2020-2021學(xué)年黑龍江省安達(dá)市重點(diǎn)高中高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2020-2021學(xué)年黑龍江省安達(dá)市重點(diǎn)高中高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．2.已知向量，，則()A．4 B．5 C．6 D．73.“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據(jù)記載，西周時期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形中，滿足“勾3股4弦5”，且，E為上一點(diǎn)，.若，則的值為（）A． B． C． D．14.南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中創(chuàng)用了“三斜求積術(shù)”，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.”翻譯一下這段文字，即已知三角形的三邊長，可求三角形的面積為.若中，內(nèi)角所對的邊分別為，且，，，則用“三斜求積術(shù)”求得的面積為（）A． B．1 C． D．5.三棱柱中，點(diǎn)在上，且，若平面，則（）A． B． C． D．6.已知是邊長為4的等邊三角形，且為中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．7.如圖，空間四邊形的對角線分別為的中點(diǎn)，并且異面直線與所成的角為，則（）A．3 B．4 C．5 D．68.已知直線兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則9.為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為，則正六棱錐與正六棱柱的高的比值為（）A． B． C． D．10.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰髙程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影，，滿足，.由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15°，與的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）()A.346 B.373 C.446 D.473二、填空題11.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）且，則___________.12.已知一個圓錐的母線長為2，側(cè)面展開是半圓，則該圓錐的體積為________________.13.在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面平面，則四面體的外接球的表面積為____________.14.在中，，，，D在邊上（不與端點(diǎn)重合）.延長到P，使得.當(dāng)D為中點(diǎn)時，的長度為____________；若（m為常數(shù)且），則的長度是_________.三、多項(xiàng)選擇題15.的內(nèi)角的對邊分別為，下列結(jié)論一定成立的有（）A．B．若，則C．若，則是等腰三角形D．若，則是等腰三角形16.如圖，在長方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．四點(diǎn)共面 B．平面平面C．直線與所成角的為 D．平面四、解答題17.已知向量，（1）求向量與的夾角；（2）若，且，求m的值.18.如圖，在直三棱柱中，.（1）求證：平面；（2）若D為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，為的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面．20.已知的外接圓的半徑為，內(nèi)角的對邊分別為，又向量，，且.（1）求角；（2）求三角形的面積的最大值并求此時的周長.21.如圖，在直角梯形AEFB中，,，且，直角梯形可以通過直角梯形AEFB以直線EF為軸旋轉(zhuǎn)得到.

（1）求證：平面平面；

（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.22.某農(nóng)場有一塊如圖所示的空地，其中半圓O的直徑為300米，A為直徑延長線上的點(diǎn)米，B為半圓上任意一點(diǎn)，以為一邊作等腰直角，其中為斜邊．（1）若，求四邊形的面積；（2）現(xiàn)決定對四邊形區(qū)域地塊進(jìn)行開發(fā)，將區(qū)域開發(fā)成垂釣中心，預(yù)計(jì)每平方米獲利10元，將區(qū)域開發(fā)成親子采摘中心，預(yù)計(jì)每平方米獲利20元，則當(dāng)為多大時，垂釣中心和親子采摘中心獲利之和最大？

安達(dá)市重點(diǎn)高中2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)參考答案1.答案：B2.答案：B3.答案：B4.答案：D5.答案：A6.答案：B7.答案：C8.答案：A9.答案：D10.答案：B解析：本題考查空間幾何體、三角變換、正弦定理.由題意可知.在中，由正弦定理可知，則，過B點(diǎn)作于點(diǎn)M，易得，則.11.答案：12.答案：解析：由題意得，圓錐的體積為13.答案：14.答案：..15.答案：BC16.答案：BC解析：對于A，由圖顯然是異面直線，故四點(diǎn)不共面，故A錯誤；對于B，由題意平面，故平面平面，故B正確；對于C，取的中點(diǎn)O，連接，可知三角形為等邊三角形，故C正確；對于D，平面，顯然與平面不平行，故D錯誤；故選：BC17.答案：解：(1)，，，由題得，，設(shè)向量與的夾角為，則，，所以，即向量與的夾角為(2)，，，，，，，解得解析：18.答案：（1）證明：由題意知四邊形是正方形，∴由平面得.又∵，，∴平面.又∵平面，∴.又∵，∴平面.（2）連接.設(shè).∵平面，∴是與平面所成的角.在等腰直角三角形中，D為斜邊的中點(diǎn)，∴.在中，.∴，即與平面所成角的正弦值為.解析：19.答案：（1）設(shè)與交于點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，所?所以平面.又因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?解析：20.答案：（1）∵，∴，且，由正弦定理得：，化簡得：.由余弦定理：，∴，∵，∴.（2）∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”），所以，，此時，為正三角形，此時三角形的周長為.解析：21.答案：（1）證明：在直角梯形AEFB中，，且直角梯形是通過直角梯形AEFB以直線EF為軸旋轉(zhuǎn)而得，

所以，所以，.

所以平面.

所以平面平面.

（2）由（1）可知,.

因?yàn)槎娼菫?所以

過點(diǎn)F作平面AEFB的垂線，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則：，，，，.

所以，，，.

設(shè)平面的法向量為,則即

令，則