全國初中數(shù)學(xué)競賽試題

-讓每一個人同等地提高自我全國初中數(shù)學(xué)比賽試題及參照答案一．選擇題（5×7'=35'）1.對正整數(shù)n，記n！=1×2×...n,×則1!+2!+3!+...+10!的末位數(shù)是()．A．0B．1C．3D．5【剖析】n5時，n！的個位數(shù)均為0，只考慮前4個數(shù)的個位數(shù)之和即可，1+2+6+4=13，故式子的個位數(shù)是3.此題選C．2x5x532.已知對于x的不等式組x3tx2

恰巧有5個整數(shù)解，則t的取值范圍是()．A.6t1111C.6t1111B.6tD.6t22222x55x【剖析】332tx20，則5個整數(shù)解是x19,18,17,16,15．x3x2t1432t156t11注意到x15時，只有4個整數(shù)解．因此2，此題選C3.已知對于x的方程xx2a2x恰巧有一個實根，則實數(shù)a的值有()個．x2xx22xA．1B．2C．3D．4【剖析】xx2a2xa2x22x4，下邊先考慮增根：2xx22xx?。┝顇0，則a4，當(dāng)a4時，2x22x0,x11,x20（舍）；ⅱ）令x2，則a8，當(dāng)a8時，2x22x40,x11,x22（舍）；再考慮等根：ⅲ）對2x22x4a0，48(4a)0a7，當(dāng)a7,x1,21.故a4,8,71,1222，x1,共3個.此題選C．221-讓每一個人同等地提高自我4.如圖，已知△ABC的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延伸線上，且BC=4CF，DCFE是平行四邊形，則圖中暗影部分的面積為()．A．3B．4C．5D．6【剖析】設(shè)ABC底邊BC上的高為h，則h48481212BC4CFCFDE，SADESBDE1DEh1DEh1DE(hh)21222121DEh1DE126此題選D．22DE5.在分別標(biāo)有號碼2,3,4,...,10的9個球中，隨機(jī)拿出兩個球，記下它們的標(biāo)號，則較大標(biāo)號被較小標(biāo)號整除的概率是()．1257A.B.C.D.491836C41C211182【剖析】PC9236此題選B．9二．填空題（5×7'=35'）6.設(shè)a33，b是a2的小數(shù)部分，則（b2)3的值為．【剖析】考慮到a33，則a233239，238393273,b392,b239則2)3(39)39（b7.一個質(zhì)地平均的正方體的六個面上分別標(biāo)有數(shù)1、2、3、4、5、6．?dāng)S這個正方體三次，則其向上的面的數(shù)的和為3的倍數(shù)的概率是．【剖析】對第一次向上邊為1時，后邊兩次所得數(shù)字與1的和是3的倍數(shù)有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12種；對于初次擲得向上的面是2，3，4，5，6的，后邊兩次與初次的和為3的倍數(shù)是輪換對稱的，故和為3的倍數(shù)共有126，而總次數(shù)是666次，則其概率為P1261.66632-讓每一個人同等地提高自我8.已知正整數(shù)a、b、c知足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，則abc的最大值為．【剖析】先消去c，再配方估量．6a2ab216b26(a1)2(b8)26611224察看易知上式中a3，故a1,2,3，經(jīng)試算，a1,2時，b均不是整數(shù)；當(dāng)a3時，b5,11，于是有(a,b,c)(3,5,13),(3,11,61)，故abcmax311612013．9.實數(shù)a、b、c、d知足：一元二次方程x2+cx+d=0的兩根為a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的兩根為c、d，則所有知足條件的數(shù)組（a、b、c、d）為．【剖析】由根與系數(shù)關(guān)系知abccda0bd,abd,cdb，而后可得a、b、c、d）=(1,-2,1,-2)此題在化簡過程中，總感覺還有，此處僅給出一組，仿佛不謹(jǐn)慎，期望官方答案．10.小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，園珠筆每支售7元，開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支，當(dāng)日固然沒有所有賣完，可是他的銷售收入恰巧是2013元，則他起碼賣出了支圓珠筆．【剖析】設(shè)4元的賣x支，7元的賣y支，則4x7y2013,xy3504x7y20134x20128yy1x5032yy14令y1ky4k1，則x5032(4k1)k5057k，又xy350，即415057k4k1350k51kNk52，y4k145212073即他起碼賣了207支圓珠筆．三．解答題（4×20'=80'）11．如圖，拋物線y=ax2+bx-3，極點為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OB=OC=3OA．直線y1x1與y軸交于點D，3求∠DBC-∠CBE．【剖析】易知yx22x3(x1)24，A(1,0),B(3,0)，C(0,3)，D(1,4)，作EF⊥C于F，連CE，易知△OBC、△CEF都是等腰直角三角形，則△CBE是直角三角形．分別在Rt△OBD、Rt△BCE中運(yùn)用正切定義，即有3-讓每一個人同等地提高自我OD1，CE21，則3BC323OB進(jìn)而可得∠DBC-∠CBE=45o．12．如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓周上一點，D為線段OB內(nèi)一點(不是端點)，知足CD⊥AB，DE⊥CO，E為垂足，若CE=10，且AD與DB的長均為正整數(shù)，求線段AD的長．【剖析】設(shè)圓O半徑為r，則由相像或三角函數(shù)或射影定理可知，DE2CEOEDE210(r10)，又CD2CE2DE210210(r10)10r由訂交弦定理（考慮垂徑時）或連AC、BC用相像或三角函數(shù)，易知ADBDCD210r①，而ADBD2r②令A(yù)Dx,BDy，①/②即xy10r5yy0yx，xy2rx1，明顯有5則0y1，即0y115y10，y為x5正整數(shù)，故y6,7,8,9，又x也為正整數(shù)，經(jīng)逐個試算，僅當(dāng)y6,x30這一組是正整數(shù)，故AD30.13．設(shè)a、b、c是素數(shù)，記xbca,ycab,zabc，當(dāng)z2y,xy2時，a、b、c可否組成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論．ycabz2y2118a【剖析】yz2azz2a0zzabc24-讓每一個人同等地提高自我a、b、c是素數(shù)，則abcz為整數(shù)，則18a2k1，k為正整數(shù)．化簡整理后，有k(k1)2ak1,k12a112a1(非質(zhì)數(shù)）k2,k1a213z118aa3z3,22ⅰ)z3,y9,x92x25,xz2bb11,b17,ab3172017c不可以圍成三角形;ⅱ)z2,y4,x16,b9是合數(shù)綜上所述，以a、b、c不可以圍成三角形．14．假如將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左邊，所獲得的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（比如，把86放在415的左邊，獲得的數(shù)86415能被7整除，因此稱86為415的魔術(shù)數(shù))．求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不同樣的正整數(shù)a1，a2，．．．，an，知足對隨意一個正整數(shù)m，在a1，a2，．．．，an中都起碼有一個為m的“魔術(shù)數(shù)”．【剖析】考慮到魔術(shù)數(shù)均為7的倍數(shù)，又a1，a2，．．．，an互不相等，不如設(shè)a1a2...an，余數(shù)必為1、2、3、4、5、6，0，設(shè)ai7kit，（i1,2,3,...,n;t0,1,2,3,4,5,6），起碼有一個為m的“魔術(shù)數(shù)”．由