《函數(shù)y=Asin(ωx+φ)》第1課時公開課教學PPT課件【高中數(shù)學】

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)第一課時

我們知道，單位圓上的點，以（1，0）為起點，以單位速度按逆時針方向運動，其運動規(guī)律可用正弦函數(shù)加以刻畫．對于一個一般的勻速圓周運動可以用怎樣的數(shù)學模型刻畫呢？整體感知

新知探究問題1

筒車是中國古代發(fā)明的一種灌溉工具，它省時、省力，環(huán)保、經(jīng)濟，現(xiàn)代農(nóng)村至今還在大量使用．明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖示描繪了人們利用筒車輪的圓周運動進行灌溉的工作原理（用信息技術(shù)呈現(xiàn)筒車運動的實際情境）．

假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都作勻速圓周運動．如果將這個桶車抽象成一個圓，水筒抽象成一個質(zhì)點，你能用一個合適的函數(shù)模型來刻畫盛水筒距離水面的相對高度與時間的關(guān)系嗎？追問與盛水筒運動相關(guān)的量有哪些？它們之間有怎樣的關(guān)系？新知探究

設(shè)水車半徑為r，水車中心距水面的高度為h；水車轉(zhuǎn)動的角速度為ω；初始位置所對應的角φ；時間t；距離水面的相對高度H；變量t與H之間的等量關(guān)系是：H＝rsin（ωx＋φ）＋h．新知探究如圖，相關(guān)的量有：

類比之前對函數(shù)的研究方法，接下來我們應該研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．有了圖象之后可以使我們更好地把握這個函數(shù)的性質(zhì)．顯然，這個函數(shù)由參數(shù)A，ω，φ所確定．因此關(guān)鍵是研究這些參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響．新知探究問題2

我們從實際問題出發(fā)，抽象轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學問題，并建立了一個新的函數(shù)．根據(jù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的經(jīng)驗，你認為接下來應該研究什么？

（1）能否借助我們熟悉的函數(shù)y＝sinx的圖象與性質(zhì)研究參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的影響呢？（2）函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）中含有三個不同參數(shù)，類比以往研究函數(shù)的經(jīng)驗，對于含有多個參數(shù)的函數(shù)，你認為應按怎樣的思路進行研究？解答：（1）可以利用它們之間的關(guān)系進行研究；新知探究問題3

從解析式看，函數(shù)y＝sinx就是函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）在A＝1，ω＝1，φ＝0時的特殊情形．

解答：（2）類比對二次函數(shù)y＝a（x－h(huán)）2＋k圖象用“控制變量法”的研究過程，具體的操作辦法是：可以分別將其中的兩個變量特殊化，研究另一個變量對圖象的影響，最后，綜合分析由一個特別簡單的二次函數(shù)如何一步一步通過變換得到一個較復雜的二次函數(shù)圖象的過程．新知探究（2）函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）中含有三個不同參數(shù)，類比以往研究函數(shù)的經(jīng)驗，對于含有多個參數(shù)的函數(shù)，你認為應按怎樣的思路進行研究？問題3

從解析式看，函數(shù)y＝sinx就是函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）在A＝1，ω＝1，φ＝0時的特殊情形．

在筒車例子中，φ的不同值表示是初始位置所對應的角不同．追問1

φ的不同值表示什么含義？結(jié)合筒車說明．新知探究問題4

觀察當參數(shù)φ變化時，函數(shù)y＝sin（x＋φ）的圖象有什么影響？

追問2

如圖，如果在單位圓上將起點Q0繞O1旋轉(zhuǎn)

到Q1，讓動點P1以Q1為起點，按照與P0一樣的方式，運動到點P，需要多長時間？在單位圓上，對應的函數(shù)y＝sin（x＋）圖象上的點G的坐標是多少？如果以Q0為起點的動點到達圓周上點P的時間為xs，那么以Q1為起點的動點相繼到達點P的時間是（x－）s．點G的坐標是（x－

，sinx）．新知探究

追問3

如上我們找到了兩個函數(shù)圖象上任意點的變化，那么如何從函數(shù)y＝sinx的圖象得到函數(shù)y＝sin（x＋）的圖象？y＝sin（x＋）的圖象可以看作是函數(shù)y＝sinx的圖象上的所有點向左平移

個單位后得到．新知探究

追問4

如果起點Q0繞O1旋轉(zhuǎn)

，對應的函數(shù)圖象如何變化呢？分別可以看作是函數(shù)y＝sinx的圖象上的所有點向右平移

，向左平移

，向右平移

個單位后得到．新知探究

追問5

根據(jù)上面的研究，你能歸納出φ對函數(shù)y＝sin（x＋φ）圖象影響的一般化結(jié)論嗎？一般地，當動點M的起始位置Q對應的角為φ時，對應的函數(shù)是y＝sin（x＋φ）（φ≠0），把正弦曲線上所有點向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|個長度單位就得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象．新知探究

追問6

前面采用了怎樣的研究方法呢？特殊化，畫圖、觀察、猜想、驗證，歸納出一般結(jié)論．新知探究

追問1

結(jié)合筒車模型，ω的不同值表示什么含義？ω的不同值表示動點的不同角速度．新知探究問題5

觀察當參數(shù)ω變化時對函數(shù)y＝sin（ωx＋φ）圖象的變換有什么影響？

追問2

如圖，不妨令ω＝2，那么以Q1為起點的動點P2，運動到點P，它需要的時間是多少？對應的函數(shù)圖象上的點K的坐標是多少？答案：運動時間是ω＝1時運動時間的

倍；對應的函數(shù)圖象上的點K的坐標是

．新知探究

追問3

如上我們找到了兩個函數(shù)圖象上任意點的變化，那么如何從函數(shù)y＝sin（x＋）的圖象得到函數(shù)y＝sin（2x＋）的圖象？函數(shù)y＝sin（2x＋）圖象是函數(shù)y＝sin（x＋）圖象上的所有點橫坐標縮短為原來的

倍（縱坐標不變）得到的．新知探究

追問4

如果令

，對應的函數(shù)y＝sin（ωx＋）圖象如何變化呢？對應函數(shù)y＝sin（ωx＋）圖象可以分別看成是函數(shù)y＝sin（x＋）圖象上的所有點橫坐標伸長為原來的2倍、縮短為原來的

倍、伸長為原來的3倍、（縱坐標不變）得到的．新知探究

追問5

根據(jù)上面的研究，你能歸納出ω對函數(shù)y＝sin（ωx＋φ）圖象影響的一般化結(jié)論嗎？一般地，函數(shù)y＝sin（ωx＋φ）的周期是，把y＝sin（x＋φ）圖象上所有點的橫坐標縮短（當ω＞1時）或伸長（當0＜ω＜1時）到原來的

倍（縱坐標不變），就得到y(tǒng)＝sin（ωx＋φ）的圖象．新知探究

特殊化，研究函數(shù)圖象上任意一點的變化，由此歸納出參數(shù)取某個具體值時對函數(shù)圖象的變化．再在此基礎(chǔ)上歸納出參數(shù)變化對整個圖象變化的影響．類比研究，充分應用已有知識經(jīng)驗，比如類比二次函數(shù)圖象的研究得到本單元的研究思路，又比如運用前一個問題的研究成果．歸納小結(jié)問題6

通過這節(jié)課的學習，請你談談我們采用什么方法來研究函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象？你獲得了怎樣的研究經(jīng)驗？

作業(yè)布置嘗試探究：（1）當參數(shù)A變化時，對函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響；（2）從函數(shù)y＝sinx圖象出發(fā)，通過圖象變化得到函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象的過程與方法．

目標檢測（1）為了得到函數(shù)y＝3sin（x－

）的圖象，只要把C上所有的點（

）B．向右平行移動

個單位長度C．向右平行移動

個單位長度D．向右平行移動

個單位長度A．向右平行移動

個單位長度A已知函數(shù)y＝3sinx的圖象為C．1

目標檢測B．橫坐標伸長到原來的

倍，縱坐標不變C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變D．縱坐標伸長到原來的

倍，橫坐標不變A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變B（2）為了得到函數(shù)y＝3sin2x的圖象，只要把C上所