2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)同步精講（北師大版）1.1菱形的性質(zhì)與判定分層講義

1.1菱形的性質(zhì)與判定

分層訓(xùn)練提分要義

【基礎(chǔ)題】

1.下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊

C.菱形的對(duì)角線互相垂直D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

【答案】D；

2.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)邊相等B.對(duì)角相等

C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線互相垂直

【答案】D

【解析】?.?菱形具有的性質(zhì)：對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直；

平行四邊形具有的性質(zhì)：對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分；

.,?菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是：對(duì)角線互相垂直.

故選D.

3.下列命題中，正確的是（）

A.兩鄰邊相等的四邊形是菱形

B.一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形是菱形

C.對(duì)角線垂直且一組鄰邊相等的四邊形是菱形

D.對(duì)角線垂直的四邊形是菱形

【答案】B；

4.菱形的周長(zhǎng)為高的8倍，則它的一組鄰角是（）

A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°

【答案】A；

【解析】由題意可知邊長(zhǎng)是高的2倍，所以一個(gè)內(nèi)角為30°,另一個(gè)內(nèi)角為150。.

5.已知菱形的周長(zhǎng)為40c7〃，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度比為3:4,那么兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為（）

A.6cm,8cmB.3cm,4cmC.12cm,16c〃？I）.24cm,32cm

【答案】C；【解析】設(shè)兩條對(duì)角線的長(zhǎng)為6A,8%.所以有（3%丫+（4左丫=102,.?.左=2,

所以兩條對(duì)角線的長(zhǎng)為12,16.

6.如圖,在菱形ABCD中，NADC=72°,AD的垂直平分線交對(duì)角線BD于點(diǎn)P,垂足為E,

連接CP,則NCPB的度數(shù)是（)

B.72°C.90°D.100°

【答案】B；

【解析】連接PA,如圖所示:

?.?四邊形ABCD是菱形,

ZAI)P=ZCDP=-ZA1)C=36°,BD所在直線是菱形的對(duì)稱軸,

2

；.PA=PC,

VAD的垂直平分線交對(duì)角線BD于點(diǎn)P,

，PA=PD,

.-.PD=PC,

AZPCD=ZCDP=36°,

AZCPB=ZPCD+ZCDP=72°；

故選：B.

7.如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，連接。E,則下列

結(jié)論中不一定正確的是（)

AB=ADB.OE=-ABC.ZDOE=ZDEO

2

D.ZEOD=ZEDO

【答案】c

【分析】

由菱形的性質(zhì)可得AB=AD=CD,AC±BD,由直角三角形的性質(zhì)可得OE=DE=CE=gcD=gAB,

即可求解.

【解析】

解：；四邊形ABCD是菱形，

；.AB=AD=CD,AC±BD,故選項(xiàng)A不合題意，

?.?點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

.,.OE=DE=CE=yCD=^AB,故選項(xiàng)B不合題意；

.,.ZEOD=ZEDO,故選項(xiàng)D不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，如果EF=2,那么菱形ABCD的周長(zhǎng)

是()

A

A,4B,8

C.12D.16

【答案】D；

【解析】BC=2EF=4,周長(zhǎng)等于4BC=16.

8.已知菱形的周長(zhǎng)為40c7〃，兩個(gè)相鄰角度數(shù)之比為1：2,則較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)為cm.

【答案】10A/3；

【解析】由題意，菱形相鄰內(nèi)角為60°和120°,較長(zhǎng)對(duì)角線為2,1。2—52=106.

9.已知菱形的邊長(zhǎng)為3,較短的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為2,則該菱形較長(zhǎng)的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為

()

A.2圾B.275C.472D.2^/10

【答案】C.

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由菱形的性質(zhì)，求得OA=1,AC±BD,然后山勾股定

理求得0B的長(zhǎng)，繼而求得答案.

【解答】解：如圖，

?.?四邊形ABCD是菱形，

.?.OA=OC=1.AC=1,OB=OD,AC±BD,

2

OB=VAB2-OA2=V32-12=2^2'

.*.BD=20B=4&；

故選：c.

R10.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,過點(diǎn)A作AHJ_BC于

點(diǎn)H,已知B0=4,S菱形AIO=24,則AH=.

A

【答案】24

5

【分析】根據(jù)菱形面積=對(duì)角線積的一半可求AC,再根據(jù)勾股定理求出BC,然后由菱形的

面積即可得出結(jié)果.

【解答】解：..?四邊形ABCD是菱形，

.'.B0=D0=4,A0=C0,AC±BD,

BD=8,*/S逑形ABCD=l.ACXBD=24,

；.AC=6,

；.0C=LC=3,

2

,',BC=VOB2+OC2=5,

,*'S菱形ABCH=BCXAH=24,

，AH=絲：

5

故答案為：24.

5

【中檔題】

11.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在AB,CD上，且BE=2AE,DF=2CF,點(diǎn)G,H分

別是AC的三等分點(diǎn)，則S四邊形EHFG+S箜形ABCD的值為（）

【答案】A

【分析】

由題意可證EG〃BC,EG=2,HF//AD,HF=2,可得四邊形EHFG為平行四邊形，即可求解.

【解析】

解：VBE=2AE,DF=2FC,

.AECF_1

"BC"2J~DF~2

???G、H分別是AC的三等分點(diǎn)，

?任_!CH_1?AE_AG

**GC-2*~AH~2r^~BE~~GC'

：.EG//BC

.EGAE1

??一——，

BCAB3

HF1

同理可得HF〃AD,—

AD3

.S『q邊形由FG1-1_1

,?q339'

。菱形ABCDJy

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，由題意可證EG〃BC,HF〃AD是本題的關(guān)鍵.

12.如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC與相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在2D上，連接AE,CE,

ZABC=60°,NBCE=15°,ED=2+2y/3,則/1￡>=()

【答案】A

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件，可得是等邊三角形，可得OB=@BC,進(jìn)而根據(jù)

2

NBCE=15°,可得NECO=45°,進(jìn)而可得0c=0E,根據(jù)Q￡=OE+OD,a=2+2后,

AD=BC,即可求得AD.

【解析】

???四邊形A8co是菱形，

ACYBD,AO=OC,BO=0D,AB=BC,

???ZABC=60°,

,行

，△ABC是等邊三角形，ZACBZBAC=60°,OC=-BC,0B=BC-sinZACB=—BC,

22

■：/BCE=15°,

ZECO=ZACB=60°-15°=45°,

AC±BD,

:.ZCEO=45°,

OC=OE,

?/DE=OE+OD=OE+OB=2+2>/3,

EP-BC+—BC=2+2>/3,

22

5c=4,

...AD=BC=4.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解宜角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，

綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在菱形A8CO中，ZA=60°,G為AO中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，F(xiàn)、H分別為

CE、GE中點(diǎn)，ZEHF=ZDGE,CF=y/l,則A3=

【答案】4

【分析】

連接CG,過點(diǎn)C作CM1AD,交AD的延長(zhǎng)線于M,利用平行線的性質(zhì)和三角形中位線定

理可得CG=2HF=25，由AB//CD,得NCDM=NA=60。，設(shè)DM=x,則CD=2x,CM=gx,

在RtACMG中，借助勾股定理得CG=\lGM2+CM2=3x=2萬，即可求出x的值，從而

解決問題.

【解析】

如圖，連接CG,過點(diǎn)C作CM1AD,交AD的延長(zhǎng)線于M,

???F、H分別為CE、GE中點(diǎn),

FH是ACEG的中位線,

.■?HF=1CG,

???四邊形ABCD是菱形，

AD//BC,AB//CD,

ZDGE=ZE,

ZEHF=ZDGE,

ZE=ZEHF,

.-.HF=EF=CF,

CG=2HF=2萬，

AAB//CD,

ZCDM=NA=60°,

設(shè)DM=x,則CD=2x,CM=^x,

,??點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，

DG=x,GM=2x,

在RtACMG中，由勾股定理得：

CG=JGM+CM，=/ix=2幣,

x=2,

?.AB二CD=2x=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理等知識(shí)，有一定綜合性，作輔

助線，構(gòu)造直角三角形，利用方程思想是解題的關(guān)鍵.14.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,

延長(zhǎng)DA,BC,使得AE=CF,連接BE,DF.

(1)求證：

(2)連接BD,Nl=30。，Z2=20°,當(dāng)/ABE=。時(shí)，四邊形BFDE是菱形.

四邊形BFDE是菱形

【分析】

(1)根據(jù)平行四邊形的性子和"SAS"可證4ABE絲△CDF；

(2)先證明四邊形BFDE是平行四邊形，再通過證明BE=DE,可得結(jié)論.

【解析】

解：(1)證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB=CD,ZBAD=ZBCD,

AZ1=ZDCF,

在AABE和ACDF中,

AE=CF

-Z1=ZDCF,

AB=CD

.,.△ABE^ACDF(SAS)；

(2)當(dāng)NABE=：LO°時(shí)，四邊形BFDE是菱形,

理由如下：VAABE^ACDF,

；.BE=DF,AE=CF,

；.BF=DE,

四邊形BFDE是平行四邊形，

VZ1=3O°,Z2=20",

.,.ZABD=Z1-Z2=1O",

/DBE=20°,

，NDBE=NEDB=20°,

；.BE=DE,.,.平行四邊形BFDE是菱形,

故答案為10.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的

判定是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在中，G為BC邊上一點(diǎn)，DG=DC,延長(zhǎng)DG交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過

點(diǎn)A作AF〃“交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：四邊形AEDF是菱形.

【答案】見解析

先證四邊形AEDF是平行四邊形，再證/BAZANADE,則即可得出結(jié)論.

【解析】

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

：.ZBAD=ZC,AD//BC,ABHCD、

-AF//ED,

???四邊形AEDF是平行四邊形,

\-ADHBCy

...ADGC=ZADE,

?：DG=DC,

：,/DGC=/C,

:.ZBAD=ZADEf

AE=DE,

二平行四邊形AEDF是菱形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，菱形的判定定理，熟練掌握以上幾何性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.16.已知：如圖，在。ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且BE平分NABC,EF

〃AB.求證：四邊形ABFE是菱形.

【分析】

先證四邊形ABFE是平行四邊形，山平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證AB=AE,依據(jù)有一組

鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

【解析】

證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,

又；EF〃AB,

四邊形ABFE是平行四邊形，

；BE平分NABC,

AZABE=ZFBE,

；AD〃BC,

AZAEB=ZEBF,

ZABE=ZAEB,

；.AB=AE,

平行四邊形ABFE是菱形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、菱形的判定，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)

知識(shí)進(jìn)行推理證明，特別注意角平分線加平行，可證等腰三角形.

【綜合題】

17.如圖所示，是一種長(zhǎng)0.3加，寬0.2〃?的矩形瓷磚，E、F、G、H分別為矩形四邊BC、CD、

DA、AB的中點(diǎn)，陰影部分為淡黃色花紋，中間部分為白色，現(xiàn)有一面長(zhǎng)4.2m,寬2.8加

的墻壁準(zhǔn)備貼如圖所示規(guī)格的瓷磚.試問：(1)這面墻最少要貼這種瓷磚多少塊？

(2)全部貼滿后，這面墻壁會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)面積相同的菱形？

【解析】解：墻壁長(zhǎng)4.2加，寬2.8m,矩形瓷磚長(zhǎng)0.3m，寬0.2m,

4.2+0.3=14,2.8+0.2=14,則可知矩形驍磚橫排14塊，豎排14塊可毫無空隙地貼滿墻

面.

(1)則至少需要這種瓷磚14X14=196(塊).

(2)每塊瓷磚中間有一個(gè)白色菱形，則共有196個(gè)白色的菱形，它的面積等于瓷磚面積的一

半.另外在同一個(gè)頂點(diǎn)處的瓷磚能夠拼成一個(gè)淡黃色花紋的菱形，它的面積也等于瓷嵇面積

的一半，有花紋的菱形橫排有13個(gè)，豎排也有13個(gè)，則一共有淡黃色花紋菱形13X13=

169個(gè)，面積相等的菱形一共有196+169=365(個(gè)).

【總結(jié)】菱形可以看作是由直角三角形組成的，因而鋪滿墻面后，要計(jì)算空白菱形的個(gè)數(shù)和

陰影菱形的個(gè)數(shù).將相同的圖形拼在一起，在頂點(diǎn)周圍的幾個(gè)圖形也能拼成一定的圖案，不

要忽略周圍圖形的拼接.

18.如圖所示，菱