《復(fù)變函數(shù)與積分變換》輔導(dǎo)資料四

主

復(fù)變函與積分變換導(dǎo)資料題：第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)4—6節(jié)學(xué)習(xí)時(shí)：2012年10月22日10月28內(nèi)

容：這周我們將學(xué)習(xí)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)6本在原有的基礎(chǔ)上作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充再引進(jìn)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性等概念，為研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ)，其學(xué)習(xí)要求及需要掌握的重點(diǎn)內(nèi)容如下：1了解區(qū)域的概念2理解復(fù)變函數(shù)的概念3知道復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念基本概念：區(qū)域、復(fù)變函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)第四節(jié)區(qū)域（要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次）一、平點(diǎn)集的幾個(gè)本概念1鄰域設(shè)()是x0y面上的一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)P()距離小于(,y)的00全體為點(diǎn)

P

的鄰域?yàn)閁

,即(P,0

{PPP或0(,

x)(x)

yy

。U(P,

的幾何意義是，以為圓心，以為半徑的圓內(nèi)的全體點(diǎn)所組成的集合。

(P

{(,)(x)

y)

為P的去心鄰域，簡(jiǎn)稱為點(diǎn)P的去心鄰域。

P0

的幾意義是，以為圓心，為半徑的圓內(nèi)的全體點(diǎn)挖掉P所組成的集合。02區(qū)域點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系：任意一點(diǎn)zR0

2

與任意一個(gè)點(diǎn)集G之間必有以下三種關(guān)系中的一種：點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)。/

（1如果存在z的一個(gè)鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于，則稱z為G內(nèi)點(diǎn)；0（2若點(diǎn)z的某一個(gè)鄰域內(nèi)的點(diǎn)都不屬于，則稱點(diǎn)z為G的外點(diǎn)；0（3若在點(diǎn)z的任意一個(gè)鄰域內(nèi)，既有屬于G的點(diǎn)，也有不屬于G的點(diǎn)，則稱點(diǎn)為G的邊界0點(diǎn)，點(diǎn)集G全部邊界點(diǎn)稱為的邊界。3開(kāi)集：如果點(diǎn)集G點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)G為開(kāi)集。4連通性：如果點(diǎn)集G內(nèi)任何兩折線連結(jié)起線上的點(diǎn)都屬于G為連通集。5區(qū)域(或開(kāi)域：連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域若存在一個(gè)正數(shù)M，使得G內(nèi)的任意一點(diǎn)z都滿足|z則稱G為有界集，否則，稱G為0無(wú)界集。二、簡(jiǎn)曲線設(shè)(t)x()(t(a)，如果(t)zt)和()()都在閉區(qū)間a,b]上連續(xù)，則稱點(diǎn){(|ta,b]}為一條連續(xù)曲線。如果[a,b]任意不同兩點(diǎn)t及t，但不同時(shí)[a,b]端點(diǎn)。若z(t)t)點(diǎn)z(t)z(t)稱2121曲線z的重點(diǎn)。若z(t)z(t)上述點(diǎn)集稱為一條簡(jiǎn)單連續(xù)曲線，或約當(dāng)曲線若還有z(a)(b)則稱為一條簡(jiǎn)單連續(xù)閉曲線，或當(dāng)閉曲線。約當(dāng)定：任意一條約當(dāng)閉曲線把整個(gè)復(fù)平面分成兩個(gè)沒(méi)有公共點(diǎn)的區(qū)域：一個(gè)有界的稱為該區(qū)域的內(nèi)部，一個(gè)無(wú)界的稱為該區(qū)域的外部。他們都是以該閉曲線為邊界。光滑曲：如果(t)zt)和()Imz(t都在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，在a,b]/

上，

x

0則稱集合{t|t[a,b]}為一條光滑曲線；類似地，可以定義分段光滑曲線。定義：有限條光滑曲線連接而成的連續(xù)曲線成為逐段光滑曲線。三、單通區(qū)域與多通區(qū)域定義：設(shè)D為復(fù)平面上的區(qū)域，若在D無(wú)論怎樣劃簡(jiǎn)單閉曲線，其內(nèi)部仍全含于則稱D為單連通區(qū)域。否則，稱為多連通區(qū)域典型例題：例{z3}為一個(gè)圓環(huán)一個(gè)多連通有界區(qū)域界為圓z|第五節(jié)復(fù)變函數(shù)（要求達(dá)到“領(lǐng)會(huì)”層次）定義：在復(fù)平面上有點(diǎn)集。若對(duì)于內(nèi)每一點(diǎn)z，按照某一法則，有確定的復(fù)數(shù)ω與之對(duì)應(yīng)，則稱這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是z的復(fù)變函數(shù)記作ω=f(z)；稱ω是z在函數(shù)f下的像。若z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著ω的一個(gè)值，則稱f(z)為單值函數(shù)；若z一個(gè)值對(duì)應(yīng)著ω的幾個(gè)或無(wú)窮多個(gè)值，則稱f(z)為多值函數(shù)。典型例題：例、把函數(shù)w()

2

成wx)()的形式解：設(shè)xiy，則wfzx)

2

x

2

y

2

22y因此，y)x2xy2v(,y)xy即wf(x

2

xy

2

)xyy)第六節(jié)復(fù)變函數(shù)的限和連性（要求達(dá)到“識(shí)記”層次）一、復(fù)函數(shù)的極限/

y定義：函數(shù)z)在點(diǎn)z的去心鄰域{:y0

}內(nèi)有定義，是一個(gè)復(fù)常數(shù)。如果任給

0，總存在正

)，對(duì)任意z00

有|f(z)A則稱為函數(shù)f(z)當(dāng)z趨于時(shí)的極限，記作：limf(或()(當(dāng)zz)zz定理1：f(z)(x,)(,y)，，z，那么limf(z)A的充要條件是00000zzlim(xylimv(,y)。xx定理2：若limf(z),g()B，則zz

z

（1lim[()g()]Bzz

（2f(g(z)ABzz

（3若B，則limz典型例題：

f(z)A(z)B例、求函數(shù)f)當(dāng)z2i時(shí)的極限zi)解：lim2i

z2(i)(zi)ziz(zi)iz(i2i二、復(fù)函數(shù)的連續(xù)定義：f(z)為定義在z的鄰域內(nèi)的函數(shù)，若f(z)f()則稱函數(shù)f()點(diǎn)z連續(xù)。0zz定理1函f(z