300元。問：每天如何安排生產(chǎn)，才能得到最大利潤？（中國臺(tái)北第一屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件。由于設(shè)備A的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間每天最多為12小時(shí)，則有：（2a＋2b）不超過12。又（a＋2b）不超過8，4a不超過16，4b不超過12。由以上四個(gè)條件知，當(dāng)b取1時(shí)，a可取1、2、3、4；當(dāng)b取2時(shí)，a可取1、2、3、4；當(dāng)b取3時(shí)，a可取1、2。這樣，就是在以上情況下，求利潤200a＋300b的最大值。可列表如下：

所以，每天安排生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品，2件乙產(chǎn)品時(shí)，能得到最大利潤1400元。例2甲廠和乙廠是相鄰的兩個(gè)服裝廠。它們生產(chǎn)同一規(guī)格的成衣，每個(gè)廠的人員和設(shè)備都能進(jìn)行上衣和褲子生產(chǎn)。由于各廠的特點(diǎn)不同，甲廠每月聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自的特長多生產(chǎn)成衣。那么現(xiàn)在比過去每月能多生產(chǎn)成衣______套。（1989年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）的時(shí)間生產(chǎn)上衣。所以，甲廠長于生產(chǎn)褲子，乙廠長于生產(chǎn)上衣。如果甲廠全月生產(chǎn)褲子，則可生產(chǎn)如果乙廠全月生產(chǎn)上衣，則可生產(chǎn)把甲廠生產(chǎn)的褲子與乙廠生產(chǎn)的上衣配成2100套成衣，這時(shí)甲廠生產(chǎn)150條褲子的時(shí)間可用來生產(chǎn)成套的成衣故現(xiàn)在比過去每月可以多生產(chǎn)60套?！咀罴巡呗浴坷?A、B二人從A開始，輪流在1、2、3、……、1990這1990個(gè)數(shù)中劃去一個(gè)數(shù)，直到最后剩下兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，那么B勝，否則A勝。問：誰能必勝？制勝的策略是什么？（《中華電力杯》少年數(shù)學(xué)競賽試題）講析：將這1990個(gè)數(shù)按每兩個(gè)數(shù)分為一組；（1、2），（3、4），（5、6），…，（1989、1990）。當(dāng)A任意在括號中劃去一個(gè)時(shí)，B就在同一個(gè)括號中劃去另一個(gè)數(shù)。這樣B就一定能獲勝。例2桌上放有1992根火柴。甲乙兩人輪流從中任取，每次取得根數(shù)為1根或2根，規(guī)定取得最后一根火柴者勝。問：誰可獲勝？（1992年烏克蘭基輔市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：因?yàn)閮扇溯喠鞲魅∫淮魏螅梢宰龅街蝗?根。誰要搶到第1992根，誰就必須搶到第1989根，進(jìn)而搶到第1986、1983、1980、…、6、3根。誰搶到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以獲勝。后者獲勝的策略是，當(dāng)先取的人每取一次火柴梗時(shí)，他緊接著取一次，每次取的根數(shù)與先取的加起來的和等于3。例3有分別裝球73個(gè)和118個(gè)的兩個(gè)箱子，兩人輪流在任一箱中任意取球，規(guī)定取得最后一球者為勝。問：若要先取者為獲勝，應(yīng)如何??？（上海市數(shù)學(xué)競賽試題）講析：先取者應(yīng)不斷地讓后者在取球之前，使兩箱的球處于平衡狀態(tài)，即每次先取者取之后，使兩箱球保持相等。這樣，先取者一定獲勝。4、直接思路“直接思路”是解題中的常規(guī)思路。它一般是通過分析、綜合、歸納等方法，直接找到解題的途徑?！卷樝蚓C合思路】從已知條件出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系先選擇兩個(gè)已知數(shù)量，提出可以解決的問題；然后把所求出的數(shù)量作為新的已知條件，與其他的已知條件搭配，再提出可以解決的問題；這樣逐步推導(dǎo)，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫“綜合法”。例1兄弟倆騎車出外郊游，弟弟先出發(fā)，速度為每分鐘200米，弟弟出發(fā)5分鐘后，哥哥帶一條狗出發(fā)，以每分鐘250米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時(shí)狗跑了多少千米？分析（按順向綜合思路探索）：（1）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，出發(fā)5分鐘的條件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離。（2）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，哥哥速度為每分鐘250米，可以求什么？可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米。（3）通過計(jì)算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000米，每分鐘可追上的距離為50米，根據(jù)這兩個(gè)條件，可以求什么？可以求出哥哥趕上弟弟所需的時(shí)間。（4）狗在哥哥與弟弟之間來回不斷奔跑，看起來很復(fù)雜，仔細(xì)想一想，狗跑的時(shí)間與誰用的時(shí)間是一樣的？狗跑的時(shí)間與哥哥追上弟弟所用的時(shí)間是相同的。（5）已知狗以每分鐘300米的速度，在哥哥與弟弟之間來回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時(shí)間，可以求什么？可以求出這時(shí)狗總共跑了多少距離？這個(gè)分析思路可以用下圖（圖2.1）表示。例2下面圖形（圖2.2）中有多少條線段？分析（仍可用綜合思路考慮）：我們知道，直線上兩點(diǎn)間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做基本線段，那么就可以這樣來計(jì)數(shù)。（1）左端點(diǎn)是A的線段有哪些？有ABACADAEAFAG共6條。（2）左端點(diǎn)是B的線段有哪些？有BC、BD、BE、BF、BG共5條。（3）左端點(diǎn)是C的線段有哪些？有CD、CE、CF、CG共4條。（4）左端點(diǎn)是D的線段有哪些？有DE、DF、DG共3條。（5）左端點(diǎn)是E的線段有哪些？有EF、EG共2條。（6）左端點(diǎn)是F的線段有哪些？有FG共1條。然后把這些線段加起來就是所要求的線段?！灸嫦蚍治鏊悸贰繌念}目的問題入手，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，找出解這個(gè)問題所需要的兩個(gè)條件，然后把其中的一個(gè)（或兩個(gè)）未知的條件作為要解決的問題，再找出解這一個(gè)（或兩個(gè)）問題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題里都是已知的為止，這就是逆向分析思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫分析法。例1兩只船分別從上游的A地和下游的B地同時(shí)相向而行，水的流速為每分鐘30米，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600米，有一天，兩船又分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，但這次水流速度為平時(shí)的2倍，所以兩船相遇的地點(diǎn)比平時(shí)相遇點(diǎn)相差60米，求A、B兩地間的距離。分析（用分析思路考慮）：（1）要求A、B兩地間的距離，根據(jù)題意需要什么條件？需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時(shí)間。（2）要求兩船的速度和，必要什么條件？兩船分別的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600米，那么不論其水速是否改變，其速度和均為（600+600）米，這是因?yàn)轫標(biāo)贋椋捍?水速，逆水船速為：船速-水速，故順?biāo)倥c逆水船速的和為：船速+水速+船速-水速=2個(gè)船速（實(shí)為船在靜水中的速度）（3）要求相遇的時(shí)間，根據(jù)題意要什么條件？兩次相遇的時(shí)間因?yàn)榫嚯x相同，速度和相同，所以應(yīng)該是相等的，這就是說，盡管水流的速度第二次比第一次每分鐘增加了30米，仍不會(huì)改變相遇時(shí)間，只是改變了相遇地點(diǎn)：偏離原相遇點(diǎn)60米，由此可知兩船相遇的時(shí)間為60÷30=2（小時(shí)）。此分析思路可以用下圖（圖2.3）表示：例2五環(huán)圖由內(nèi)徑為4，外徑為5的五個(gè)圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等（如圖2.4），已知五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積是122.5，求每個(gè)小曲邊四邊形的面積（圓周率π取3.14）分析（仍用逆向分析思路探索）：（1）要求每個(gè)小曲邊四邊形的面積，根據(jù)題意必須知道什么條件？曲邊四邊形的面積，沒有公式可求，但若知道8個(gè)小曲邊四邊形的總面積，則只要用8個(gè)曲邊四邊形總面積除以8，就可以得到每個(gè)小曲邊四邊形的面積了。（2）要求8個(gè)小曲邊四邊形的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？8個(gè)小曲邊四邊形恰好是圓環(huán)面積兩兩相交重疊一次的部分，因此只要把五個(gè)圓環(huán)的總面積減去五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積就可以了。（3）要求五個(gè)圓環(huán)的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？求出一個(gè)圓環(huán)的面積，然后乘以5，就是五個(gè)圓環(huán)的總面積。（4）要求每個(gè)圓環(huán)的面積，需要什么條件？已知圓環(huán)的內(nèi)徑（4）和外徑（5），然后按圓環(huán)面積公式求就是了。圓環(huán)面積公式為：S圓環(huán)=π（R2-r2）=π（R＋r）（R－r）其思路可用下圖（圖2.5）表示：【一步倒推思路】順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯(lián)系，不可分割的。在解題時(shí)，兩種思路常常協(xié)同運(yùn)用，一般根據(jù)問題先逆推第一步，再根據(jù)應(yīng)用題的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫“一步倒推思路”。這種思路簡明實(shí)用。例1一只桶裝滿10千克水，另外有可裝3千克和7千克水的兩只空桶，利用這三只桶，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份？分析（用一步倒推思路考慮）：（1）逆推第一步：把10千克水平分為5千克的兩份，根據(jù)題意，關(guān)鍵是要找到什么條件？因?yàn)橛幸恢豢裳b3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用3＋2=5，就可以把水分成5千克一桶，所以關(guān)鍵是要先倒出一個(gè)2千克水。（2）按條件順推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，這時(shí)10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，這時(shí)7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，這時(shí)10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，這時(shí)7千克桶里無水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水），只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因?yàn)樵?千克水，這時(shí)也正好是5千克水了。其思路可用下圖（圖2.6和圖2.7）表示：問題：例2今有長度分別為1、2、3……9厘米的線段各一條，可用多少種不同的方法，從中選用若干條線段組成正方形？分析（仍可用一步倒推思路來考慮）：（1）逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干條線段組成正方形必須的條件是什么？根據(jù)題意，必須知道兩個(gè)條件。一是確定正方形邊長的長度范圍，二是每一種邊長有幾種組成方法。（2）從條件順推。①因?yàn)榫艞l線段的長度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少要7條，最多用了9條，這樣就可以求出正方形邊長的長度范圍為（1+2+……②當(dāng)邊長為7厘米時(shí)，各邊分別由1+6、2+5、3+4及7組成，只有一種組成方法。③當(dāng)邊長為8厘米時(shí)，各邊分別由1+7、2+6、3+5及8組成，也只有一種組成方法。④當(dāng)邊長為9厘米時(shí)，各邊分別由1+8、2+7、3+6及9；1＋8、2＋7、4+5及9；2＋7、3＋6、4+5及9；1＋8、3＋6、4＋5及9；1＋8、2+7、3＋6及4＋5共5種組成方法。⑤當(dāng)邊長為10厘米時(shí)，各邊分別由1+9、2＋8、3＋7及4＋6組成，也只有一種組成方法。⑤當(dāng)邊長為11厘米時(shí)，各邊分別由2+9、3＋8、4＋7及5+6組成，也只有一種組成方法。⑥將上述各種組成法相加，就是所求問題了。此題的思路圖如下（圖2.8）：問題：【還原思路】從敘述事情的最后結(jié)果出發(fā)利用已知條件，一步步倒著推理，直到解決問題，這種解題思路叫還原思路。解這類問題，從最后結(jié)果往回算，原來加的用減、原來減的用加，原來乘的用除，原來除的用乘。運(yùn)用還原思路解題的方法叫“還原法”。例1一個(gè)數(shù)加上2，減去3，乘以4，除以5等于12，你猜這個(gè)數(shù)是多少？分析（用還原思路考慮）：從運(yùn)算結(jié)果12逐步逆推，這個(gè)數(shù)沒除以5時(shí)應(yīng)等于多少？沒乘以4時(shí)應(yīng)等于多少？不減去3時(shí)應(yīng)等于多少？不加上2時(shí)又是多少？這里分別利用了加與減，乘與除之間的逆運(yùn)算關(guān)系，一步步倒推還原，直找到答案。其思路圖如下（圖2.9）：條件：例2

\t"/content/23/0110/14/_blank"李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。試問酒壺中，原有多少酒？分析（用還原思路探索）：李白打酒是我國民間自古以來廣為流傳的一道用打油詩敘述的著名算題。題意是：李白提壺上街買酒、喝酒，每次遇到酒店，便將壺中的酒量增添1倍，而每次見到香花，便飲酒作詩，喝酒1斗。這樣他遇店、見花經(jīng)過3次，便把所有的酒全喝光了。問：李白的酒壺中原有酒多少？下面我們運(yùn)用還原思路，從“三遇店和花，喝光壺中酒”開始推算。見花前——有1斗酒。第三次：見花后——壺中酒全喝光。第三次：遇店前——壺中有酒半斗。第一次：見花前——壺中有酒為第二次遇店前的再加1斗。遇店前——壺中有酒為第一次見花前的一半。其思路圖如下【假設(shè)思路】在自然科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，一些重要的定理、法則、公式等，常常是在“首先提出假設(shè)、猜想，然后再進(jìn)行檢驗(yàn)、證實(shí)”的過程中建立起來的。數(shù)學(xué)解題中，也離不開假設(shè)思路，尤其是在解比較復(fù)雜的題目時(shí)，如能用“假設(shè)”的辦法去思考，往往比其他思路簡捷、方便。我們把先提出假設(shè)、猜想，再進(jìn)行檢驗(yàn)、證實(shí)的解題思路，叫假設(shè)思路。例1中山百貨商店，委托運(yùn)輸隊(duì)包運(yùn)1000只花瓶，議定每只花瓶運(yùn)費(fèi)0.4元，如果損壞一只，不但不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償損失5.1元。結(jié)果運(yùn)輸隊(duì)獲得運(yùn)費(fèi)382.5元。問：損壞了花瓶多少只？分析（用假設(shè)思路考慮）：（1）假設(shè)在運(yùn)輸過程中沒有損壞一個(gè)花瓶，那么所得的運(yùn)費(fèi)應(yīng)該是多少？0.4×1000=400（元）。（2）而實(shí)際只有383.5元，這當(dāng)中的差額，說明損壞了花瓶，而損壞一只花瓶，不但不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償損失5.1元，這就是說損壞一只花瓶比不損壞一只花瓶的差額應(yīng)該是多少元？0.4＋5.1=5.5（元）（3）總差額中含有一個(gè)5.5元，就損壞了一只花瓶，含有幾個(gè)5.5元，就是損壞了幾只花瓶。由此便可求得本題的答案。例2有100名學(xué)生在車站準(zhǔn)備乘車去離車站600米的烈士紀(jì)念館搞活動(dòng)，等最后一人到達(dá)紀(jì)念館45分鐘以后，再去離紀(jì)念館900米的公園搞活動(dòng)?，F(xiàn)在有中巴和大巴各一輛，它們的速度分別是每分鐘300米和150米，而中巴和大巴分別可乘坐10人和25人，問最后一批學(xué)生到達(dá)公園最少需要多少時(shí)間？分析（用假設(shè)思路思索）；假設(shè)從車站直接經(jīng)烈士紀(jì)念館到公園，則路程為（600＋900）米。把在最后1人到達(dá)紀(jì)念館后停留45分鐘，假設(shè)為在公園停留45分鐘，則問題將大大簡化。（1）從車站經(jīng)烈士紀(jì)念館到達(dá)公園，中巴、大巴往返一次各要多少時(shí)間？中巴：（600+900）÷300×2=10（分鐘）大巴：（600+900）÷150×2=20（分鐘）（2）中巴和大巴在20分鐘內(nèi)共可運(yùn)多少人？中巴每次可坐10人，往返一次要10分鐘，故20分鐘可運(yùn)20人。大巴每次可坐25人，往返一次要20分鐘，故20分鐘可運(yùn)25人。所以在20分鐘內(nèi)中巴、大巴共運(yùn)45人。（3）中巴和大巴20分鐘可運(yùn)45人，那么40分鐘就可運(yùn)45×2=90（人），100人運(yùn)走90人還剩下10人，還需中巴再花10分鐘運(yùn)一次就夠了。（4）最后可求出最后一批學(xué)生到達(dá)公園的時(shí)間：把運(yùn)90人所需的時(shí)間，運(yùn)10人所需的時(shí)間，和在紀(jì)念館停留的時(shí)間相加即可?！鞠ニ悸贰繉τ谝髢蓚€(gè)或兩個(gè)以上未知數(shù)的數(shù)學(xué)題，我們可以想辦法將其中一個(gè)未知數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而消去一個(gè)未知數(shù)，使數(shù)量關(guān)系化繁為簡，這種思路叫消去思路，運(yùn)用消去思路解題的方法叫消去法。二元一次方程組的解法，就是沿著這條思路考慮的。例1師徒兩人合做一批零件，徒弟做了6小時(shí)，師傅做了8小時(shí)，一共做了312個(gè)零件，徒弟5小時(shí)的工作量等于師傅2小時(shí)的工作量，師徒每小時(shí)各做多少個(gè)零件？分析（用消去思路考慮）：這里有師、徒每小時(shí)各做多少個(gè)零件兩個(gè)未知量。如果以徒弟每小時(shí)工作量為1份，把師傅的工作量用徒弟的工作量來代替，那么師傅8小時(shí)的工作量相當(dāng)于這樣的幾份呢？很明顯，師傅2小時(shí)的工作量相當(dāng)于徒弟5小時(shí)的工作量，那么8小時(shí)里有幾個(gè)2小時(shí)就是幾個(gè)5小時(shí)工作量，這樣就把師傅的工作量換成了徒弟的工作量，題目里就消去了師傅工作量這個(gè)未知數(shù)；然后再看312個(gè)零件里包含了多少個(gè)徒弟單位時(shí)間里的工作量，就是徒弟應(yīng)做多少個(gè)。求出了徒弟的工作量，根據(jù)題中師博工作量與徒弟工作量的倍數(shù)關(guān)系，也就能求出師傅的工作量了。例2小明買2本練習(xí)本、2枝鉛筆、2塊橡皮，共用0.36元，小軍買4本練習(xí)本、3枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.60元，小慶買5本練習(xí)本、4枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.75元，問練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價(jià)各是多少錢？分析（用消去法思考）：這里有三個(gè)未知數(shù)，即練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價(jià)各是多少錢？我們要同時(shí)求出三個(gè)未知數(shù)是有困難的。應(yīng)該考慮從三個(gè)未知數(shù)中先去掉兩個(gè)未知數(shù)，只留下一個(gè)未知數(shù)就好了。如何消去一個(gè)未知數(shù)或兩個(gè)未知數(shù)？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通過擴(kuò)大或縮小若干倍，使它們之間有兩個(gè)相同的數(shù)量，再用加減法即可消去，本題把小明小軍、小慶所購買的物品排列如下：小明2本2枝2塊0.36元小軍4本3枝2塊0.60元小慶5本4枝2塊0.75元現(xiàn)在把小明的各數(shù)分別除以2，可得到1本練習(xí)本、1枝鉛筆、1塊橡皮共0.18元。接著用小慶的各數(shù)減去小軍的各數(shù)，得1本練習(xí)本、1枝鉛筆為0.15元。再把小明各數(shù)除以2所得的各數(shù)減去上數(shù)，就消去了練習(xí)本、鉛筆兩個(gè)未知數(shù)，得到1塊橡皮0.03元，采用類似的方法可求出練習(xí)本和鉛筆的單價(jià)。【轉(zhuǎn)化思路】解題時(shí)，如果用一般方法暫時(shí)解答不出來，就可以變換一種方式去思考，或改變思考的角度，或轉(zhuǎn)化為另外一種問題，這就是轉(zhuǎn)化思路。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思路解題就叫轉(zhuǎn)化法。各養(yǎng)兔多少只？分析（用轉(zhuǎn)化思路思索）：題中數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，兩個(gè)分率的標(biāo)準(zhǔn)量不同，為了簡化數(shù)量關(guān)系，只呢？這時(shí)兩人養(yǎng)的總只數(shù)該是多少只呢？假設(shè)后的數(shù)量關(guān)系，兩人養(yǎng)的總只數(shù)應(yīng)是：100-16×3=52（只）分析（用轉(zhuǎn)化思路分析）：本題求和，題中每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，好像不能把每個(gè)分?jǐn)?shù)分成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減，然后相加抵消一些數(shù)。但是只要我們按等差數(shù)列求和公式，求出分母就會(huì)發(fā)現(xiàn)，可將上面各分?jǐn)?shù)的分母轉(zhuǎn)化為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)積的形式。所以例題可以轉(zhuǎn)化為：然后再相加，抵消中間的各個(gè)分?jǐn)?shù)即可?！绢惐人悸贰款惐染褪菑囊粋€(gè)問題想到了相似的另一個(gè)問題。例如從等差數(shù)列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長方體體積公式等等；類比是一個(gè)重要的思想方法，也是解題的一種重要思路。例1有一個(gè)掛鐘，每小時(shí)敲一次鐘，幾點(diǎn)鐘就敲幾下，鐘敲6下，5秒鐘敲完；鐘敲12下，幾秒敲完？分析（用類比思路探討）：有人會(huì)盲目地由倍數(shù)關(guān)系下結(jié)淪，誤認(rèn)為10秒鐘敲完，那就完全錯(cuò)了。其實(shí)此題只要運(yùn)用類比思路，與植樹問題聯(lián)系起來想一想就通了：一條線路植樹分成幾段（株距），如果不包括兩個(gè)端點(diǎn)，共需植（n-1）棵樹，如果包括兩個(gè)端點(diǎn)，共需植樹（n＋1）棵，把鐘點(diǎn)指數(shù)看作是一棵棵的樹，把敲的時(shí)間看作棵距，此題就迎刃而解了。例2從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘，時(shí)針正好與分鐘重合。分析（用類比思路討論）：本題可以與行程問題進(jìn)行類比。如圖2.11，如果用時(shí)針1小時(shí)所走的一格作為路程單位，那么本題可以重新敘述為：已知分針與時(shí)針相距4格，分如果分針與時(shí)針同時(shí)同向出發(fā)，問：分針過多少分鐘可追上時(shí)針？這樣就與行程問題中的追及問題相似了。4為距離差，速度差為，重合的時(shí)間，就是追上的時(shí)間?！痉诸愃悸贰堪岩粋€(gè)復(fù)雜的問題，依照某種規(guī)律，分解成若干個(gè)較簡單的問題，從而使問題得到解決，這就是分類思路。這種思路在解決數(shù)圖形個(gè)數(shù)問題中經(jīng)常用到。例1如圖2.12，共有多少個(gè)三角形？分析（用分類思路考慮）：這樣的圖直接去數(shù)有多少個(gè)三角形，要做到能不重復(fù)，又不遺漏，是比較困難的。怎么辦？可以把圖中所有三角形按大小分成幾類，然后分類去數(shù)，再相加就是總數(shù)了。本題根據(jù)條件，可以分為五類（如圖2.13）。例2如圖2.14，象棋棋盤上一只小卒過河后沿著最短的路走到對方“將”處，這小卒有多少種不同的走法？分析（運(yùn)用分類思路分析）：小卒過河后，首先到達(dá)A點(diǎn)，因此，題目實(shí)際上是問：從A點(diǎn)出發(fā)，沿最短路徑有多少種走法可以到達(dá)“將”處，所謂最短，是指不走回頭路。因?yàn)椤皩ⅰ敝苯酉嗤ǖ氖荘點(diǎn)和K點(diǎn)，所以要求從A點(diǎn)到“將”處有多少種走法，就必須是求出從A到P和從A到K各有多少種走法。分類。一種走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一種走法。二種走法：從A到H有兩種走法。三種走法：從A到M及從A到I各有三種走法。其他各類的走法：因?yàn)閺腁到M、到I各有3種走法，所以從A到N就有3＋3＝6種走法了，因?yàn)閺腁到I有3種走法，從A到D有1種走法，所以從A到J就有3＋1=4種走法了；P與N、J相鄰，而A到N有6種走法，A到J有4種走法，所以從A到P就有6+4=10種走法了；同理K與J、E相鄰，而A到J有4種走法，到E有1種走法，所以A到K就有4+1=5種走法。再求從A到“將”處共有多少種走法就非常容易了?！镜攘看鷵Q思路】有些題的數(shù)量關(guān)系十分隱蔽，如果用一般的分析推理，難于找出數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，求出要求的數(shù)量。那么我們就根據(jù)已知條件與未知條件相等的關(guān)系，使未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化，促使問題迎刃而解。這種思路叫等量代換思路。例1如圖2.15的正方形邊長是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面積比甲三角形大6平方厘米，求CE長多少厘米？分析（用等量代換思路思考）：按一般思路，要求CE的長，必須知道乙三角形的面積和高，而這兩個(gè)條件都不知道，似乎無法入手。用等量代換思路，我們可以求出三角形ABE的面積，從而求出CE的長，怎樣求這個(gè)三角形的面積呢？設(shè)梯形為丙：已知乙=甲+6丙+甲=6×6=36用甲+6代換乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42即三角形ABE的面積等于42平方厘米，這樣，再來求CE的長就簡單了。例2有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑白兩色棋子。第一這三堆棋子集中一起，問白子占全部棋子的幾分之幾？分析（用等量代換的思路來探討）：這道題數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，如果我們把第一堆里的黑子和第二堆的白子對換一下，那么這個(gè)問題就簡單多了。出現(xiàn)了下面這個(gè)等式。第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）=第三堆（白子+黑子）（這里指的棋子數(shù)）份，則第二堆（全部黑子）為3份，這樣就出現(xiàn)了每堆棋子為3份，3堆棋子的總份數(shù)自然就出來了。而第三堆黑子占了2份，白子自然就只有3—2=1份了。第一堆換成了全部白子，所以白子總共是幾份也可求出。最后去解決白子占全部棋子的幾分之幾就非常容易了?！緦?yīng)思路】分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特點(diǎn)是一個(gè)數(shù)量對應(yīng)著一個(gè)分率，也就是一個(gè)數(shù)量相當(dāng)于單位“1”的幾分之幾，這種關(guān)系叫做對應(yīng)關(guān)系。找對應(yīng)關(guān)系的思路，我們把它叫做對應(yīng)思路。例1有一塊菜地和一塊麥地，菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是91公畝，麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公畝，那么，菜地是幾公畝？分析（用對應(yīng)思路分析）：這是一道復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，我們不妨用對應(yīng)思路去思索。如能找出91公畝、84公畝的對應(yīng)分率，此題就比較容易解決了。但題中有對應(yīng)分率兩個(gè)，究竟相當(dāng)于總公畝數(shù)的幾分之幾呢？這是解題的關(guān)鍵。而我們一時(shí)還弄不清楚，現(xiàn)將條件排列起來尋找?？汕蟪隹偣€數(shù)是求出總公畝數(shù)后，我們?nèi)晕凑业讲说鼗螓湹卣伎偣€數(shù)的幾分之幾，故還不能直接求出菜地或麥地的公畝數(shù)。但我們把條件稍作組合，就可以求出分析到這一步，那么再去求菜地有多少公畝，則就變成了一道很簡單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題了。例2蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管，要灌滿一池水，單開甲管需要3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)，要排完一池水，單開乙管順序，循環(huán)各開水管，每次每管開一小時(shí)，問多少時(shí)間后水開始溢出水池？分析（用對應(yīng)思路考慮）：本題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，但仍屬分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，所以仍可用對應(yīng)思路尋找解題途徑。首先要找出甲、丙兩管每小時(shí)灌水相當(dāng)于一池水的幾分之幾，乙、丁兩管每小時(shí)排水相當(dāng)于一池水的幾分之幾，然后才能計(jì)算。一池水→“1”通過轉(zhuǎn)化找到了對應(yīng)分率就容易計(jì)算了。假設(shè)甲、乙、丙、丁四個(gè)水管按順序各開1小時(shí)，共開4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的：加上池內(nèi)原有的水，池內(nèi)有水：也就是20小時(shí)以后，池內(nèi)有水水池了，因此20小時(shí)后，只需再灌水所以這時(shí)甲管不要開1小時(shí)，只要開總共是多少時(shí)間后水開始溢出水池不就一目了然了嗎？5、整數(shù)的拆分【不連續(xù)加數(shù)拆分】例1將一根長144厘米的鐵絲，做成長和寬都是整數(shù)的長方形，共有______種不同的做法？其中面積最大的是哪一種長方形？（1992年“我愛數(shù)學(xué)”邀請賽試題）講析：做成的長方形，長與寬的和是144÷2=72（厘米）。因?yàn)?2=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36，所以，一共有36種不同的做法。比較以上每種長方形長與寬的積，可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)長與寬都是36厘米時(shí)，面積最大。例2將1992表示成若干個(gè)自然數(shù)的和，如果要使這些數(shù)的乘積最大，這些自然數(shù)是______。（1992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：若把一個(gè)整數(shù)拆分成幾個(gè)自然數(shù)時(shí)，有大于4的數(shù)，則把大于4的這個(gè)數(shù)再分成一個(gè)2與另一個(gè)大于2的自然數(shù)之和，則這個(gè)2與大于2的這個(gè)數(shù)的乘積肯定比它大。又如果拆分的數(shù)中含有1，則與“乘積最大”不符。所以，要使加數(shù)之積最大，加數(shù)只能是2和3。但是，若加數(shù)中含有3個(gè)2，則不如將它分成2個(gè)3。因?yàn)?×2×2=8，而3×3=9。所以，拆分出的自然數(shù)中，至多含有兩個(gè)2，而其余都是3。而1992÷3=664。故，這些自然數(shù)是664個(gè)3。例3把50分成4個(gè)自然數(shù)，使得第一個(gè)數(shù)乘以2等于第二個(gè)數(shù)除以2；第三個(gè)數(shù)加上2等于第四個(gè)數(shù)減去2，最多有______種分法。（1990年《小學(xué)生報(bào)》小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：設(shè)50分成的4個(gè)自然數(shù)分別是a、b、c、d。因?yàn)閍×2=b÷2，則b=4a。所以a、b之和必是5的倍數(shù)。那么，a與b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。又因?yàn)閏＋2=d-2，即d=c＋4。所以c、d之和加上4之后，必是2的倍數(shù)。則c、d可取的數(shù)組有：（40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7，得出符合條件的a、b、c、d一組為（8、32、3、7）。同理得出另外三組為：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。所以，最多有4種分法?！具B續(xù)加數(shù)拆分】例1把945寫成連續(xù)自然數(shù)相加的形式，有多少種？（第一屆“新苗杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：因?yàn)?45=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（個(gè)）奇約數(shù)。所以，945共能分拆成16-1=15（種）不同形式的連續(xù)自然數(shù)之和。例2幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，和能等于1991嗎？如果能，有幾種不同的答案？寫出這些答案；如果不能，說明理由。（全國第五屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）講析：1991=11×181，它共有（1＋1）×（1+1）=4（個(gè)）奇約數(shù)。所以，1991可以分成幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，并且有3種答案。由1991=1×1991得：1991=995＋996。由1991=11×181得：…+（80+101）=80＋81＋……＋100＋101。6、整除及數(shù)字整除特征【數(shù)字整除特征】例142□28□是99的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)除以99所得的商是__。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：能被99整除的數(shù)，一定能被9和11整除。設(shè)千位上和個(gè)位上分別填上數(shù)字a、b，則：各位上數(shù)字之和為[16+（a+b）]。要使原數(shù)能被9整除，必須使[16+（a+b）]是9的倍數(shù)，即（a+b）之和只能取2或11。又原數(shù)奇位上的數(shù)字和減去偶位上數(shù)字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原數(shù)能被11整除，必須使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍數(shù)。經(jīng)驗(yàn)證，（b-a-8）是11的倍數(shù)不合。所以a-b=3。又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。從而很容易求出商為427284÷99=4316。例2某個(gè)七位數(shù)1993□□□能同時(shí)被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是__。（1993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）講析：因?yàn)?、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)是2520。而1993000÷2520=790余2200。于是再加上（2520-2200）=320時(shí)，就可以了。所以最后三位數(shù)字依次是3、2、0。例3七位數(shù)175□62□的末位數(shù)字是__的時(shí)候，不管千位上是0到9中的哪一個(gè)數(shù)字，這個(gè)七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：設(shè)千位上和個(gè)位上的數(shù)字分別是a和b。則原數(shù)奇位上各數(shù)字和與偶位上各數(shù)字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。要使原數(shù)是11的倍數(shù)，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍數(shù)。則有b-a=8，或者a-b=3。①當(dāng)b-a=8時(shí)，b可取9、8；②當(dāng)a-b=3時(shí)，b可取6、5、4、3、2、1、0。所以，當(dāng)這個(gè)七位數(shù)的末位數(shù)字取7時(shí)，不管千位上數(shù)字是幾，這個(gè)七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。例4下面這個(gè)四十一位數(shù)55……5□99……9（其中5和9各有20個(gè)）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是__。（1991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：注意到111111÷7=15873，所以555555與999999也能被7整除。則18個(gè)5或18個(gè)9組成的數(shù)，也能被7整除。要使原四十一位數(shù)能被7整除，只需55□99這個(gè)五位數(shù)是7的倍數(shù)。容易得出，中間方格內(nèi)的數(shù)字是6。【整除】例1一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，適合這些條件的最小數(shù)是______。（天津市第一屆“我愛數(shù)學(xué)”邀請賽試題）講析：所求這個(gè)數(shù)分別除以3和7時(shí)，余數(shù)相同。3和7的最小公倍數(shù)為21。所以這個(gè)數(shù)是23。經(jīng)檢驗(yàn)，23除以5商4余3，23是本題的答案。例2一個(gè)整數(shù)在3600到3700之間，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。這個(gè)整數(shù)是__。（《現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)》邀請賽試題）講析：所求整數(shù)分別除以3、5、7以后，余數(shù)各不相同。但仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把這個(gè)數(shù)加上4以后，它就能同時(shí)被3、5、7整除了。因?yàn)?、5和7的最小公倍數(shù)是105。3600÷105=34余30，105-30=75，所以，當(dāng)3600加上75時(shí)，就能被3、5和7整除了。即所求這個(gè)整數(shù)是3675。例3在一個(gè)兩位數(shù)中間插入一個(gè)數(shù)字，就變成了一個(gè)三位數(shù)。如52中間插入4后變成542。有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)數(shù)字后變成的三位數(shù)，是原兩位數(shù)的9倍。這樣的兩位數(shù)共有__個(gè)。（中南地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：因?yàn)椴迦胍粋€(gè)數(shù)字后，所得的三位數(shù)是原兩位數(shù)的9倍，且個(gè)位數(shù)字相同。則原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是0或5。又插入的一個(gè)數(shù)字，必須小于個(gè)位數(shù)字，否則新三位數(shù)就不是原兩位數(shù)的9倍了。因此原二位數(shù)的個(gè)位不能為0，而一定是5。結(jié)合被9整除的數(shù)字特征，不難找到符合要求的兩位數(shù)有45、35、25和15共4個(gè)。例4a是一個(gè)自然數(shù)，已知a與a+1的各位數(shù)字之和都能被7整除，那么這樣的自然數(shù)a最小是__。（1993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克總決賽第一試試題）講析：a與a+1的各位數(shù)字之和都是7的倍數(shù)。則a的個(gè)位數(shù)字一定是9。因?yàn)槿绻麄€(gè)位上不是9時(shí)，若a的各位數(shù)字之和是7的倍數(shù)，則a+1的各位數(shù)字之和除以7以后，肯定余1。只有當(dāng)a的個(gè)位上是9時(shí)，a+1之后，個(gè)位上滿十后向前一位進(jìn)一，a+1的個(gè)位數(shù)字和才有可能是7的倍數(shù)。聯(lián)想到69，69+1=70，經(jīng)適當(dāng)調(diào)整可得，符合條件的最小數(shù)a是69999。例5一個(gè)自然數(shù)被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一個(gè)商是a[見圖5.43（1）]，又知這個(gè)自然數(shù)被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一個(gè)商是2a[見圖5.43（2）]，求這個(gè)自然數(shù)。（北京市第九屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：可從最后的商步步向前推算。由圖5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是8×（8a+7）+1=64a+57；所求的自然數(shù)是8×（64a+57）+1=512a+457由圖5.43（2）得，所求的自然數(shù)是578a+259所以，512a+457=578a+259。解得a=3。故，這個(gè)自然數(shù)是512×3+457=1993。例6某住宅區(qū)有十二家住戶。他們的門牌號分別是1、2、3、……、12。他們的電話號碼依次是十二個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每戶的電話號碼都能被這戶的門牌號整除。已知這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除。問這一家的電話號碼是什么數(shù)？（1993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克總決賽第二試試題）講析：設(shè)這十二家住戶的電話號碼依次是a+1、a+2、a+3、……，a+12。因?yàn)槊繎舻碾娫捥柎a都能被自己家的門牌號整除，所以數(shù)a能同時(shí)被1、2、3、……、12整除。而1、2、3、……、12的最小公倍數(shù)是27720，所以六位數(shù)中，能同時(shí)被1、2、3、……12整除的最小自然數(shù)是27720×4=110880現(xiàn)在考慮第九戶人家的電話號碼能被13整除問題。因?yàn)?10880÷13，余數(shù)是12；27720÷13，余數(shù)是4。也就是在110889的基礎(chǔ)上，再加上n個(gè)27720之后的和，能被13整除的數(shù)，就是所求的數(shù)。即12+4n，是13的倍數(shù)。顯然，當(dāng)n=10時(shí)，12+4n是13的倍數(shù)。所以，門牌號碼是9的這家電話號碼是：110889+27720×10=388089。7、運(yùn)用圖形間的等量關(guān)系【應(yīng)用弦圖解題】

我國古代有種圖形叫做“弦圖”（如圖4.56所示），有的數(shù)學(xué)家應(yīng)用它成功地證明了“勾股定理”。我國宋代著名數(shù)學(xué)家楊輝，在他著的《田畝比類乘除捷法》一書中，提出了這樣一個(gè)問題：有一塊長方形田，面積為864平方步（“步”是古代長度單位，1里=300步，1步=5尺），已知長比寬少12步，問：它的長、寬共是多少步？楊輝在該書上出示了一個(gè)弦圖（如圖4.57），他是用四個(gè)面積為864共是60步。顯然，這樣運(yùn)用弦圖來解答題目，是十分高明和十分巧妙的！有些競賽題也可以用弦圖來巧解。第一屆“華羅庚金杯賽”中，就兩次出現(xiàn)了應(yīng)用弦圖來解答的題目。尤其是那一道決賽題：平方米。鋸下的木條面積是多少平方米？”仿楊輝的解法，可假定剩下4塊長方形木塊，并利用它拼成了一個(gè)“弦圖”，如圖4.58。于是可知，大正方形的面積為【解縱橫交錯(cuò)的復(fù)雜題】

把同樣大小的長方形有規(guī)律地縱橫交錯(cuò)地放在一起，常常需要根據(jù)長、寬關(guān)系，找出等量關(guān)系來解答題目。例如如圖4.59，這是由同樣大小的紙片擺成的圖形，小紙片寬12厘米，求陰影部分的總面積。由圖可知，5個(gè)紙片的長=3個(gè)紙片的長+3個(gè)紙片的寬，所以2個(gè)紙片長=3個(gè)紙片寬1個(gè)紙片長=12×3÷2=18（厘米）進(jìn)而可知，每個(gè)陰影部分的小正方形的邊長為18-12=6（厘米）陰影部分的總面積便是6×6×3=108（平方厘米）又如，“有9個(gè)長方形，它們的長、寬分別相等，用它們拼成的大長方形（如圖4.60）的面積是45平方厘米，求大長方形的周長?！苯忸}的關(guān)鍵，是求出一個(gè)小長方形的長和寬。由5個(gè)小長方形的寬等于形重新分割為5個(gè)小正方形，小正方形的邊長，正好是小長方形的寬（如圖4.61）。所以，5個(gè)小正方形面積之和，就是四個(gè)小正方形的面積之和，即5個(gè)小正方形面積為45÷9×4=20（平方厘米）每個(gè)小正方形的面積為20÷5=4（平方厘米）顯然，每個(gè)小正方形的邊長（即小長方形的寬）為2厘米，小長方形的長便是進(jìn)而便可求得大長方形的周長為［2.5×4＋（2.5＋2）］×2=29（厘米）。此外，題目還可這樣解答：因?yàn)樾￠L方形寬的5倍等于長的4倍，所以，可用（4與5的最小公倍數(shù)）20個(gè)小長方形拼成一個(gè)大的正方形（如圖4.62）。大正方形面積是它的邊長便是10厘米，則小正方形的長為10÷4=2.5（厘米）小正方形的寬為10÷5=2（厘米）于是，原來的大長方形的周長就是（2.5×4＋2.5＋2）×2=29（厘米）?！居妹娣e線段比的關(guān)系解題】

利用面積比與線段比之間的等量關(guān)系，常常能使復(fù)雜問題簡單化。例如為什么成立？由圖中可以看出，△PBC和△ABC是同底的兩個(gè)三角形，所以又如，第一屆“華羅庚金杯賽”上有過一道這樣的題目：“如圖4.64，一個(gè)長方形地面被兩條直線分成四個(gè)長方形，其中三個(gè)的面積是20公畝、25公畝和30公畝，另一個(gè)（圖中陰影部分）長方形的面積是多少公畝？”圖中可見，右邊兩個(gè)長方形是長相同的長方形，它們的面積比等于它們寬的比；同樣，左邊兩個(gè)長方形也是長相同的長方形，它們的面積比，也等于它們寬的比。設(shè)陰影部分面積為x公畝，由于左右兩組長方形面積之比，都等于相同的寬之比，所以即另一個(gè)（陰影部分）長方形面積為37.5公畝。8、運(yùn)算法則或方法【四則運(yùn)算法則】整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算法則，見小學(xué)數(shù)學(xué)課本，此處略?！舅膭t運(yùn)算順序】見小學(xué)數(shù)學(xué)課本，略?！痉狈?jǐn)?shù)化簡方法】繁分?jǐn)?shù)化簡的方法，一般有以下兩種方法。（1）利用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，把繁分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍數(shù)，從而化簡繁分?jǐn)?shù)。（2）利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，將繁分?jǐn)?shù)化簡。這是因?yàn)榉狈謹(jǐn)?shù)實(shí)際上是分?jǐn)?shù)除法的另一種表示形式的緣故。例如【求連分?jǐn)?shù)的值的方法】由數(shù)列a0，a1，……及b1，b2，……所組成的表達(dá)式稱為“連分?jǐn)?shù)”。它可簡記為為連分?jǐn)?shù)的值。連分?jǐn)?shù)有兩種，一是有限連分?jǐn)?shù)，二是無限連分?jǐn)?shù)。例如，求有限連分?jǐn)?shù)的值，也稱化簡連分?jǐn)?shù)，它的化簡方法與繁分?jǐn)?shù)的化簡方法基本相同。一般是從最下面的分母運(yùn)算開始，逐步向上計(jì)算。例如上面的這個(gè)有限連分?jǐn)?shù)：求無限連分?jǐn)?shù)的值，就是求它的有限層的值作為它的近似值。當(dāng)層次愈多時(shí)，就愈接近它的值。注意：繁分?jǐn)?shù)和連分?jǐn)?shù)，都不是“分?jǐn)?shù)”定義里所定義的一種分?jǐn)?shù)。分解為兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和，可按以下步驟去完成：的任意兩個(gè)約數(shù)a1，a2；（2）擴(kuò)分：將單位分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘以兩約數(shù)的和（a1+a2），（3）拆分：將擴(kuò)分后所得的分?jǐn)?shù)，按照同分母分?jǐn)?shù)相加的法則反過來（4）約分：將拆開后的兩個(gè)分?jǐn)?shù)約分，便得到兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)。注意：（1）因大于1的自然數(shù)的約數(shù)有時(shí)不止2個(gè)，有多個(gè)，從中任取兩個(gè)約數(shù)的取法也有多種，只要每次取出的兩個(gè)約數(shù)之間不成比例，則將一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和的結(jié)果也各不相同。例如，15的約數(shù)有1，3，5，15四個(gè)，從中任取兩個(gè)的取法有（1，3）、（1，5）、（1，15）、（3，5）、（3，15）、（5，15）六種，而取（1，3）和（5，15）、（1，5）和（3，15）是成比例（2）若要將單位分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)相等的單位分?jǐn)?shù)之和，那只要在擴(kuò)分時(shí)，分子、分母同乘以分母的任何一個(gè)約數(shù)的2倍或乘以2即可。拆成n個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和的方法和步驟與拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的方法和步驟相同，不同點(diǎn)只在擴(kuò)分時(shí)，分子、分母同乘以分母A的n個(gè)約數(shù)的和（a1+a2+…+an）。解∵15=3×5∴15的約數(shù)有1，3，5，15。有限個(gè)分?jǐn)?shù)的和的形式?！窘茢?shù)的加減法】在一般情況下，近似數(shù)相加減，和或差精確到哪一位，與已知數(shù)中精確度最低的一個(gè)相同。計(jì)算法則有以下三條：（1）確定結(jié)果精確到哪一個(gè)數(shù)位（已知數(shù)中精確度最低的精確到了哪一個(gè)數(shù)位，則計(jì)算的結(jié)果就精確到這個(gè)數(shù)位）；（2）把已知數(shù)中超過這一最低精確度這個(gè)數(shù)位的數(shù)字，四舍五入到這個(gè)數(shù)位的下一位；（3）進(jìn)行計(jì)算，并且把算得的數(shù)的末位數(shù)字四舍五入。例如，求近似數(shù)25.4、0.456、8.738和56的和。25.4+0.456+8.738+56≈91又如，求近似數(shù)0.095減0.002153的差。解：0.095-0.002153≈0.093【近似數(shù)的乘除法】在一般情況下，近似數(shù)相乘除，積或者商取幾個(gè)有效數(shù)字，與已知數(shù)中有效數(shù)字最少的相同。具體法則有以下三條：（1）確定結(jié)果有多少個(gè)有效數(shù)字（已知數(shù)中有效數(shù)字最少的有多少個(gè)，結(jié)果就取同樣多個(gè)有效數(shù)字）；（2）把已知數(shù)中有效數(shù)字的個(gè)數(shù)多的，四舍五入到只比結(jié)果中有效數(shù)字的個(gè)數(shù)多一個(gè)；（3）進(jìn)行計(jì)算（除法要比結(jié)果多算出一位），并把算得的數(shù)四舍五入到應(yīng)該有的有效數(shù)字的個(gè)數(shù)。例如，（1）求近似數(shù)26.79與0.26的積。（2）求近似數(shù)9.7除以近似數(shù)25.78的商。因24只有兩個(gè)有效數(shù)字，故可把各數(shù)分別四舍五入到三個(gè)有效數(shù)字以后去計(jì)算；得出中間結(jié)果仍保留三個(gè)有效數(shù)字，即比法則規(guī)定的多保留一個(gè)；得出最后的結(jié)果，再四舍五入到兩個(gè)有效數(shù)字。再如，量得一個(gè)圓的周長約是3.73厘米，求這個(gè)圓的直徑。題目要求直徑長度，需用“3.73÷π”去計(jì)算。其中3.73是近似數(shù)，有三個(gè)有效數(shù)字；π是個(gè)準(zhǔn)確數(shù)，它有任意多個(gè)有效數(shù)字，計(jì)算時(shí)，π取四個(gè)有效數(shù)字：解3.73÷π≈3.73÷3.142≈1.19（厘米）答：這個(gè)圓的直徑約是1.19厘米。【近似數(shù)混合運(yùn)算方法】近似數(shù)的混合運(yùn)算，要分步來做。運(yùn)算的中間步驟的計(jì)算結(jié)果，所保留的數(shù)字要比加、減、乘、除計(jì)算法則規(guī)定的多取一個(gè)。例如，作近似數(shù)的混合計(jì)算：57.71÷5.14+3.18×1.16-4.6307×1.6。解原式=11.23+3.689-7.41≈7.5說明：（1）57.71÷5.14，3.18×1.16，4.6307×1.6，所得的中間結(jié)果11.23，3.689，7.41，都比法則規(guī)定應(yīng)當(dāng)取的有效數(shù)字多取了一個(gè)。（2）11.23+3.689-7.41是加減法，各數(shù)中精確度最低的是7.41，這個(gè)數(shù)實(shí)際上只有兩個(gè)有效數(shù)字，就是只精確到十分位。因此，最后求得的結(jié)果應(yīng)當(dāng)四舍五入到十分位，得7.5。又如，“有一塊梯形土地，量得上底約為68.73米，下底約為104.20米，高約為9.57米。求這塊土地的面積?！?6.47×9.57≈828（平方米）（答略）說明：（1）68.73+104.20，所得的中間結(jié)果172.93，精確到0.01，沒有多取的數(shù)位。果四舍五入到三個(gè)有效數(shù)字，得828?！绢A(yù)定精確度的計(jì)算法則】已給出計(jì)算結(jié)果所要求達(dá)到的精確度，要求確定原始數(shù)據(jù)的精確度，通常稱其為“預(yù)定精確度的計(jì)算”。預(yù)定精確度的計(jì)算法則，一般有：（1）預(yù)定結(jié)果的精確度用有效數(shù)字給出的問題。如果預(yù)定結(jié)果有n個(gè)有效數(shù)字，那么原始數(shù)據(jù)一般取到n+1個(gè)有效數(shù)字。例如，圓形面積大約是140平方米，要使算出的結(jié)果具有兩個(gè)有效數(shù)字，那么測量半徑r應(yīng)達(dá)到怎樣的精確度？π應(yīng)取幾個(gè)有效數(shù)字的近似值？解：為了使面積S具有兩個(gè)有效數(shù)字，π和r就都要有三個(gè)有效數(shù)字。因?yàn)閞應(yīng)該有一位整數(shù)，所以測量半徑時(shí)，應(yīng)該精確到0.01米。π應(yīng)該取三個(gè)有效數(shù)字的近似值--3.14。（2）對于加法和減法，由于計(jì)算結(jié)果的精確度是按小數(shù)的位數(shù)來確定的，所以當(dāng)預(yù)定結(jié)果的精確度用有效數(shù)字個(gè)數(shù)給出，那么就要先估計(jì)出和或差里最高一位數(shù)在哪一位上。例如，梯形上底a約50米，下底b約60米，高h(yuǎn)約40米。測量時(shí)，應(yīng)達(dá)到怎樣的精確度，才能使算出的面積S有兩個(gè)有效數(shù)字？要使S有兩個(gè)有效數(shù)字，則（a+b）與h都應(yīng)該有三個(gè)有效數(shù)字。所以，測量h應(yīng)精確到0.1米，而測量上底和下底，只需要精確到1米（因a+b有三個(gè)整數(shù)數(shù)位。）在實(shí)際測量時(shí)，a、b、h都有兩個(gè)整數(shù)數(shù)位，測量工具一樣，因此常采用相同的精確度?！疽话泸?yàn)算方法】（1）加減法的驗(yàn)算方法。加法的驗(yàn)算方法有二：一是利用加法交換律，把加數(shù)位置交換后再相加，所得的結(jié)果必須與原計(jì)算的結(jié)果相同，說明計(jì)算才是正確的。二是利用加法和減法的逆運(yùn)算關(guān)系，把所得的和減去一個(gè)加數(shù)，所得的差必須等于另一個(gè)加數(shù)，計(jì)算才是正確的。減法的驗(yàn)算也有兩種方法：一是利用加減互逆的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)算，把所得的差與減數(shù)相加，所得的和必須等于被減數(shù)，計(jì)算才是正確的。二是利用被減數(shù)、減數(shù)、差三者之間的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)算，用被減數(shù)減去差，所得的結(jié)果必須等于減數(shù)，計(jì)算才是正確的。（2）乘除法的驗(yàn)算方法。乘法有兩種驗(yàn)算方法：①利用乘法交換律進(jìn)行驗(yàn)算，把因數(shù)位置交換后再相乘，所得的結(jié)果必須和原來的計(jì)算結(jié)果相同，計(jì)算才是正確的。②利用乘除互逆關(guān)系，把所得的積除以一個(gè)因數(shù)，結(jié)果必須等于另一個(gè)因數(shù)，計(jì)算才是正確的。除法也有兩種驗(yàn)算方法：①利用乘除互逆關(guān)系，把除數(shù)和商相乘（如有余數(shù)，還要加上余數(shù)），所得的結(jié)果必須等于被除數(shù)，計(jì)算才是正確的。②利用被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)之間的關(guān)系，把被除數(shù)減去余數(shù)所得的差（沒有余數(shù)的不必去減），除以商，所得的結(jié)果必須等于除數(shù)，計(jì)算才是正確的。（3）四則混合運(yùn)算式題的驗(yàn)算。四則混合運(yùn)算式題的驗(yàn)算，雖然可采用上述加、減、乘、除法的驗(yàn)算方法去驗(yàn)算，但非常麻煩，不如采用重算的辦法。由于計(jì)算中最易錯(cuò)的是運(yùn)算順序、分小數(shù)互化等，所以重算可分三步走：①檢查運(yùn)算順序；②檢查分小數(shù)互化情況；③檢查每步計(jì)算結(jié)果是否正確。（4）解方程、解比例的驗(yàn)算方法。解方程、解比例的驗(yàn)算，可將求得的解代入原方程或原比例，看等號兩邊的數(shù)值是否相等。（5）應(yīng)用題的驗(yàn)算方法。應(yīng)用題的驗(yàn)算可以采用下面三種方法：①用“一題多解”驗(yàn)算。有多種解法的應(yīng)用題，可用不同的解法去再解一遍。若解得的結(jié)果一致，說明解法是正確的。②用“還原法”驗(yàn)算。將計(jì)算結(jié)果作為題目中的已知條件，根據(jù)其數(shù)量關(guān)系，若算得其他已知條件和數(shù)據(jù)都是成立的（即能“還原”），則表明題目的解法是正確的。③用分析、估算方法驗(yàn)算。根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)等，可知：求總數(shù)，結(jié)果不應(yīng)小于部分?jǐn)?shù)；求人數(shù)、植樹棵樹等，得數(shù)通常為整數(shù)；計(jì)算出油率、合格率等，得數(shù)不會(huì)大于100％；計(jì)算各種速度、農(nóng)作物單位面積產(chǎn)量，得數(shù)應(yīng)基本符合實(shí)際情況；……否則，題目的解答便可能是錯(cuò)誤的。不過，分析、估算辦法只能檢驗(yàn)出大致的情況，大致情況檢驗(yàn)出來后，還得用其他方法驗(yàn)算?！緱壘膨?yàn)算法】利用被9除所得余數(shù)的性質(zhì)，對四則運(yùn)算進(jìn)行檢驗(yàn)的一種方法，稱為“棄九驗(yàn)算法”，簡稱“棄九法”。用“棄九法”驗(yàn)算，首先要找出一個(gè)數(shù)的“去九數(shù)”（或稱“棄九數(shù)”）。把一個(gè)數(shù)各位數(shù)字相加，如果和大于9，又再將和的各位數(shù)字相加，直到和是一個(gè)一位數(shù)（和是9的要減去9得0），這個(gè)數(shù)我們便稱它為原數(shù)的“去九數(shù)”。例如8693：8+6+9+3=26-→2+6=8（去九數(shù)是8）；721：7+2+1=10-→1+0=1（去九數(shù)是1）。去九數(shù)也可以這樣得到：把一個(gè)數(shù)中的數(shù)字9，或者相加得9的幾個(gè)數(shù)字都劃去，將剩下來的數(shù)字相加，得到一個(gè)小于9的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是原數(shù)的去九數(shù)。例如：“棄九驗(yàn)算法”也可以說，是利用“去（棄）九數(shù)”去進(jìn)行驗(yàn)算的一種驗(yàn)算方法。例如，驗(yàn)算下面的加減法，可先求出等號左右每個(gè)數(shù)的去九數(shù)，然后將等號左邊的去九數(shù)相加減，若去九數(shù)的和（或差），與等號右邊和（或差）的去九數(shù)不相等，則可以肯定，原來的計(jì)算是錯(cuò)誤的。例如（如果兩個(gè)加數(shù)的去九數(shù)之和大于9，則應(yīng)減去9）所以，可以肯定，原式的計(jì)算是錯(cuò)誤的。的確，正確的答案是70168。假如最后的兩個(gè)去九數(shù)之和或差，與等號右邊和（或差）的去九數(shù)相等，那么在一般情況下，可以認(rèn)為原來的計(jì)算大致沒有錯(cuò)誤。例如所以，可以認(rèn)為原來的計(jì)算大致沒有錯(cuò)誤。減法的驗(yàn)算如所以，可以肯定，原計(jì)算是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，原式的差應(yīng)該是146410。用棄九法驗(yàn)算乘法如下面的兩個(gè)例子：（1）可以肯定，原來的計(jì)算是錯(cuò)誤的。確實(shí)，正確的答案應(yīng)該是716478。（2）可以認(rèn)為，這道題大致沒有錯(cuò)誤。用棄九法驗(yàn)算除法，可利用下面的關(guān)系式來進(jìn)行：除數(shù)×商=被除數(shù)；除數(shù)×商+余數(shù)=被除數(shù)。例如：（1）可以認(rèn)為，這道題的計(jì)算大致沒有錯(cuò)誤。（2）可以認(rèn)為，這道題的計(jì)算，大致沒有錯(cuò)誤。不難發(fā)現(xiàn)，棄九驗(yàn)算法是既方便，又有趣的。但當(dāng)棄九數(shù)的等式相等時(shí)，為什么要說“在一般情況下”，“可以認(rèn)為”原式的計(jì)算”大致沒有錯(cuò)誤”呢？請看下面幾個(gè)數(shù)的去九數(shù)：這就是說，當(dāng)幾個(gè)數(shù)的數(shù)字相同，僅僅是0的個(gè)數(shù)不同；或者是數(shù)字順序顛倒；或者小數(shù)點(diǎn)的位置不同時(shí)，它的去九數(shù)卻是相同的。這樣就會(huì)導(dǎo)致用棄九法驗(yàn)算，不能查出去九數(shù)雖相同，而數(shù)的實(shí)際大小卻并不相同的情況。這一點(diǎn)，在使用棄九法驗(yàn)算時(shí)，我們必須特別注意。盡管有以上這種情況，但一般說來，棄九驗(yàn)算法還是一個(gè)有特色、有趣味的和比較好的驗(yàn)算方法。【速算方法】（見第一部分“（五）數(shù)學(xué)公式”中的“速算公式”及第四部分中的“速算技巧”。）【名數(shù)化、聚方法】（1）名數(shù)的化法。把高級單位的單名數(shù)或復(fù)名數(shù)，化成低級單位的單名數(shù)的方法，叫做“名數(shù)的化法”。計(jì)算時(shí)，用進(jìn)率乘以高級單位的數(shù)，再加上低級單位的數(shù)。例如，把6米32厘米化成以厘米為單位的數(shù)：因?yàn)槔迕缀兔字g的進(jìn)率是100，所以，解法是100×6+32=632（厘米），即6米32厘米=632厘米。（2）名數(shù)的聚法。把低級單位的單名數(shù)聚成高級單位的單名數(shù)或復(fù)名數(shù)的方法，叫做“名數(shù)的聚法”。計(jì)算時(shí)，用低級單位的數(shù)除以進(jìn)率，所得的商就是高級單位的數(shù)，余數(shù)就是低級單位的數(shù)。例如，把5700千克聚成以噸和千克為單位的復(fù)名數(shù)。因?yàn)閲嵑颓Э酥g的進(jìn)率是1000，所以解法是5700÷1000=5……700∴5700千克=5噸700千克。9、約數(shù)與倍數(shù)【約數(shù)問題】例1用1155個(gè)同樣大小的正方形拼成一個(gè)長方形，有______種不同的拼法。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：不論拼成怎樣的長方形，它們的面積都是1155。而長方形的面積等于長乘以寬。所以，只要將1155分成兩個(gè)整數(shù)的積，看看有多少種方法。一般來說，約數(shù)都是成對地出現(xiàn)。1155的約數(shù)共有16個(gè)。16÷2=8（對）。所以，有8種不同的拼法。例2說明：360這個(gè)數(shù)的約數(shù)有多少個(gè)？這些約數(shù)之和是多少？（全國第三屆“華杯賽”決賽第一試試題）講析：將360分解質(zhì)因數(shù)，得360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。所以，360的約數(shù)個(gè)數(shù)是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（個(gè)）這24個(gè)約數(shù)的和是：例3一個(gè)數(shù)是5個(gè)2，3個(gè)3，2個(gè)5，1個(gè)7的連乘積。這個(gè)數(shù)當(dāng)然有許多約數(shù)是兩位數(shù)，這些兩位的約數(shù)中，最大的是幾？（全國第一屆“華杯賽”決賽第一試試題）講析：這個(gè)數(shù)是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。把兩位數(shù)從99、98、……開始，逐一進(jìn)行分解：99=3×3×11；98=2×7×7；97是質(zhì)數(shù)；96=2×2×2×2×2×3。發(fā)現(xiàn)，96是上面數(shù)的約數(shù)。所以，兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。例4有8個(gè)不同約數(shù)的自然數(shù)中，最小的一個(gè)是______。（北京市第一屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：一個(gè)自然數(shù)N，當(dāng)分解質(zhì)因數(shù)為：因?yàn)?=1×8=2×4=2×2×2，所以，所求自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，可能為：27，或23×3，或2×3×5，……不難得出，最小的一個(gè)是24。【倍數(shù)問題】例16枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高，如果分別用1分、2分、5分硬幣疊成的三個(gè)圓柱體一樣高，這些硬幣的幣值為4元4角2分，那么這三種硬幣總共有______枚。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：因?yàn)?枚1分的硬幣與5枚2分的一樣高，所以36枚1分的硬幣與30枚2分的一樣高。6枚2分的硬幣與5枚5分的一樣高，所以30枚2分的硬幣與25枚5分的一樣高。因此，36枚1分的硬幣高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它們共有：1×36+2×30+5×25=221（分）。4元4角2分=442（分），442÷221=2。所以，1分的硬幣共36×2=72（枚），2分的硬幣共30×2=60（枚），5分的硬幣共25×2=50（枚），即總共有182枚。例2從1、2、……、11、12中至多能選出______個(gè)數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的2倍。（1990年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）講析：1、3、5、7、9、11是奇數(shù)，不可能是任何整數(shù)的2倍。剩下的數(shù)有2、4、6、8、10、12六個(gè)數(shù)，且6是3的2倍，10是5的2倍。如取2，則4、8、12就都不能??；如取4，則2、8不能取，故只可取12；如取8，則2、4不能取，故只可取8。所以至多能選取8個(gè)數(shù)。例3小明的兩個(gè)衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1、2、3、……13。如果從這兩個(gè)口袋中各拿出一張卡片來計(jì)算它們所寫兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積，那么，其中能被6整除的乘積共有______個(gè)。（北京市第九屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：因?yàn)?=2×3，所以能被6整除的因數(shù)中，至少含有一個(gè)2和一個(gè)3。當(dāng)一邊取6，另一邊取1、2、……、13時(shí)均成立，有13個(gè)積；當(dāng)一邊取7、8、9、10、11、12、13，