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文檔簡介
集與數(shù)本質識分一集一集的關念1.關于集合的元素的特征()元的定)元素互性元素無性2.元素與集合的關系;屬于a∈A不屬于a二集的示法列舉法;描述法;圖示法;符號簡記法。三)集合的基本關系:1、集合與集合之間的“包含”系;2、集合與集合之間的“等”關系;A且BA則A中元素是樣的,因此
即
A
AB3、真子集的概念4、空集的概念:不含有任何元的集合稱為空集,記作:
規(guī)定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。5、結論:1eq\o\ac(○,1)
Aeq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)A,且C,C2集與數(shù)集的交集是(例A={(,yy=x+1}B={=x+1}則∩=)一般地,含n(n≠個素的集a,集的個數(shù)是,有真子集的個數(shù)是2n12n
-1,非空真子集的個數(shù)為
四集的本算1.并集:一般地,由所有屬于集合A或屬于集合元素所組成的集合,稱為集合A與B的并集記作:∪;∪B={x|x∈,∈B}圖示:A
BA∪2.交集:一般地,由屬于集合A且于集合的元所組成的集合,叫做集合A與B的交(intersection記作:∩;∩B={x|∈,x∈交集的Venn圖表示3.補集:全集:一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素,那么就稱這個集合全集Universe通常記作U補集:對于全集U的一個子集A,由全集U中所有不屬于集合A的有元素組成集合稱為集合相于全集U的補集(complementary)簡稱為集合A的補,記作:A;CA={x|x∈且x∈A}說:補集的概念必須要有全集的限制補集的Venn圖表示4.集合基本運算的一些結論:
交集:A∩B,A∩BA∩A=A,∩=,A∩B=B∩
/
U
1212并集:∪,B∪,∪A=A∪A∪B=B∪補集(A)∪,()∩若A∩B=A,A,之也成
若A∪,A
B,反之也成立若x∈(∩x∈且x∈6.摩根反演律∩B)∪C=(∪C)∩A∪)(∪)∩C=(A∩C)∪(∩C)二函相概和質、函數(shù)念解式分函、合數(shù)概:)映函數(shù))函的示
若x∈(∪∈,xB列表法:用表格的形式表示兩個變量之間函數(shù)關系的方法,稱為列表法.圖象法:用圖象把兩個變量間的函數(shù)關系表示出來的方法,稱為圖象法.解析法:一個函數(shù)的對應關系可以用自變量的解析式表示出來,這種方法稱為解析法.)分函(分段函數(shù)的定義:在定義域的不同部分,有不同對應法則的函數(shù)稱為分段函數(shù).(分段函數(shù)的定義域和值域:分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,其值域是各段值域的并.)復函:是的數(shù),u又的函數(shù),即
y(),(x),x,b),(,n)
,那么y關于x的函
yf[f(x(a,b
,叫做f的合函數(shù)u做中間變量u的值范圍是
()
的值域。、函數(shù)義:()確定函數(shù)定義域的原則(四條)()復函數(shù)定義域的求法:①若已知
f[()]
的定義域為
a)求()
的定義域,其方法是:利用
a,得(x)
的范圍,此即
f(x
的定義域。②若已知
f(x
的定義域為
xab,f[g(x)]
的定義域,其方法是:利用
g(x,得x范圍,此即
f[()]
的定義域、函值求方:一、直接法:從自變量x的圍出發(fā),推出
yf()
的取值范圍。二、配方法(二次函數(shù)法法式求“二次函數(shù)類”值域的基本方法。形如F()af()x的函數(shù)的值域問題,均可使用配方法三、反函數(shù)法:利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系,通過求反函數(shù)的定義域,到原函數(shù)的值域。四、分離常數(shù)法:分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù),可用分離常數(shù)法,此類問題一般也可以反函數(shù)法。五、換元法:運用代數(shù)代換,獎所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù),從而求得原函數(shù)的值,形如yaxcx
(
、
、
c
、
均為常數(shù),且
)的函數(shù)常用此法求解。六、判別式法:把函數(shù)轉化成關于
x
的二次方程
,)
;通過方程有實數(shù)根,判別式
,從而求ax得原函數(shù)的值域,形如y11(、不時為零)的函數(shù)的值域,常用此方法求解。ax2七、函數(shù)的單調性法:確定函數(shù)在定義域(或某個定義域的子集)上的單調性,求出函數(shù)的值。八、利用函數(shù)的導數(shù)求最值:當一個函數(shù)在定義域上可導時,可據(jù)其導數(shù)求最值。九、利用重要的不等式:基本不等式求值域。十、圖像法(數(shù)形結合法圖像是掌握函數(shù)的重要手段,利用數(shù)形結合的方法,根據(jù)函數(shù)圖求得函數(shù)值域,是一種求值域的重要方法。注求函數(shù)的值域沒有通性解法,只有根據(jù)函數(shù)解析式的結構特征來確定相應的解法。但不論哪種方法都應遵循一個原則:定義域優(yōu)先的原則。、反數(shù)1)反函數(shù)的定義:
y
()/
2)原函數(shù)與反函數(shù)有兩個“交關系量與因變量、定義域與值.求一個函數(shù)的反函數(shù),分三步:逆解、交換、定域(確定原函數(shù)的值域,并作為反函數(shù)的定義注:
faf
()
,
f[f
(x)]
,
f
(x)]
,但
f[f
()]f
()]
.②函數(shù)yfx的反函數(shù)是y
()
,而不是f
(.、函的調:1)定義;特征:增(減)函數(shù),隨自變量x的增大而增大(減小從左邊往右邊看函數(shù)的圖象是上升的,減函數(shù)圖象是下降的.2)若函數(shù)
yx)
在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),則就說函數(shù)
yfx)
在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性,這一區(qū)間叫做函數(shù)
yx)
的單調區(qū)間此也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調函3)判斷證明函數(shù)單調性的一般驟是:⑴設x,x是定間內的任意兩個值,且x<;作差(x)-f(x),將差式變形(要注意變2112形的程度判f)-fx)的負(要注意說理的充分性根()-f()的號確定其212增減性4)復合函數(shù)單調性的判斷對于函數(shù)
y)
和
g(x
,如果
g(x
在區(qū)間
(a)
上是具有單調性,當
xa)
時,(,)
且
y)
在區(qū)間
(mn
上也具有單調性復合函數(shù)
yf((x))
在區(qū)間
(a)
具有單調性的規(guī)律見下表:以上規(guī)律還可總結為同向得增,異向得減”或“同增異減”、函奇性
y)g(xyf((x))
增↗減↘增↗減↘增↗減↘增↗減↘減↘增↗1、定義:如果對于函數(shù)()定義域內的任意都有(-x)=-(),則稱fx)為奇函數(shù);如果對于函數(shù)f(x)定義域內的任意都f-xf(),則稱f為偶函數(shù)。如果函數(shù)(不具有上述性質,則()不具有奇偶性如果函數(shù)同時具有上述兩條性質,則(既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)。注
意:eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)函是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質;eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)由函數(shù)的奇偶性定義可知,數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是,對于定義域內的任意一個x,則-x也定是定義域內的一個自變量(即定義域關于原點對稱()用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟:eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)首先定函數(shù)的定義域,并斷其定義域是否關于原點對稱;eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)確定f(-)與()的關系;eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,)作出應結論:若-)=f)或-x-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若-)-()或f-)+(x=,則fx)是奇函數(shù)。2、函數(shù)奇偶性的幾個性質:()偶函數(shù)的定義域關于原點對稱;()偶性是函數(shù)的整體性質,對定義域內任意一個x都必須成立;()
f((x)f(x)f()f()
是偶函數(shù),f((x)f(xf()f(x)
是奇函數(shù);()圖象的對稱性質:一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱;一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對;②設f(x),gx)的定義域分別是,那么在它的公共定義域上:12奇奇奇奇偶,偶偶偶偶偶,奇奇()據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類:奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)注任函數(shù)均可表示為一個奇函與一個偶函數(shù)之和,即:F()(x)(x其中gx)為奇數(shù),h(x)為偶函數(shù)/
hx
F()(()(),g()2、周性()義:如果存在使得對于函數(shù)定義域內的任意x,都有(x+T)=()的非零常數(shù)T,則稱fx)為周期函數(shù);()質:①(x+T)=(x常常寫作
f(
TT)f(x),2
若(x)的周期,存在一個最小的正數(shù),則稱它為fx)T的最小正周期;②若周期函數(shù)(x的周期為T,f(ω)(ω≠)是周期函數(shù),且周期為。、最()義:最大值:一般地,設函數(shù)y=fx)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿:①對于任的x∈,都有()≤;②存在x∈,使得()=。那么,稱M是函數(shù)=()最大值。最小值:一般地,設函數(shù)y=fx)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿:①對于任的x∈,都有()≥;②存在x∈,使得()=。那么,稱M是函數(shù)=()最大值。注意:①函數(shù)最大(小)首先應該是某一個函數(shù)值,即存在x∈I,使得f(x=;②函數(shù)最大(?。撌撬泻瘮?shù)值中最大(小)的,即對于任意I,都有(≤((≥()用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(?。┲档姆椒ǎ篹q\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)利用次函數(shù)的性質(配方)求函數(shù)的最大(小)值;eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)利用象求函數(shù)的最大(小值
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