余弦定理 課件

1．1．2余弦定理復(fù)習(xí)正弦定理適用類型1.已知三角形的兩邊及一對角。2.已知兩角及任意一邊。如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.試做下題分析：用正弦定理無法解此三角形對于任意一個三角形來說，是否可以根據(jù)一個角和夾此角的兩邊，求出此角的對邊？即在△ABC中，已知邊a和b，以及角C，求邊c.如果角C是90°，那么可以用勾股定理求c的長.如果角C不是直角，是否可以構(gòu)造直角三角形再來求邊c的長。當(dāng)∠C是銳角時，高AD把△ABC分成兩個直角三角形ADB和ADC，算出c的關(guān)鍵是先算出AD和BD（或DC）。AD=bsinC，BD=a－bcosC當(dāng)∠C是鈍角時，過A做BC的垂線交BC延長線于D。AD=bsinC，BD=a－bcosC

不論∠C是銳角、鈍角還是直角，都有AD=bsinC，

BD=a－bcosC。在RT△ADB中，運(yùn)用勾股定理，得

c2=AD2+BD2=b2sin2C+(a－bcosC)2=a2+b2－2abcosC.同理可得b2=a2+c2－2accosB.a2=b2+c2－2bccosA.余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即用向量來研究這個問題.設(shè)，，，那么，從而余弦定理變式試用類型已知三邊求任意角余弦定理適應(yīng)的類型：1.已知兩邊和夾角，解三角形。2.已知三邊，解三角形。先用余弦定理求出第三邊長，進(jìn)而用余弦定理或正弦定理求出其他兩個角．[例2]

在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求角A、B和邊c的值．[變式訓(xùn)練2]如圖，已知AD為△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的長．分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC長度；由三角形內(nèi)角平分線定理可求出BD長，再解△ABD即可求出AD長．解析：在△ABC中，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋52－2×3×5·cos120°＝49，∴BC＝7，設(shè)BD＝x，則DC＝7－x，由內(nèi)角平分線定理：在△ABD中，設(shè)AD＝y(tǒng)，由余弦定理：BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.[例3]在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，試確定此三角形的形狀．當(dāng)a＝b時，△ABC為等腰三角形；當(dāng)c2＝a2＋b2時，△ABC為直角三角形．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．[變式訓(xùn)練3]

(2010·遼寧卷)在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大??；(2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．例1.如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.解：由余弦定理，得因此例2.如圖，在△ABC中，已知a=3，b=2，c=，求此三角形各個角的大小及其面積。解：由余弦定理得因此∠C=120°，（精確到0.1）再由正弦定理，得因此∠A=36.6°，或∠A=143.6°（不合題意，舍去）因此∠B=180°－(∠A+∠C)=23.4°.設(shè)BC邊上的高為AD，則AD=csinB=sin23.4°≈1.73.所以，△ABC的面積是例3.如圖△ABC的頂點(diǎn)為A(6，5)，B(－2，8)和C(4，1)，求∠A.(精確到0.10)解：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得在△ABC中，由余弦定理得因此∠A≈84.0°.練習(xí)：已知△ABC，求證1.若a2+b2=c2

，則∠C為直角。2.若a2+b2>c2

，則∠C為銳角。3.若a2+b2<c2

，則∠C為鈍角。例4.求證：在△ABC中，證明：由余弦定理，得同理可證，其余兩式。例5.△ABC中，（1）若求∠A；（2）若求最大的內(nèi)角。解：（1）由正弦定理得a2=b2+c2+bc，即b2+c2－a2=－bc，所以故∠A=120°；（2）因?yàn)?，所以∠C為最大角，設(shè)a=(－1)k，b=(+1)k，c=10k，故最大內(nèi)角C為120°.例6.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc·cosBcosC，試判斷三角形的形狀。解：由正弦定理，R為△ABC的外接圓半徑，將原式化為4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B

=8R2sinBsinCcosBcosC，所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC，因?yàn)閟inBsinC≠0，所以sinBsinC=cosBcosC，即cos(B+C)=0，從而∠B+∠C=90°，∠A=90°，故△ABC為直角三角形。解2：將已知等式變形為b2(1－cos2C)+c2(1－cos2B)=2bccosBcosC，由余弦定理得即得，得b2+c2=a2，故△ABC是直角三角形。小結(jié)1.余弦定理2.余弦定理適用類型思考：在解三角形問題中，知道哪些元素便可以通過我們所學(xué)知識解出三角形其他元素？三角形六個元素中除了三個角以外的任意三個元素。作業(yè)：書后8頁練習(xí)A2.、3練習(xí)B1、2例7.在△ABC中，已知a2－a=2(b+c)，a+2b=2c－3；（1）若sinC:sinA=4:，求a，b，c；（2）求△ABC的最大角的弧度數(shù)。解：（1）由可設(shè)c=4k，a=所以即從而或k=1.又因?yàn)闀r，b<0