新教材人教b版必修第一冊(cè)1.1.1第一課時(shí)集合的含義學(xué)案

1．1集合1．集合及其表示方法新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.通過實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系數(shù)學(xué)抽象2.針對(duì)具體問題，能在自然語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫集合數(shù)學(xué)抽象、直觀想象3.在具體情景中，了解空集的含義數(shù)學(xué)抽象第一課時(shí)集合的含義9月1日下午，學(xué)校通知：全體高一學(xué)生3點(diǎn)鐘開始在班級(jí)進(jìn)行開學(xué)教育，之后偶數(shù)班去一樓大廳領(lǐng)取數(shù)學(xué)教輔書．[問題](1)這個(gè)通知的對(duì)象有哪些？(2)這些對(duì)象能構(gòu)成一個(gè)集合嗎？知識(shí)點(diǎn)一元素與集合的概念1．集合與元素2．集合相等：給定兩個(gè)集合A和B，如果組成它們的元素完全相同，就稱這兩個(gè)集合相等，記作A＝B.3．集合元素的特性eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(確定性：集合的元素必須是確定的；,互異性：集合中元素一定是不同的；,無序性：集合中的元素可以任意排列.))1．集合中的元素只能是數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式嗎？提示：集合中的元素可以是數(shù)學(xué)中的數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式，也可以是現(xiàn)實(shí)生活中的各種各樣的事物或人等．2．某班所有的高個(gè)子男生能否構(gòu)成一個(gè)集合？提示：某班所有的高個(gè)子男生不能構(gòu)成集合，因?yàn)楦邆€(gè)子男生沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)．3．某班身高高于175厘米的男生能否構(gòu)成一個(gè)集合？提示：某班身高高于175厘米的男生能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)確定．1．用“book”中的字母構(gòu)成的集合中元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C由集合中元素的互異性可知，該集合中共有“b”“o”“k”三個(gè)元素．2．方程x2－1＝0與方程x＋1＝0所有解組成的集合中共有________個(gè)元素．解析：由x2－1＝0，得x＝±1；由x＋1＝0，得x＝－1，故集合中只有2個(gè)元素1和－1.答案：2知識(shí)點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系關(guān)系語(yǔ)言描述記法讀法屬于a是集合A中的元素a∈Aa屬于A不屬于a不是集合A中的元素a?Aa不屬于A1．元素與集合之間有第三種關(guān)系嗎？提示：對(duì)于一個(gè)元素a與一個(gè)集合A而言，只有“a∈A”與“a?A”這兩種結(jié)果．2．符號(hào)“∈”“?”的左邊可以是集合嗎？提示：∈和?具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，所以左邊不可以是集合．已知集合A中含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，若－3∈A，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，則aA中含有兩個(gè)元素－3，－1，符合題意；若－3＝2a－1，則a＝－1，此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素－4，－3，符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為0或－1.答案：0或－1知識(shí)點(diǎn)三空集、常用數(shù)集、集合的分類1．空集(1)定義：不含任何元素的集合；(2)符號(hào)：?．2．常用的數(shù)集及其記法常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N＋ZQR3．集合的分類(1)集合eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有限集：含有有限個(gè)元素的集合；,無限集：含有無限個(gè)元素的集合.))(2)空集是有限集．eq\a\vs4\al()N與N*的區(qū)別N中的元素是從0開始非負(fù)整數(shù)，N*中的元素是從1開始的正整數(shù)．1．下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是_______(填序號(hào))．①0∈N；②π∈Q；③eq\r(2)∈Q；④－1∈Z；⑤eq\r(2)?R.解析：N表示自然數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，Z表示整數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集，故0∈N，π?Q，eq\r(2)?Q，－1∈Z，eq\r(2)∈R.答案：①④2．下列集合中________是有限集，________是無限集(填序號(hào))．①由小于8的正奇數(shù)組成的集合；②由大于5且小于20的實(shí)數(shù)組成的集合；③由小于0的自然數(shù)組成的集合．解析：①因?yàn)樾∮?的正奇數(shù)為1，3，5，7，所以其組成的集合是有限集．②因?yàn)榇笥?且小于20的實(shí)數(shù)有無數(shù)個(gè)，所以其組成的集合是無限集．③因?yàn)樾∮?的自然數(shù)不存在，所以其組成的集合是空集，含有0個(gè)元素，所以其組成的集合是有限集．答案：①③②集合的相關(guān)概念[例1]2021年9月，我們踏入了心儀的高中校園，找到了自己的班級(jí)．則下列對(duì)象能組成一個(gè)集合的是哪些？并說明你的理由．(1)你所在班級(jí)中全體同學(xué)；(2)班級(jí)中比較高的同學(xué)；(3)班級(jí)中身高超過178cm的同學(xué)；(4)班級(jí)中比較胖的同學(xué)；(5)班級(jí)中體重超過75kg的同學(xué)；(6)學(xué)習(xí)成績(jī)比較好的同學(xué)；(7)總分前五名的同學(xué)．[解](1)班級(jí)中全體同學(xué)是確定的，所以可以組成一個(gè)集合．(2)因?yàn)椤氨容^高”無法衡量，所以對(duì)象不確定，所以不能組成一個(gè)集合．(3)因?yàn)椤吧砀叱^178cm”是確定的，所以可以組成一個(gè)集合．(4)因?yàn)椤氨容^胖”無法衡量，所以對(duì)象不確定，所以不能組成一個(gè)集合．(5)因?yàn)椤绑w重超過75kg”是確定的，可以組成一個(gè)集合．(6)因?yàn)椤皩W(xué)習(xí)成績(jī)比較好”無法衡量，所以對(duì)象不確定，所以不能組成一個(gè)集合．(7)因?yàn)椤翱偡智拔迕笔谴_定的，可以組成一個(gè)集合．eq\a\vs4\al()判斷一組對(duì)象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)判斷一組對(duì)象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對(duì)象是否滿足確定性，如果此組對(duì)象滿足確定性，就可以組成集合，否則，不能組成集合．同時(shí)還要注意集合中元素的互異性、無序性．[跟蹤訓(xùn)練]1．(多選)下列說法正確的是()A．中國(guó)的所有直轄市可以組成一個(gè)集合B．高一(1)班較胖的同學(xué)可以組成一個(gè)集合C．正偶數(shù)的全體可以組成一個(gè)集合D．大于2015且小于2020的所有整數(shù)不能組成集合解析：選ACB中由于“較胖”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合元素的確定性，所以B錯(cuò)誤；D中的所有整數(shù)能組成集合，所以D錯(cuò)誤．2．中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽(ChinaBasketballAssociation)，簡(jiǎn)稱中職籃(CBA)，是由中國(guó)籃球協(xié)會(huì)所主辦的跨年度主客場(chǎng)制籃球聯(lián)賽，是中國(guó)最高等級(jí)的籃球聯(lián)賽．據(jù)此，下列對(duì)象能組成一個(gè)集合的是哪些？并說明你的理由．(1)2020～2021賽季，CBA的所有球隊(duì)；(2)CBA中比較著名的隊(duì)員；(3)CBA中得分前五位的球員；(4)CBA中比較高的球員．解：(1)CBA的所有球隊(duì)是確定的，所以可以組成一個(gè)集合．(2)“比較著名”沒有衡量的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)象不確定，所以不能組成一個(gè)集合．(3)“得分前五位”是確定的，可以組成一個(gè)集合．(4)“比較高”沒有衡量的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)象不確定，所以不能組成一個(gè)集合.元素與集合的關(guān)系[例2](1)(多選)下列關(guān)系中，正確的是()A.eq\f(1,2)∈R B.eq\r(5)?QC．|－3|∈N D．0∈?(2)若集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．[解析](1)eq\f(1,2)是實(shí)數(shù)，eq\r(5)是無理數(shù)，|－3|＝3是自然數(shù)，空集中沒有元素．因此，A、B、C正確，D錯(cuò)誤．(2)由題意可得：3－x可以為1，2，3，6，且x為自然數(shù)，因此x的值為2，1，0.因此A中元素有2，1，0.[答案](1)ABC(2)2，1，0eq\a\vs4\al()1．判斷元素與集合關(guān)系的2種方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可；(2)推理法：對(duì)于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．2．已知元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的思路當(dāng)a∈A時(shí)，則a一定等于集合A中的某個(gè)元素．反之，當(dāng)a?A時(shí)，結(jié)論恰恰相反．利用上述結(jié)論建立方程(組)或不等式(組)求解參數(shù)即可，注意根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)求得的參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)．[跟蹤訓(xùn)練]1．用∈，?填空：已知集合A中的元素x是被3除余2的整數(shù)，則有：17________A；－5________A.解析：由題意可設(shè)x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.令3k＋2＝－5得，k＝－eq\f(7,3)?Z.所以－5?A.答案：∈?2．已知集合A中有四個(gè)元素0，1，2，3，集合B中有三個(gè)元素0，1，2，且元素a∈A，a?B，則a的值為________．解析：∵a∈A，a?B，∴由元素與集合之間的關(guān)系知，a＝3.答案：3集合中元素的特性及應(yīng)用[例3](鏈接教科書第9頁(yè)練習(xí)B組4題)已知集合A含有兩個(gè)元素a和a2，若1∈A，則實(shí)數(shù)a的值為________．[解析]若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝±1.當(dāng)a＝1時(shí)，集合A有重復(fù)元素，不符合元素的互異性，∴a≠1；當(dāng)a＝－1時(shí)，集合A含有兩個(gè)元素1，－1，符合元素的互異性．∴a＝－1.[答案]－1[母題探究]1．(變條件)本例若將條件“1∈A”改為“2∈A”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)a的值．解：因?yàn)?∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝eq\r(2)或a＝－eq\r(2).2．(變條件)本例若去掉條件“1∈A”，其他條件不變，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？解：因?yàn)锳中有兩個(gè)元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.eq\a\vs4\al()根據(jù)集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的3個(gè)步驟[跟蹤訓(xùn)練]1．若集合M中的三個(gè)元素是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC一定不是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形解析：選D由集合中元素的互異性可知，集合中的任何兩個(gè)元素都不相同，故選D.2．已知集合A含有兩個(gè)元素1和a2，若“a∈A”，求實(shí)數(shù)a的值．解：由a∈A可知，當(dāng)a＝1時(shí)，此時(shí)a2＝1，與集合元素的互異性矛盾，所以a≠1.當(dāng)a＝a2時(shí)，a＝0，或a＝1(舍去)．綜上可知，a＝0.1．下列說法正確的是()A．某班中年齡較小的同學(xué)能夠組成一個(gè)集合B．由1，2，3和eq\r(9)，1，eq\r(4)組成的集合不相等C．不超過20的非負(fù)數(shù)組成一個(gè)集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解組成的集合中有3個(gè)元素解析：選CA項(xiàng)中元素不確定．B項(xiàng)中兩個(gè)集合元素相同，因?yàn)榧现械脑鼐哂袩o序性，所以兩個(gè)集合相等．D項(xiàng)中方程的解分別是x1＝1，x2＝x3，構(gòu)成的集合含2個(gè)元素．2．(多選)下列給出的對(duì)象構(gòu)成的集合是有限集的是()A．方程x2－6x－16＝0的根B．大于0且小于5的實(shí)數(shù)C．小于22的質(zhì)數(shù)D．倒數(shù)等于它本身的實(shí)數(shù)解析：選ACD方程x2－6x－16＝0的根為－2，8；大于0且小于5的實(shí)數(shù)有無窮多個(gè)；小于22的質(zhì)數(shù)為2，3，5，7，11，13，17，19；倒數(shù)等于它本身的實(shí)數(shù)為±1，故它們構(gòu)成的集合均為有限集．故選A、C、D.3．(多選)下列集合是空集的是()A．集合A中元素是x＞8且x＜5的實(shí)數(shù)B．集合B中的元素是方程x2＋1＝0在R內(nèi)的根C．集合C中只有一個(gè)元素0D．集合D中有0個(gè)元素解析：選ABDC中有1個(gè)元素，其它集合不含有元素．4．用符號(hào)“∈”和“?”填空．(1)設(shè)集合A是正整數(shù)的集合，則0________A，eq\r(2)________A，(－1)0________A；(2)設(shè)集合C是由滿足x＝n2＋1(其中n為正整數(shù))的實(shí)數(shù)x組成的，則3________C，5________C；(3)設(shè)集合D是由滿足y＝x2的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)組成的，則－1________D，(－1，1)________D；(4)設(shè)集合M由可表示為a＋eq\r(2)b(a∈Z，b∈Z)的實(shí)數(shù)構(gòu)成，則0________M，eq\f(1,\r(2)－1)________M，eq\f(1,\r(3)－\r(2))________M.解析：(1)0不是正整數(shù)，eq\r(2)不是正整數(shù)，(－1)0＝1是正整數(shù)；(2)若n2＋1＝3，則n2＝2，因?yàn)閚是正整數(shù)，所以n2＋1的值不可能是3，故3?C，當(dāng)n＝2時(shí)，x＝5，所以5∈C；(3)－1不是有序?qū)崝?shù)對(duì)，所以－1?D，(－1，1)滿足y＝x2，故(－1，1)∈D；(4)因?yàn)?＝0＋0×eq\