哈工大振動(dòng)與波動(dòng)習(xí)題

振動(dòng)與波動(dòng)2015.4.29機(jī)械振動(dòng)振動(dòng)曲線簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程旋轉(zhuǎn)矢量描寫(xiě)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本物理量及其關(guān)系A(chǔ).振幅：AB.角頻率、頻率和周期：C.初相位：由系統(tǒng)決定角頻率：由初始條件確定A和：v0的正負(fù)號(hào)(sin)值簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解析描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量速度超前位移π/2相位加速度超前位移π相位常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)彈簧振子（水平、垂直）單擺復(fù)擺簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判據(jù)1.動(dòng)力學(xué)判據(jù)受正比、反向的恢復(fù)力作用動(dòng)力學(xué)方程2.能量判據(jù)振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒3.運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)相對(duì)平衡位置的位移隨時(shí)間按正余弦規(guī)律變化受正比、反向的恢復(fù)力作用求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方法A、解析法B、振動(dòng)曲線求法C、旋轉(zhuǎn)矢量求法D、能量求法振動(dòng)的合成O一.兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成(同相)(反相)二.多個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成COxPM四.

兩個(gè)同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成拍現(xiàn)象t三.相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成拍頻為：五、相互垂直的不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線—李薩如圖形若兩頻率成簡(jiǎn)單整數(shù)比若兩分振動(dòng)頻率相差很小近似為兩同頻率的振動(dòng)合成，合運(yùn)動(dòng)軌跡按前面給出的形狀依次緩慢變化。本章基本題型：1、已知振動(dòng)方程，求特征參量2、已知條件（或者振動(dòng)曲線），建立振動(dòng)方程3、證明、判斷一個(gè)物體的振動(dòng)是否是簡(jiǎn)諧振動(dòng)4、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成:動(dòng)力學(xué)判據(jù)；能量判據(jù)；運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)

解析法、旋轉(zhuǎn)矢量法（振幅、周期、頻率、初相位）機(jī)械波簡(jiǎn)諧波波函數(shù)的物理意義波動(dòng)微分方程反映了時(shí)間和空間的周期性。描寫(xiě)波動(dòng)的物理量及其關(guān)系周期：T

由波源決定

波速：u

由介質(zhì)決定波長(zhǎng)：波的能量能量密度：平均能量密度：能流密度：惠更斯原理(子波假設(shè))介質(zhì)中任一波陣面上的各點(diǎn),都可以看作是發(fā)射子波的波源，其后任一時(shí)刻，這些子波的包跡就是新的波陣面。波的干涉相干條件：同方向振動(dòng)，同頻率，相位差恒定。加強(qiáng)減弱(n=012……)

兩列相干波，振動(dòng)方向相同，振幅相同，頻率相同，傳播方向相反,疊加而成駐波駐波振幅駐波方程二、駐波方程半波損失：波疏→波密入射波在界面處反射時(shí)位相發(fā)生π的突變1.水平彈簧振子，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)k=24N/m，重物質(zhì)量m=6kg，重物靜止在平衡位置。設(shè)以一水平恒力F=10N向左作用于物體(不計(jì)摩擦),使之由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了0.05m，此時(shí)撤去力F。當(dāng)重物運(yùn)動(dòng)到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，求物體的運(yùn)動(dòng)方程。解：設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為

x=Acos(t+)恒外力所做的功等于彈簧獲得的機(jī)械能，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到最左端時(shí)，這些能量全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能mkFx–A–sO角頻率物體運(yùn)動(dòng)到–A

位置時(shí)計(jì)時(shí)，初相為=

所以物體的運(yùn)動(dòng)方程為x=0.204cos(2

t+

)(m)解：向里為正方向。2.質(zhì)量為M,長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿可繞通過(guò)其一端的固定端O1自由轉(zhuǎn)動(dòng),在離軸L/處有一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧與其相連,彈簧另一端固定在O2,如圖所示.開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止,桿剛好處于水平位置.現(xiàn)將桿沿順時(shí)針?lè)较蚶@O1轉(zhuǎn)過(guò)一小角度,然后放手,證明桿作簡(jiǎn)諧振動(dòng),并求其周期.MgO1fkO2MgO1fkO23.兩個(gè)諧振子作同頻率同振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。第一個(gè)振子的振動(dòng)表達(dá)式為x1=Acos(t+)，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)振子從振動(dòng)的正方向回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)振子恰在正方向位移的端點(diǎn)。(1)求第二個(gè)振子的振動(dòng)表達(dá)式和二者的相差；(2)若t=0時(shí)，x1=–A/2，并向x

負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出二者的x-t

曲線及相量圖。解：(1)由已知條件畫(huà)出相量圖，可見(jiàn)第二個(gè)振子比第一個(gè)振子相位落后/2，故=2

–1=–/2，第二個(gè)振子的振動(dòng)函數(shù)為

x2=Acos(t++)=Acos(t+–/2)

A1A2xOA1A2xO(2)由t=0時(shí)，x1=-A/2且v<0，可知=2/3，所以

x1=Acos(t+2/3)，x2=Acos(t+/6)

xA-AOtx1x24.一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，其振動(dòng)規(guī)律為x1=0.4cos(3t+/3)，x2=0.3cos(3t-

/6)(SI)。求：(1)合振動(dòng)的振動(dòng)函數(shù)；(2)另有一同方向同頻率的諧振動(dòng)x3=0.5cos(3t+3)(SI)

當(dāng)3

等于多少時(shí)，x1,x2,x3的合振幅最大？最?。拷猓?1)解析法振動(dòng)函數(shù)另法：相量圖法(2)當(dāng)

f3=f

=0.12

時(shí)，

xaf-p/6p/3O當(dāng)

f3=f

-=-0.88

時(shí)，

5.一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過(guò)Ａ點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（t=0），經(jīng)過(guò)２秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過(guò)Ｂ點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)２秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過(guò)Ｂ點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在Ａ，Ｂ兩點(diǎn)具有相同的速率，且ＡＢ＝１０cm

求：（1）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）質(zhì)點(diǎn)在Ａ點(diǎn)處的速率。xAB0VAVB解：以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。6.已知t=2s時(shí)一列簡(jiǎn)諧波的波形如圖，求波函數(shù)及

O點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)。x(m)0.5y(m)Ou=0.5m/s123解：波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程已知A=0.5m，=2m，T=

/u=2/0.5=4s由得即所以波函數(shù)為O點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)為7.一平面簡(jiǎn)諧波在介質(zhì)中以速度u=20m/s自左向右傳播，已知在傳播路徑上的某點(diǎn)Ａ的振動(dòng)方程為y=3cos(4t-),另一點(diǎn)Ｄ在Ａ右方9m處，(1)若取x軸方向向左，并以Ａ點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，試寫(xiě)出波動(dòng)方程，并求出Ｄ點(diǎn)的振動(dòng)方程．(2)若取x軸方向向右，以Ａ點(diǎn)左方5米處的Ｏ點(diǎn)為x坐標(biāo)原點(diǎn)，重新寫(xiě)出波動(dòng)方程及Ｄ點(diǎn)的振動(dòng)方程。xyAD9muyoAD5m9mu(1)波動(dòng)方程為：振動(dòng)方程為：(2)x8.一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，振幅為A=10cm，圓頻率

=7rad/s，當(dāng)t=1.0s時(shí)，x=10cm處的a質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)ya=0，（dy/dt)a<0;此時(shí)x=20cm處的b質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)為yb=5.0cm，（dy/dt)b>0；設(shè)該波波長(zhǎng)>10cm，求波的表達(dá)式。t=1.0s時(shí):解：9.振幅為A，頻率為，波長(zhǎng)為的一簡(jiǎn)諧波沿弦線傳播，在自由端A點(diǎn)反射（如圖），假設(shè)反射后的波不衰減。已知：OA=7

/8，OB=/2，在t=0時(shí)，x=0處媒質(zhì)質(zhì)元的合振動(dòng)經(jīng)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求B點(diǎn)處入射波和反射波的合成振動(dòng)方程。OyxBA則反射波的表達(dá)式為解：設(shè)入射波的表達(dá)式為駐波的表達(dá)式為B點(diǎn)(x=/2)的振動(dòng)方程為:10.一平面簡(jiǎn)諧波沿x正方向傳播如圖所示，振幅為

A，頻率為v,速率為u.求

(1)t=0時(shí)，入射波在原點(diǎn)o處引起質(zhì)元由平衡位置向位移為正的方向運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)出波表達(dá)式

(2)經(jīng)分界面反射的波的振幅和入射波振幅相等

寫(xiě)出反射波的表達(dá)式，并求在x軸上因入射波和反射波疊加而靜止的各點(diǎn)位置。O

Pux波疏波密解:(1)由已知條件可寫(xiě)出入射波在O點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式入射波的表達(dá)式為(2)設(shè)反射波的表達(dá)式為在P點(diǎn)，入射波的相位為反射波的相位為Oux波疏波密P由得所以反射波的表達(dá)式為波節(jié)位置因此合成波的表達(dá)式

兩個(gè)相互垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線—李薩如圖yxA1A20-A2-A1

例如左圖：應(yīng)用：測(cè)定未知頻率已知：x=Acost,求y=？

例如左圖：A-AA-AxyO作業(yè)5.1011.一質(zhì)量為m=10g的物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為A=10cm,周期T=2.0s。若t=0時(shí)，位移x0=-5.0cm，且物體向負(fù)x方向運(yùn)動(dòng)，試求：（1）t=0.5s時(shí)物體的位移；（2）t=0.5s時(shí)物體的受力情況；（3）從計(jì)時(shí)開(kāi)始，第一次到達(dá)x=5.0cm所需時(shí)間；（4）連續(xù)兩次到達(dá)x=5.0cm處的時(shí)間間隔?！窘狻浚?）由已知可得簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅角頻率振動(dòng)表達(dá)式為

(SI)x0.1O-0.05

由旋轉(zhuǎn)矢量法可得

振動(dòng)方程

t=0.5s時(shí)物體的位移?

（2）t=0.5s時(shí)物體受到的恢復(fù)力?

由（1）得

N/m(SI)（3）從計(jì)時(shí)開(kāi)始，第一次到達(dá)x=5.0cm所需時(shí)間；

（4）連續(xù)兩次到達(dá)x=5.0cm處的時(shí)間間隔。x0.1O-0.050.05第一次到達(dá)x=5.0cm時(shí)的相位為

故第一次達(dá)到此處所需時(shí)間為

連續(xù)兩次到達(dá)x=5.0cm處的相位差為

12、如圖所示的振動(dòng)曲線。求：（1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程（2）由狀態(tài)a運(yùn)動(dòng)到狀態(tài)b，再由b運(yùn)動(dòng)到c的時(shí)間分別是多少（3）狀態(tài)d的速度和加速度【解】方法1解析法原點(diǎn)：c點(diǎn)：方法2旋轉(zhuǎn)矢量法（1）確定旋轉(zhuǎn)矢量振動(dòng)方程為-A-A/2AA/2xO(SI)（2）由狀態(tài)a運(yùn)動(dòng)到狀態(tài)b，再由b運(yùn)動(dòng)到c的時(shí)間分別是多少（3）狀態(tài)d的速度和加速度-A-A/2AA/2xa13.勁度系數(shù)為k的輕彈簧掛在質(zhì)量為m，半徑為R的勻質(zhì)圓柱體的對(duì)稱(chēng)軸上，使圓柱體作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，證明：圓柱體的質(zhì)心作諧振動(dòng)。水平面證明：建坐標(biāo)如圖，彈簧原長(zhǎng)處為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，質(zhì)心在xc時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能為（注意上式中的是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度）分析振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒!兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，得將代入上式得與動(dòng)力學(xué)方程比較知，物理量xc的運(yùn)動(dòng)形式是簡(jiǎn)諧振動(dòng)圓頻率

14.

如圖所示，S1、S2為同一介質(zhì)中沿其連線方向發(fā)射平面簡(jiǎn)諧波的波源，兩者相距作同方向、同頻率、同振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，設(shè)S1經(jīng)過(guò)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí),S2恰處在正向最遠(yuǎn)端，且介質(zhì)不吸收波的能量。求：S1S2x/mS1和S2外側(cè)合成波的強(qiáng)度S1和S2之間因干涉而靜止點(diǎn)的位置.設(shè)兩列波的振幅都是A0，強(qiáng)度都是I0

。xAM-AS1