高中數(shù)學(xué)選擇性必修二 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

課題等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用單元第一單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二

教材《等比數(shù)列》是人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第四章的內(nèi)容。本節(jié)是數(shù)列這一章的一

分析個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，

而且公式推導(dǎo)過程中蘊(yùn)涵的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程思想方法，都是學(xué)生今

后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的函數(shù)，作為重要的數(shù)學(xué)模型，具有承上啟下的作用。數(shù)列的教學(xué)

內(nèi)容及過程為學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展提供生長點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

1數(shù)學(xué)抽象：等比數(shù)列的性質(zhì)

教學(xué)2邏輯推理：等比數(shù)列性質(zhì)的推導(dǎo)

目標(biāo)

3數(shù)學(xué)運(yùn)算：等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用

與

4數(shù)學(xué)建模：應(yīng)用等比數(shù)列解決實(shí)際問題

核心

素養(yǎng)5直觀想象：等比數(shù)列的性質(zhì)及其與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

6數(shù)據(jù)分析：等比數(shù)列的性質(zhì)及推導(dǎo)、運(yùn)用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)判斷以及參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力

重點(diǎn)等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的應(yīng)用

難點(diǎn)等比數(shù)列的運(yùn)算、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課

溫故知新通過與等差數(shù)列

等比數(shù)列等差數(shù)列進(jìn)行對比，發(fā)展

an+l

定義Tqan+l一Q/i=d復(fù)習(xí)導(dǎo)入學(xué)生類比思維能

公比（公力，加強(qiáng)記憶。發(fā)

q不可以是0d可以是0

差）

展學(xué)生數(shù)學(xué)抽

等比（差）等比中項(xiàng)=G2=等差中項(xiàng)=

中項(xiàng)ab2A=a+b象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)

%

學(xué)建模等核心素

=。0一1(n=%+(九一l)d

通項(xiàng)公式

>2)an養(yǎng)。

nm

Qn=amq-.=am+(n—m)d.

性質(zhì)am+an

aman=QpQq

若m+n=p+q=Qp+Qq

問題：

等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的區(qū)別？

提示：

(1)只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號且不為0時(shí)，才有等比中項(xiàng)

(2)兩個(gè)數(shù)a,b的等差中項(xiàng)只有一個(gè)，兩個(gè)同號且

不為0的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè).

講授新課拓展

1兩個(gè)等比數(shù)列合成數(shù)列的性質(zhì)

若數(shù)列｛6｝，｛/｝均為等比數(shù)列，c為不等于0的常

數(shù),則數(shù)列｛caj｛碌｝,5?%｝,｛詈｝也為等比數(shù)列.

例4用10000元購買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年.

(1)若以月利率0.400%的復(fù)利計(jì)息，12個(gè)

月能獲得多少利息(精確到1元)？

(2)若以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度，則當(dāng)

每季度利率為多少時(shí)，按季結(jié)算的利

息不少于按月結(jié)算的利息(精確到

10-5)?

運(yùn)用等比數(shù)列的

分析：復(fù)利是把前一期的利息與本金之和算作

知識解決實(shí)際問

本金，再計(jì)算下一期的利息，所以若原始本金為。

題，發(fā)展學(xué)生邏

元，每期的利率為r,則從第一期開始，各期的本利

輯推理、數(shù)學(xué)抽

和a,a(l+r),a(l+「尸，...構(gòu)成等比數(shù)列.

象、數(shù)學(xué)建模等

解：(1)設(shè)這筆錢存n個(gè)月以后的本利和組成

核心素養(yǎng)。

一個(gè)數(shù)列｛即｝，則｛即｝是等比數(shù)列，

首項(xiàng)由=104(1+0.400%),

公比q=l+0.400%,所以

412

a12=10(1+0.400%)x10490.7

所以，

12個(gè)月后的利息為10490.7-104*491(元)

(2)設(shè)季度利率為r,這筆錢存n個(gè)季度以后

的本金和組成一個(gè)數(shù)列｛%｝,則｛勾｝也是一個(gè)等比

數(shù)列，首項(xiàng)瓦=10線1+功，公比為1+r,于是

44

i>4=10(1+r)

因此，以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度后的利息

為+l)4一10勺元.

解不等式1。4(1+74-IO”2491,得

r>1.206%

所以，當(dāng)季度利率不小于1.206%時(shí)，按季結(jié)算

的利息不少于按月結(jié)算的利息.

例5已知數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)%=3.

(1)若｛即｝為等差數(shù)列，公差d=2,證明數(shù)列

｛3%｝為等比數(shù)列；

(2)若｛即｝等比數(shù)列，公比為q=l.證明數(shù)

歹”｛log3%｝為等差數(shù)列.

例題鞏固

分析：根據(jù)題意，需要從等差數(shù)列、等比數(shù)列

加深對等比、等

的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對數(shù)的知識進(jìn)行證明.

差數(shù)列概念的理

證明：(1)由的=3,d=2,得｛Q九｝的通項(xiàng)公式

解，體會(huì)等差與

為an=2幾+1.

等比數(shù)列的內(nèi)在

設(shè)%=3而，則蜉=學(xué)段=9

聯(lián)系。

又d=33=27

所以，｛3而｝是以27為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)

列.

(2)由a1=3,q=|>得

3-2n

an=3x(3nT=3

兩邊取以3為底的對數(shù)，得

3-2n

log3an=log33=3-2n

所以

log3an+1-log3a?=[3-2(n+1)]-(3-2n)

=-2

又log3ar=log33=1

所以，｛log3a工是首項(xiàng)為1,公差為-2的等差

數(shù)列.

思考

(1)已知b>0且b大1,如果數(shù)列是等探究與等比、等

差數(shù)列，那么數(shù)列｛匕即｝是否一定是等比數(shù)列？差數(shù)列相關(guān)的性

(2)如果數(shù)列｛an｝是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，質(zhì)

那么數(shù)列｛log》即｝是否一定是等差數(shù)列？

提示：(1)

設(shè)｛an｝的首項(xiàng)為由，公差為d,

則a?+i-an=d.

anai

cn=b,則q=b,

=bai-a=陰

%bann+n

又因?yàn)閎>0且b^l,所以陰常數(shù)

故｛7｝是首項(xiàng)為Li公比為陰的等比數(shù)列.

(2)

設(shè)數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)為。(心0),公比為q(q>0),貝U

數(shù)列｛七｝的各項(xiàng)分別為

a,aq,aq2,…，aqn"1

對各項(xiàng)分別取以b為底的對數(shù)，得

2n-1

logba,logbaq,logbaq,…，logftaq

即logf,a,logba+logbq,logba+2\ogbq,

…，log&a+(n-1)logbq

例題鞏固

這就形成首項(xiàng)是log》a,公差是log》q的等差數(shù)

列

拓展

等比、等差數(shù)列的兩個(gè)性質(zhì)：

(1)已知b>0且b于1,如果數(shù)列｛即｝是等

差數(shù)列，那么數(shù)列｛〃叫是等比數(shù)列.

(2)如果數(shù)列｛a,J是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，

那么數(shù)列｛logb加｝是等差數(shù)列.

例6某工廠去年12月試產(chǎn)1050個(gè)高新電子考查數(shù)列的通項(xiàng)

產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%.從今年1月開始，工廠公式的求法，數(shù)

在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年列的單調(diào)性的應(yīng)

12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都用，提高學(xué)生轉(zhuǎn)

在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高5%,產(chǎn)品合格率比前一化思想以及計(jì)算

個(gè)月增加0.4%,那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格為什么n<能力

品的數(shù)量能否控制在100個(gè)以內(nèi)？24?

分析：設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格

率分別構(gòu)成數(shù)列｛即｝,｛bn｝,則各有不合格品的數(shù)量

構(gòu)成數(shù)列由題意可知,數(shù)列｛%｝是等比數(shù)

列,｛%｝是等差數(shù)列。由于數(shù)列｛斯％｝既非等差數(shù)

列，又非等比數(shù)列，所以可以先列表觀察規(guī)律，再

尋求問題的解決方法.

解：設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率

分別構(gòu)成數(shù)列｛即｝,｛b^.

由題意，知

an=1050x1.05—1

bn=l-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n

其中，n=l,2,…，24,

則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是

n-1

anbn=1050x1.05x(0.104-0.004n)

=1.05nx(104-4n)

由計(jì)算工具計(jì)算(精確到0.1),并列表(表4.3-

1)

表4.3-1

n1234567

105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9

n891011121314

4瓦106.4105.5104.2102.6100.698.195.0

觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列｛叫匕｝先遞增，在第6項(xiàng)以后

遞減，所以只要設(shè)法證明當(dāng)nN6時(shí)，｛冊％｝遞減，

且由3瓦3<10。即可.

[儼+也+i=1.05”+%104-45+1)]

n

anbn-1.05x(104-4n)

得n>5

所以，當(dāng)？126時(shí)，｛a71bn｝遞減

又由3b13=98<100

所以，當(dāng)13<n<24時(shí)，anbn<a13b13<100

所以，生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量

能控制在100以內(nèi).

課堂練習(xí)：

1(等比數(shù)列的性質(zhì))

(1)在1與100之間插入n個(gè)正數(shù)，使這〃+2

個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的〃個(gè)數(shù)的積為()

A.10nB.n10C.100nD.n100

(2)在等比數(shù)列｛aja3=16,aia2a3???aw=

265,則a7等于________.

解：

(l)設(shè)這n+2個(gè)數(shù)為a2,,an+1,

an+2且％=1,an+2=100,則

nn

a2a3…Qn+1=(。1/1+2)2=(100)2=10n

(2)因?yàn)榈腶2a3…%o=265,所以a3a8=213

又因?yàn)榈?16=24,所以他=29

s

因?yàn)閍8=a3,q,所以打2.

所以Q=%=256

q

答案：(1)A(2)256

2設(shè)｛an｝是等比數(shù)列,且01+G2+。3=1，。2+

。3+。4=2，則%+。7+@8=()

A.12B.24C.30D.32

解：｛即｝是等比數(shù)列,且由+。2+。3=1，

則。2+，3+。4=q(%+。2+。3)，即q=2,

所以

。6+%+。8=9'(Qi+&+。3)=25X1=32

故選：D

3在正項(xiàng)等比數(shù)列｛每｝中,aj4-2a6aQ+=100

則。5+-

解：根據(jù)題意，正項(xiàng)等比數(shù)列｛Qn｝中，Q6a8=。509

則

2

al+2Q6a8+Q：=磋+2a5Q9+Q€=(a5+a9)

=100

則。5+的=10

答案：10

4已知｛an｝,也｝均為正項(xiàng)等比數(shù)列,Qn分別為

數(shù)列｛四｝,｛勾｝的前〃項(xiàng)積，且臀=亭；則鬻

inQnzninD3

的值為—.

解：數(shù)列｛aJ｛bn｝均為正項(xiàng)等比數(shù)列，

設(shè)它們的公比分別為g,機(jī)，

Pn,Qn分別為數(shù)列｛a—｛匕｝的前”項(xiàng)積，

因?yàn)?/p>

九(九一1)

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