《復(fù)變函數(shù)與積分變換》輔導(dǎo)資料四

主

復(fù)變函與積分變換導(dǎo)資料題：第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)4—6節(jié)學(xué)習(xí)時：2012年10月22日10月28內(nèi)

容：這周我們將學(xué)習(xí)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)6本在原有的基礎(chǔ)上作簡要的復(fù)習(xí)和補充再引進復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性等概念，為研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ)，其學(xué)習(xí)要求及需要掌握的重點內(nèi)容如下：1了解區(qū)域的概念2理解復(fù)變函數(shù)的概念3知道復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念基本概念：區(qū)域、復(fù)變函數(shù)知識點：復(fù)變函數(shù)第四節(jié)區(qū)域（要求達到“領(lǐng)會”層次）一、平點集的幾個本概念1鄰域設(shè)()是x0y面上的一個點與點P()距離小于(,y)的00全體為點

P

的鄰域為U

,即(P,0

{PPP或0(,

x)(x)

yy

。U(P,

的幾何意義是，以為圓心，以為半徑的圓內(nèi)的全體點所組成的集合。

(P

{(,)(x)

y)

為P的去心鄰域，簡稱為點P的去心鄰域。

P0

的幾意義是，以為圓心，為半徑的圓內(nèi)的全體點挖掉P所組成的集合。02區(qū)域點與點集之間的關(guān)系：任意一點zR0

2

與任意一個點集G之間必有以下三種關(guān)系中的一種：點、外點和界點。/

（1如果存在z的一個鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點都屬于，則稱z為G內(nèi)點；0（2若點z的某一個鄰域內(nèi)的點都不屬于，則稱點z為G的外點；0（3若在點z的任意一個鄰域內(nèi)，既有屬于G的點，也有不屬于G的點，則稱點為G的邊界0點，點集G全部邊界點稱為的邊界。3開集：如果點集G點都是內(nèi)點G為開集。4連通性：如果點集G內(nèi)任何兩折線連結(jié)起線上的點都屬于G為連通集。5區(qū)域(或開域：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域閉區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域若存在一個正數(shù)M，使得G內(nèi)的任意一點z都滿足|z則稱G為有界集，否則，稱G為0無界集。二、簡曲線設(shè)(t)x()(t(a)，如果(t)zt)和()()都在閉區(qū)間a,b]上連續(xù)，則稱點{(|ta,b]}為一條連續(xù)曲線。如果[a,b]任意不同兩點t及t，但不同時[a,b]端點。若z(t)t)點z(t)z(t)稱2121曲線z的重點。若z(t)z(t)上述點集稱為一條簡單連續(xù)曲線，或約當(dāng)曲線若還有z(a)(b)則稱為一條簡單連續(xù)閉曲線，或當(dāng)閉曲線。約當(dāng)定：任意一條約當(dāng)閉曲線把整個復(fù)平面分成兩個沒有公共點的區(qū)域：一個有界的稱為該區(qū)域的內(nèi)部，一個無界的稱為該區(qū)域的外部。他們都是以該閉曲線為邊界。光滑曲：如果(t)zt)和()Imz(t都在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，在a,b]/

上，

x

0則稱集合{t|t[a,b]}為一條光滑曲線；類似地，可以定義分段光滑曲線。定義：有限條光滑曲線連接而成的連續(xù)曲線成為逐段光滑曲線。三、單通區(qū)域與多通區(qū)域定義：設(shè)D為復(fù)平面上的區(qū)域，若在D無論怎樣劃簡單閉曲線，其內(nèi)部仍全含于則稱D為單連通區(qū)域。否則，稱為多連通區(qū)域典型例題：例{z3}為一個圓環(huán)一個多連通有界區(qū)域界為圓z|第五節(jié)復(fù)變函數(shù)（要求達到“領(lǐng)會”層次）定義：在復(fù)平面上有點集。若對于內(nèi)每一點z，按照某一法則，有確定的復(fù)數(shù)ω與之對應(yīng)，則稱這種對應(yīng)關(guān)系是z的復(fù)變函數(shù)記作ω=f(z)；稱ω是z在函數(shù)f下的像。若z的一個值對應(yīng)著ω的一個值，則稱f(z)為單值函數(shù)；若z一個值對應(yīng)著ω的幾個或無窮多個值，則稱f(z)為多值函數(shù)。典型例題：例、把函數(shù)w()

2

成wx)()的形式解：設(shè)xiy，則wfzx)

2

x

2

y

2

22y因此，y)x2xy2v(,y)xy即wf(x

2

xy

2

)xyy)第六節(jié)復(fù)變函數(shù)的限和連性（要求達到“識記”層次）一、復(fù)函數(shù)的極限/

y定義：函數(shù)z)在點z的去心鄰域{:y0

}內(nèi)有定義，是一個復(fù)常數(shù)。如果任給

0，總存在正

)，對任意z00

有|f(z)A則稱為函數(shù)f(z)當(dāng)z趨于時的極限，記作：limf(或()(當(dāng)zz)zz定理1：f(z)(x,)(,y)，，z，那么limf(z)A的充要條件是00000zzlim(xylimv(,y)。xx定理2：若limf(z),g()B，則zz

z

（1lim[()g()]Bzz

（2f(g(z)ABzz

（3若B，則limz典型例題：

f(z)A(z)B例、求函數(shù)f)當(dāng)z2i時的極限zi)解：lim2i

z2(i)(zi)ziz(zi)iz(i2i二、復(fù)函數(shù)的連續(xù)定義：f(z)為定義在z的鄰域內(nèi)的函數(shù)，若f(z)f()則稱函數(shù)f()點z連續(xù)。0zz定理1函f(z