哈工大振動與波動習題

振動與波動2015.4.29機械振動振動曲線簡諧振動動力學方程運動學方程旋轉矢量描寫簡諧運動的基本物理量及其關系A.振幅：AB.角頻率、頻率和周期：C.初相位：由系統(tǒng)決定角頻率：由初始條件確定A和：v0的正負號(sin)值簡諧振動的解析描述簡諧振動的能量速度超前位移π/2相位加速度超前位移π相位常見的簡諧運動彈簧振子（水平、垂直）單擺復擺簡諧運動的判據(jù)1.動力學判據(jù)受正比、反向的恢復力作用動力學方程2.能量判據(jù)振動系統(tǒng)機械能守恒3.運動學判據(jù)相對平衡位置的位移隨時間按正余弦規(guī)律變化受正比、反向的恢復力作用求解簡諧運動的方法A、解析法B、振動曲線求法C、旋轉矢量求法D、能量求法振動的合成O一.兩個同方向同頻率簡諧運動的合成(同相)(反相)二.多個同方向同頻率的簡諧運動的合成COxPM四.

兩個同方向不同頻率的簡諧運動的合成拍現(xiàn)象t三.相互垂直的簡諧運動的合成拍頻為：五、相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線—李薩如圖形若兩頻率成簡單整數(shù)比若兩分振動頻率相差很小近似為兩同頻率的振動合成，合運動軌跡按前面給出的形狀依次緩慢變化。本章基本題型：1、已知振動方程，求特征參量2、已知條件（或者振動曲線），建立振動方程3、證明、判斷一個物體的振動是否是簡諧振動4、簡諧振動的合成:動力學判據(jù)；能量判據(jù)；運動學判據(jù)

解析法、旋轉矢量法（振幅、周期、頻率、初相位）機械波簡諧波波函數(shù)的物理意義波動微分方程反映了時間和空間的周期性。描寫波動的物理量及其關系周期：T

由波源決定

波速：u

由介質決定波長：波的能量能量密度：平均能量密度：能流密度：惠更斯原理(子波假設)介質中任一波陣面上的各點,都可以看作是發(fā)射子波的波源，其后任一時刻，這些子波的包跡就是新的波陣面。波的干涉相干條件：同方向振動，同頻率，相位差恒定。加強減弱(n=012……)

兩列相干波，振動方向相同，振幅相同，頻率相同，傳播方向相反,疊加而成駐波駐波振幅駐波方程二、駐波方程半波損失：波疏→波密入射波在界面處反射時位相發(fā)生π的突變1.水平彈簧振子，彈簧倔強系數(shù)k=24N/m，重物質量m=6kg，重物靜止在平衡位置。設以一水平恒力F=10N向左作用于物體(不計摩擦),使之由平衡位置向左運動了0.05m，此時撤去力F。當重物運動到左方最遠位置時開始計時，求物體的運動方程。解：設物體的運動方程為

x=Acos(t+)恒外力所做的功等于彈簧獲得的機械能，當物體運動到最左端時，這些能量全部轉化為彈簧的彈性勢能mkFx–A–sO角頻率物體運動到–A

位置時計時，初相為=

所以物體的運動方程為x=0.204cos(2

t+

)(m)解：向里為正方向。2.質量為M,長為L的均勻細桿可繞通過其一端的固定端O1自由轉動,在離軸L/處有一倔強系數(shù)為k的輕彈簧與其相連,彈簧另一端固定在O2,如圖所示.開始時系統(tǒng)靜止,桿剛好處于水平位置.現(xiàn)將桿沿順時針方向繞O1轉過一小角度,然后放手,證明桿作簡諧振動,并求其周期.MgO1fkO2MgO1fkO23.兩個諧振子作同頻率同振幅的簡諧振動。第一個振子的振動表達式為x1=Acos(t+)，當?shù)谝粋€振子從振動的正方向回到平衡位置時，第二個振子恰在正方向位移的端點。(1)求第二個振子的振動表達式和二者的相差；(2)若t=0時，x1=–A/2，并向x

負方向運動，畫出二者的x-t

曲線及相量圖。解：(1)由已知條件畫出相量圖，可見第二個振子比第一個振子相位落后/2，故=2

–1=–/2，第二個振子的振動函數(shù)為

x2=Acos(t++)=Acos(t+–/2)

A1A2xOA1A2xO(2)由t=0時，x1=-A/2且v<0，可知=2/3，所以

x1=Acos(t+2/3)，x2=Acos(t+/6)

xA-AOtx1x24.一質點同時參與兩個同方向同頻率的諧振動，其振動規(guī)律為x1=0.4cos(3t+/3)，x2=0.3cos(3t-

/6)(SI)。求：(1)合振動的振動函數(shù)；(2)另有一同方向同頻率的諧振動x3=0.5cos(3t+3)(SI)

當3

等于多少時，x1,x2,x3的合振幅最大？最??？解：(1)解析法振動函數(shù)另法：相量圖法(2)當

f3=f

=0.12

時，

xaf-p/6p/3O當

f3=f

-=-0.88

時，

5.一質點在x軸上作簡諧振動，選取該質點向右運動通過Ａ點時作為計時起點（t=0），經(jīng)過２秒后質點第一次經(jīng)過Ｂ點，再經(jīng)過２秒后質點第二次經(jīng)過Ｂ點，若已知該質點在Ａ，Ｂ兩點具有相同的速率，且ＡＢ＝１０cm

求：（1）質點的振動方程；（2）質點在Ａ點處的速率。xAB0VAVB解：以AB的中點為坐標原點。6.已知t=2s時一列簡諧波的波形如圖，求波函數(shù)及

O點的振動函數(shù)。x(m)0.5y(m)Ou=0.5m/s123解：波函數(shù)標準方程已知A=0.5m，=2m，T=

/u=2/0.5=4s由得即所以波函數(shù)為O點的振動函數(shù)為7.一平面簡諧波在介質中以速度u=20m/s自左向右傳播，已知在傳播路徑上的某點Ａ的振動方程為y=3cos(4t-),另一點Ｄ在Ａ右方9m處，(1)若取x軸方向向左，并以Ａ點為坐標原點，試寫出波動方程，并求出Ｄ點的振動方程．(2)若取x軸方向向右，以Ａ點左方5米處的Ｏ點為x坐標原點，重新寫出波動方程及Ｄ點的振動方程。xyAD9muyoAD5m9mu(1)波動方程為：振動方程為：(2)x8.一平面簡諧波沿x軸正向傳播，振幅為A=10cm，圓頻率

=7rad/s，當t=1.0s時，x=10cm處的a質點的振動狀態(tài)ya=0，（dy/dt)a<0;此時x=20cm處的b質點振動狀態(tài)為yb=5.0cm，（dy/dt)b>0；設該波波長>10cm，求波的表達式。t=1.0s時:解：9.振幅為A，頻率為，波長為的一簡諧波沿弦線傳播，在自由端A點反射（如圖），假設反射后的波不衰減。已知：OA=7

/8，OB=/2，在t=0時，x=0處媒質質元的合振動經(jīng)平衡位置向負方向運動。求B點處入射波和反射波的合成振動方程。OyxBA則反射波的表達式為解：設入射波的表達式為駐波的表達式為B點(x=/2)的振動方程為:10.一平面簡諧波沿x正方向傳播如圖所示，振幅為

A，頻率為v,速率為u.求

(1)t=0時，入射波在原點o處引起質元由平衡位置向位移為正的方向運動，寫出波表達式

(2)經(jīng)分界面反射的波的振幅和入射波振幅相等

寫出反射波的表達式，并求在x軸上因入射波和反射波疊加而靜止的各點位置。O

Pux波疏波密解:(1)由已知條件可寫出入射波在O點的振動表達式入射波的表達式為(2)設反射波的表達式為在P點，入射波的相位為反射波的相位為Oux波疏波密P由得所以反射波的表達式為波節(jié)位置因此合成波的表達式

兩個相互垂直的不同頻率的簡諧運動的合成合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線—李薩如圖yxA1A20-A2-A1

例如左圖：應用：測定未知頻率已知：x=Acost,求y=？

例如左圖：A-AA-AxyO作業(yè)5.1011.一質量為m=10g的物體作簡諧振動，振幅為A=10cm,周期T=2.0s。若t=0時，位移x0=-5.0cm，且物體向負x方向運動，試求：（1）t=0.5s時物體的位移；（2）t=0.5s時物體的受力情況；（3）從計時開始，第一次到達x=5.0cm所需時間；（4）連續(xù)兩次到達x=5.0cm處的時間間隔?！窘狻浚?）由已知可得簡諧振動的振幅角頻率振動表達式為

(SI)x0.1O-0.05

由旋轉矢量法可得

振動方程

t=0.5s時物體的位移?

（2）t=0.5s時物體受到的恢復力?

由（1）得

N/m(SI)（3）從計時開始，第一次到達x=5.0cm所需時間；

（4）連續(xù)兩次到達x=5.0cm處的時間間隔。x0.1O-0.050.05第一次到達x=5.0cm時的相位為

故第一次達到此處所需時間為

連續(xù)兩次到達x=5.0cm處的相位差為

12、如圖所示的振動曲線。求：（1）簡諧振動的運動方程（2）由狀態(tài)a運動到狀態(tài)b，再由b運動到c的時間分別是多少（3）狀態(tài)d的速度和加速度【解】方法1解析法原點：c點：方法2旋轉矢量法（1）確定旋轉矢量振動方程為-A-A/2AA/2xO(SI)（2）由狀態(tài)a運動到狀態(tài)b，再由b運動到c的時間分別是多少（3）狀態(tài)d的速度和加速度-A-A/2AA/2xa13.勁度系數(shù)為k的輕彈簧掛在質量為m，半徑為R的勻質圓柱體的對稱軸上，使圓柱體作無滑動的滾動，證明：圓柱體的質心作諧振動。水平面證明：建坐標如圖，彈簧原長處為坐標原點，設原點處為勢能零點，質心在xc時系統(tǒng)的機械能為（注意上式中的是剛體轉動的角速度）分析振動系統(tǒng)機械能守恒!兩邊對t求導數(shù)，得將代入上式得與動力學方程比較知，物理量xc的運動形式是簡諧振動圓頻率

14.

如圖所示，S1、S2為同一介質中沿其連線方向發(fā)射平面簡諧波的波源，兩者相距作同方向、同頻率、同振幅的簡諧振動，設S1經(jīng)過平衡位置向負方向運動時,S2恰處在正向最遠端，且介質不吸收波的能量。求：S1S2x/mS1和S2外側合成波的強度S1和S2之間因干涉而靜止點的位置.設兩列波的振幅都是A0，強度都是I0

。xAM-AS1