非線性回歸模型的線性化經(jīng)濟(jì)

非線性回歸模型的線性化經(jīng)濟(jì)第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日2023/2/211在這樣一些非線性關(guān)系中，有些可以通過代數(shù)變換變?yōu)榫€性關(guān)系處理，另一些則不能。下面我們通過一些例子來討論這個問題。2023/2/212第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日線性模型的含義線性模型的基本形式是:

線性模型的線性包含兩重含義：（1）變量的線性變量以其原型出現(xiàn)在模型之中，而不是以或之類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中。（2）參數(shù)的線性因變量Y是各參數(shù)βi的線性函數(shù)。這種模型稱為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型．3第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日非線性回歸模型的分類：1雖然被解釋變量Y與解釋變量之間不存在線性關(guān)系，但與未知參數(shù)之間存在著線性關(guān)系，這種類型的非線性回歸模型被稱為非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型。

其一般形式為：其中是關(guān)于的p個已知的非線性函數(shù)，是（p+1）個未知參數(shù)．

4第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日2雖然被解釋變量Y與解釋變量和未知參數(shù)之間不存在線性關(guān)系，但是可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型，這種類型的非線性回歸模型稱為可線性化的非線性回歸模型．如柯布－道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)模型：

3如果被解釋變量Y與解釋變量和未知參數(shù)之間都不存在線性關(guān)系，而且也不能通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型，這種類型的非線性回歸模型稱為不可線性化的非線性回歸模型．5第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日4.2線性化方法1、非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的線性化方法非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的線性化方法是變量替換法。

非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的一般形式為：2023/2/216第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日1、非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的線性化方法非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的線性化方法是變量替換法。

非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的一般形式為：

＋u令則可以把原模型轉(zhuǎn)化為一個標(biāo)準(zhǔn)的多元線性回歸模型7第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日下面介紹在經(jīng)濟(jì)問題時經(jīng)常遇到的幾種非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型（1）多項式函數(shù)模型多項式函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型

8第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日例：

Yt=b0+b1Xt+b2Xt2+b3Xt3+ut

令X1t=Xt，X2t=Xt2，X3t=Xt3，上式變?yōu)?/p>

Yt=b0+b1X1t+b2X2t+b3X3t+ut

這是一個三元線性回歸模型。如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量曲線與左圖相似。(b1>0,b2>0,b3>0)

(b1<0,b2>0,b3<0)第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日例4.1：總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量的關(guān)系（課本91頁例4.1）yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut

第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日例4.1：總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量的關(guān)系（課本91頁）Ｃ＾t=2434.7+85.7

Xt-0.028Xt2+0.00004Xt3

(1.8)(12.0)(-2.8)(9.6)R2=0.9998,N=15第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日(b1>0,b2>0)

(b1<0,b2<0另一種多項式方程的表達(dá)形式是Yt=b0+b1Xt+b2Xt2+ut

令X1t=Xt，X2t=Xt2，上式線性化為，Yt=b0+b1X1t+b2X2t+ut

如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本曲線、平均成本曲線與左圖相似。第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日（2）雙曲函數(shù)模型雙曲函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型雙曲線函數(shù)還有另一種表達(dá)方式:Yt=a+b(1/Xt)+ut

令xt*=1/xt，得

Yt=a+bXt*+ut

上式已變換成線性回歸模型。1/yt=a+b/xt

+ut

yt=a+b/xt+ut

13第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日yt=1/(a+b/xt+ut)思考：下面的模型是屬于哪類，如何化為線性模型？第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日案例2：煉鋼廠鋼包容積Y與鋼包使用次數(shù)X的關(guān)系（file:5nonli7）建立線性模型并估計建立對數(shù)模型并估計y^=7.85+0.27xy^=6.16+1.83Lnx(19.6)(5.7)(16.0)(10.1)

R2=0.71,N=15R2=0.89,N=15第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日案例2：煉鋼廠鋼包容積Y與鋼包使用次數(shù)X的關(guān)系（file:5nonli7）建立雙倒數(shù)模型估計，1/y=0.081+0.1339(1/x)(42.1)(14.1)R2=0.94,

N=15雙倒數(shù)模型的估計結(jié)果最好。第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日（3）對數(shù)函數(shù)模型(雙對數(shù)和半對數(shù))半對數(shù)函數(shù)模型的一般形式為：Y=b0+b1lnx+u令x*=lnx則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型Y=b0+b1x*+u

yt=a+bLnxt+ut,(b>0)yt=a+bLnxt+ut,(b<0)17第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日雙對數(shù)模型的一般形式為:lnY=b0+b1lnx+u令Y*=lnY,X*=lnX得到標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型:Y*=b0+b1x*+u這個模型中解釋變量的系數(shù)就是彈性.雙對數(shù)模型也可擴展到多元雙對數(shù)模型.對于多元雙對數(shù)模型,bi稱為偏彈性.它度量了在其他變量保持不變的條件下,解釋變量Xi對被解釋變量Y的彈性影響.第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日（4）S-型曲線模型S-性曲線模型的一般形式為：首先對上式做倒數(shù)變換得：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型19第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日2可線性化的非線性回歸模型的線性化方法

下面幾種在研究經(jīng)濟(jì)問題時經(jīng)常遇到的可線性化的非線性回歸模型（1）指數(shù)函數(shù)模型

第二十頁，共二十四頁，2022年，8月28日指數(shù)函數(shù)模型的一般形式為對上式兩邊取對數(shù)得到令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型；2023/2/2121第二十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日（2）冪函數(shù)模型（全對數(shù)模型）冪函數(shù)模型的一般形式為：對上式兩邊取對數(shù)得到：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型：2023/2/2122第二十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日對于柯布-道格拉斯（C-D）生產(chǎn)函數(shù)模型其中，Y表示產(chǎn)出量，K表示資金投入量，L表示勞動投入量，u是隨機誤差項，A、和為未知參數(shù)。試?yán)锰旖蚴?980年~1996年的有關(guān)統(tǒng)計資料，估計天津市全社會的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型。