西安電子科技大學(xué)2011秋研究生隨機(jī)過程試題

西安電子科技大學(xué)研究生課程考試試題考試科目：隨機(jī)過程課程編號(hào)：0721001考試日期：2012年1月4日考試時(shí)間：150分考試方式：(閉卷)任課教師：班號(hào)學(xué)生姓名：學(xué)號(hào)：一.（15分）隨機(jī)過程被稱為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，如果它滿足：(a)；(b)是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程；(c)對(duì)任意的，隨機(jī)變量。試計(jì)算或證明以下問題：(1)對(duì)于任意，定義，其中是實(shí)數(shù)，。證明隨機(jī)過程是一個(gè)正態(tài)過程。(2)對(duì)于任意，定義，計(jì)算隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和其一維密度函數(shù)。二.（12分）設(shè)為一個(gè)參數(shù)為1的泊松過程。證明：對(duì)任意的，其中。三.（13分）設(shè)是一個(gè)參數(shù)為σ2布朗運(yùn)動(dòng)。對(duì)任意的，定義。試回答下面的問題：(1)求隨機(jī)過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。(2)判斷隨機(jī)過程是否均方連續(xù)和均方可導(dǎo)。解（1）B是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),于是。（1分）因（1分）故由均方積分過程的相關(guān)函數(shù)等于被積過程相關(guān)函數(shù)的二重積分得:當(dāng)時(shí)（1分）當(dāng)時(shí)（1分）從而=1\*GB3①（1分）（2）由=1\*GB3①知,相關(guān)函數(shù)是二元連續(xù)函數(shù),從而過程X均方連續(xù)。注意到=2\*GB3②=3\*GB3③（3分）因偏導(dǎo)在處的連續(xù)性顯見,故在(t,t)處的一階偏導(dǎo)存在且為。進(jìn)一步由=2\*GB3②,=3\*GB3③不難得到=4\*GB3④=5\*GB3⑤（3分）從而在(t,t)處的二階偏導(dǎo)也存在,為,顯然是連續(xù)的。于是過程X的相關(guān)函數(shù)廣義二階可導(dǎo)，從而過程本身均方可導(dǎo)。（2分）四.（12分）設(shè)隨機(jī)過程是一個(gè)相關(guān)函數(shù)為(其中和)的平穩(wěn)過程。對(duì)任意的，定義。（1）證明隨機(jī)過程是平穩(wěn)過程。（2）求出過程的譜密度。證（1）因X是平穩(wěn)過程,故與時(shí)間t無關(guān)，對(duì)任何t成立。從而與t無關(guān)。（2分）（4分）即只與t-s有關(guān)。因此，Y是平穩(wěn)過程。（2）因（2分）故Y的譜密度（4分）五.（12分）設(shè)是一個(gè)具有有限方差的隨機(jī)變量。對(duì)任意的，定義。問：當(dāng)隨機(jī)變量滿足什么條件時(shí)，隨機(jī)過程具有均值和相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性。解由題設(shè)立得（3分）于是過程X是平穩(wěn)過程。由定義有X的時(shí)間平均：（2分）X的時(shí)間相關(guān)函數(shù)：（2分）因X的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性,即。（2分）X的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性,即。（2分）由上兩個(gè)等價(jià)條件中的任一個(gè)知,當(dāng)且僅當(dāng)幾乎必然是常數(shù)時(shí)，過程X才具有均值各態(tài)歷經(jīng)性和相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性。（1分）注：實(shí)過程X的均值各態(tài)歷經(jīng)性也可用如下判別條件因,故X的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性等價(jià)于，即幾乎必然是常數(shù)。相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性的其它等價(jià)判別條件需要至少具有四階矩，不在本題考慮范圍之內(nèi)。六.（12分）已知一齊次馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間，且其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為試回答下面的問題：(1)對(duì)狀態(tài)空間狀態(tài)分解。(2)求狀態(tài)5的首達(dá)概率和以及計(jì)算。七.（12分）設(shè)為一齊次馬爾可夫鏈的常返狀態(tài)且周期為，則一定有，其中為狀態(tài)的平均返回時(shí)間。證明下面的問題：(1)狀態(tài)為零常返當(dāng)且僅當(dāng)。(2)狀態(tài)為遍歷的當(dāng)且僅當(dāng)。八.（12分）設(shè)齊次馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間，且其