比較用高斯定理和庫侖定律求解靜電場的優(yōu)劣

電磁場研究性課題報(bào)告研究題目：比較用高斯定理和庫侖定律求解靜電場的優(yōu)劣。1.應(yīng)用庫侖定律求解靜電場庫倫定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律，它表述為：真空中靜止點(diǎn)電荷Q對另一靜止點(diǎn)電荷Q的作用力是-QQ'P

F一 r4脫r3P0*°-8.854X10-12法/米，r為Q到Q'的矢量，兩個(gè)電荷之間的作用是通過電場來傳遞的，所謂電場是一個(gè)電荷Q周圍空間存在著的一種特殊物質(zhì)，另一電荷Q'處于該窄間內(nèi)就受其作力.由庫倫定律可知，Q'所受的力與Q'成正比，我們一個(gè)正的單位試驗(yàn)電荷在電場中所受的力來定義試驗(yàn)電荷所在點(diǎn)的電場強(qiáng)度E。E一F一QPQ' 4耐r30假若空問有多個(gè)點(diǎn)電荷，它們對電荷Q,的作用力經(jīng)過實(shí)驗(yàn)證明符合線性疊加原理：F學(xué)竺P4脫r3iP i0i［是電荷Q.到Q'矢量.于是得到總電場E也其有疊加性：iiE-EQir4兀&r3)0i如果電荷是連續(xù)分布于區(qū)域V內(nèi).如圖1,在V內(nèi)某點(diǎn)P'取體積元dV5該處電荷密度為p（r'）,dV'所含電荷為dQ'=P（r'）dV'，由r'到觀察點(diǎn)P的矢量為R，R=r-r',則P處電場強(qiáng)度為p(r')RdV'所以，依據(jù)場強(qiáng)疊加原理計(jì)算場強(qiáng)主要分為兩類：第一類為點(diǎn)電荷體系.其表述為空間中有N個(gè)帶電體，每一個(gè)帶電體自身的限度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于到所討論場點(diǎn)的距離，每一個(gè)帶電體都可以看成點(diǎn)電荷，這些點(diǎn)電荷的集合（相對于所討論的場點(diǎn)）構(gòu)成一點(diǎn)電荷體系．該點(diǎn)電荷體系在所討論的場點(diǎn)單獨(dú)存在時(shí)，所激發(fā)的場強(qiáng)的矢pp量和為該點(diǎn)的合場強(qiáng)：E=工E。i第二類為電荷連續(xù)分布，帶電體相對于所討論的場點(diǎn)已不能看成點(diǎn)電荷，但是每一個(gè)帶電體可以看成由無數(shù)微元一一點(diǎn)電荷（相對于場點(diǎn)）疊加而成.該微元所帶電量為dq,產(chǎn)生電場dE，該帶電體在E-i朋場點(diǎn)的場強(qiáng)為E-JdE。

舉例分析：無限大平面均勻帶電，電荷面密度為b。試求它在空問產(chǎn)生的電0場。解：分兩步。先用電場迭加原理求出無限長直均勻帶電線產(chǎn)生的電場。假定線電荷密度為九0。設(shè)置直角坐標(biāo)系，使z軸與無限長直帶電線重合（圖2）。不失一般性，我們在y軸上選擇場點(diǎn)P。在ZTz+dz在ZTz+dz之間取一電荷兀dq，dq八0dz，它在P點(diǎn)產(chǎn)生電場dE二九dz/4兀*00Q+Z2考慮方向性以及電場迭加原理以及電場迭加原理E=JdE=|+日生+有f"—|dE￡=0.TOC\o"1-5"\h\z■i「 —rdEy寧dfz=d￡sin?t?」」*■代入 _sintf=WJfy1+牡》,E=dE&in召=i!J a=o/ZjTEgy-j以矢量形式表示E=i［）巴y/2吒晦oyn當(dāng)P點(diǎn)不固定于y軸，那么E=^（）r/2ireorza再將無限大均勻帶電平面分割，看成是由無限多無限長均勻帶電直線的集合。無限大均勻帶電平面放置在xoy平面，在xTx+dx處取一無限狹窄長條(圖3)。根據(jù)(5)式，可知該長條在z軸上的P點(diǎn)產(chǎn)生電場idE=odx/2庇\.'x2+z2。o o寫成矢量形式，dE可表示為兩個(gè)分量。一個(gè)分量沿Z軸，另一個(gè)電場垂直于=軸。考慮電場的迭加原理，對稱性使垂直于z軸的分量消失，只留下沿z軸方向的分量寫成矢量式- 5 z>■-飾丿2削(6)式中的P點(diǎn)不一定局限于z軸上。2.應(yīng)用高斯定理求解靜電場應(yīng)用高斯定理求場強(qiáng)分布的關(guān)鍵是分析對稱性，選擇合適的高斯面。高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：這里.S是任意形狀的閉合曲面，工q是S所包圍的電荷的代數(shù)和。般情況下，用上式不能把電場中各點(diǎn)的場強(qiáng)E確定下來，但當(dāng)激發(fā)電場的電荷分布具有某種特殊的對稱性，從而周圍電場的分布也具有相應(yīng)的對稱性時(shí)，可用高斯定理可求場強(qiáng)分布，而且比用場強(qiáng)疊加原理要簡便得多。因?yàn)殡妶鼍哂袑ΨQ分布時(shí)，可選取適當(dāng)?shù)母咚姑妫姑嫔螮的大小相等，0為定值，便于將E從積分號內(nèi)提出，使計(jì)算簡化。因此應(yīng)用高斯定理求場強(qiáng)分布的關(guān)鍵，首先在于分析電荷和電

場分布的對稱性。一般可以分為兩種情況：電荷分布在有限大小的物體上，但該物體具有某種對稱性；電荷分布具有無限大、無限長的特點(diǎn)，或經(jīng)過簡化處理后可視為無限大、無限長的分布。用高斯定理解前面列題。解：無限大均勻帶電平面放置在z=0處，如圖6。圖6圖6取柱體表面作為高斯面，其側(cè)面與帶電平面垂直。兩底面與帶電平面平行，且關(guān)于帶電平面對稱。E?dS平面平行，且關(guān)于帶電平面對稱。E?dS+E?dS+JE?dS二2E?SS2 S2 S3z>0z<0S S1又Eq/￡=o-S00:.E=a/2￡00寫成矢量式Sppe/2￡E冃opoe/3￡Jozo比較分析：一）由庫侖定律拓展的電場疊加原理是最基本的方法。無論電

荷分布是否均勻，或者帶電體形狀是否規(guī)則、對稱．電場原理法原則上都是適用的。電場疊加法關(guān)鍵在于微元所帶電量dq的選取.微元的取法可以分Pdq

dq

dqdq

dq

dq=pdv=bdv=ndv；電荷的面模型，定義出電荷的面密度，電量n；電荷的線模型，定義出電荷的線密度，電量。這種方法反映了基本的物理思想，起到基礎(chǔ)的作用，應(yīng)用范圍最為廣泛，原則上可以計(jì)算任何電荷分布已知的靜電場場強(qiáng)，但由于上式是矢量積分，實(shí)際計(jì)算的問題一般具有一定的對稱性，從而簡化了求解的難度。(二)高斯定理法適用范圍較為狹窄。若高斯定理能夠適用，電荷空間分布要求有嚴(yán)格高度的對稱性，從而使所做高斯面也具有高度對稱性，高斯面上場強(qiáng)分布具有高度的對稱性。對稱性的前提以電荷空間分布的對稱性為前提，這種電荷的空間分布對稱性主要有以下三種情況：(1)電荷具有均勻的軸對稱空間分布，(2)電荷具有均勻的面對稱空間分布，(3)電荷具有均勻的球?qū)ΨQ空間分布。帶電體形狀和帶電體分布必須呈高度對稱性，但這只是必要條件．而非充分條件。例如，對于立方體每個(gè)角置有等量電荷這樣的簡單問題，高斯定理法就無能為力。而且高斯面不能就選在體表面處或電介質(zhì)的表面處。因?yàn)閷?dǎo)體表面上有電荷分布，高斯面如果與導(dǎo)體表面重合，則無法確定這些電荷是處于高斯面內(nèi)還是處于面外，因而無法計(jì)算。若所討論的場點(diǎn)位于電介質(zhì)內(nèi)，高斯定理轉(zhuǎn)化為D?ds=Q0,式中Q0為面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和，上式稱有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理。0 P_P利用電介質(zhì)的性能方程D二eE可求出場強(qiáng)。如果高斯定理有效．其步驟往往十