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文檔簡介
主
復(fù)變函與積分變換導(dǎo)資料題:第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)4—6節(jié)學(xué)習(xí)時(shí):2012年10月22日10月28內(nèi)
容:這周我們將學(xué)習(xí)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)6本在原有的基礎(chǔ)上作簡要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充再引進(jìn)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性等概念,為研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ),其學(xué)習(xí)要求及需要掌握的重點(diǎn)內(nèi)容如下:1了解區(qū)域的概念2理解復(fù)變函數(shù)的概念3知道復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念基本概念:區(qū)域、復(fù)變函數(shù)知識點(diǎn):復(fù)變函數(shù)第四節(jié)區(qū)域(要求達(dá)到“領(lǐng)會”層次)一、平點(diǎn)集的幾個本概念1鄰域設(shè)()是x0y面上的一個點(diǎn)與點(diǎn)P()距離小于(,y)的00全體為點(diǎn)
P
的鄰域?yàn)閁
,即(P,0
{PPP或0(,
x)(x)
yy
。U(P,
的幾何意義是,以為圓心,以為半徑的圓內(nèi)的全體點(diǎn)所組成的集合。
(P
{(,)(x)
y)
為P的去心鄰域,簡稱為點(diǎn)P的去心鄰域。
P0
的幾意義是,以為圓心,為半徑的圓內(nèi)的全體點(diǎn)挖掉P所組成的集合。02區(qū)域點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系:任意一點(diǎn)zR0
2
與任意一個點(diǎn)集G之間必有以下三種關(guān)系中的一種:點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)。/
(1如果存在z的一個鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于,則稱z為G內(nèi)點(diǎn);0(2若點(diǎn)z的某一個鄰域內(nèi)的點(diǎn)都不屬于,則稱點(diǎn)z為G的外點(diǎn);0(3若在點(diǎn)z的任意一個鄰域內(nèi),既有屬于G的點(diǎn),也有不屬于G的點(diǎn),則稱點(diǎn)為G的邊界0點(diǎn),點(diǎn)集G全部邊界點(diǎn)稱為的邊界。3開集:如果點(diǎn)集G點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)G為開集。4連通性:如果點(diǎn)集G內(nèi)任何兩折線連結(jié)起線上的點(diǎn)都屬于G為連通集。5區(qū)域(或開域:連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域閉區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域若存在一個正數(shù)M,使得G內(nèi)的任意一點(diǎn)z都滿足|z則稱G為有界集,否則,稱G為0無界集。二、簡曲線設(shè)(t)x()(t(a),如果(t)zt)和()()都在閉區(qū)間a,b]上連續(xù),則稱點(diǎn){(|ta,b]}為一條連續(xù)曲線。如果[a,b]任意不同兩點(diǎn)t及t,但不同時(shí)[a,b]端點(diǎn)。若z(t)t)點(diǎn)z(t)z(t)稱2121曲線z的重點(diǎn)。若z(t)z(t)上述點(diǎn)集稱為一條簡單連續(xù)曲線,或約當(dāng)曲線若還有z(a)(b)則稱為一條簡單連續(xù)閉曲線,或當(dāng)閉曲線。約當(dāng)定:任意一條約當(dāng)閉曲線把整個復(fù)平面分成兩個沒有公共點(diǎn)的區(qū)域:一個有界的稱為該區(qū)域的內(nèi)部,一個無界的稱為該區(qū)域的外部。他們都是以該閉曲線為邊界。光滑曲:如果(t)zt)和()Imz(t都在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),在a,b]/
上,
x
0則稱集合{t|t[a,b]}為一條光滑曲線;類似地,可以定義分段光滑曲線。定義:有限條光滑曲線連接而成的連續(xù)曲線成為逐段光滑曲線。三、單通區(qū)域與多通區(qū)域定義:設(shè)D為復(fù)平面上的區(qū)域,若在D無論怎樣劃簡單閉曲線,其內(nèi)部仍全含于則稱D為單連通區(qū)域。否則,稱為多連通區(qū)域典型例題:例{z3}為一個圓環(huán)一個多連通有界區(qū)域界為圓z|第五節(jié)復(fù)變函數(shù)(要求達(dá)到“領(lǐng)會”層次)定義:在復(fù)平面上有點(diǎn)集。若對于內(nèi)每一點(diǎn)z,按照某一法則,有確定的復(fù)數(shù)ω與之對應(yīng),則稱這種對應(yīng)關(guān)系是z的復(fù)變函數(shù)記作ω=f(z);稱ω是z在函數(shù)f下的像。若z的一個值對應(yīng)著ω的一個值,則稱f(z)為單值函數(shù);若z一個值對應(yīng)著ω的幾個或無窮多個值,則稱f(z)為多值函數(shù)。典型例題:例、把函數(shù)w()
2
成wx)()的形式解:設(shè)xiy,則wfzx)
2
x
2
y
2
22y因此,y)x2xy2v(,y)xy即wf(x
2
xy
2
)xyy)第六節(jié)復(fù)變函數(shù)的限和連性(要求達(dá)到“識記”層次)一、復(fù)函數(shù)的極限/
y定義:函數(shù)z)在點(diǎn)z的去心鄰域{:y0
}內(nèi)有定義,是一個復(fù)常數(shù)。如果任給
0,總存在正
),對任意z00
有|f(z)A則稱為函數(shù)f(z)當(dāng)z趨于時(shí)的極限,記作:limf(或()(當(dāng)zz)zz定理1:f(z)(x,)(,y),,z,那么limf(z)A的充要條件是00000zzlim(xylimv(,y)。xx定理2:若limf(z),g()B,則zz
z
(1lim[()g()]Bzz
(2f(g(z)ABzz
(3若B,則limz典型例題:
f(z)A(z)B例、求函數(shù)f)當(dāng)z2i時(shí)的極限zi)解:lim2i
z2(i)(zi)ziz(zi)iz(i2i二、復(fù)函數(shù)的連續(xù)定義:f(z)為定義在z的鄰域內(nèi)的函數(shù),若f(z)f()則稱函數(shù)f()點(diǎn)z連續(xù)。0zz定理1函f(z
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