322立體幾何中的向量方法詳解-向量法求線線角與線面角

高二理科數(shù)學(xué)班別：_____________學(xué)號(hào)：_____________導(dǎo)教案姓名：___________§3。2立體幾何中的向量方法（4）向量法求線線角與線面角一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解直線與平面所成角的觀點(diǎn)．2．掌握利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的求法．二、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)問(wèn)題1：什么叫異面直線所成的角？它的范圍是什么？如何用定義法求它的大小？問(wèn)題2：如何經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)求異面直線所成的角？設(shè)l1與l2是兩異面直線，a、b分別為l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角為θ，則〈a，b〉與θ，cosθ＝。問(wèn)題3:用向量的數(shù)目積能夠求異面直線所成的角，可否求線面角？如圖，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A,a為l的方向向量，n為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，θ＝<a,n>,則sinφ＝。三、例題研究例1．如圖，M、N分別是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中點(diǎn)．求異面直線MN與CD'所成的角．變式：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在A1B1上，則直線PQ與直線AM所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°1例2．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB,AB＝AA1，∠BAA1＝60°。1）證明：AB⊥A1C；2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB＝CB＝2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．變式：如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形,AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)．求BD與平面ADMN所成的角θ.四、練一練（時(shí)間：5分鐘）1．若平面α的法向量為μ,直線l的方向向量為v，直線l與平面α的夾角為θ，則以下關(guān)系式成立的是（）A．cosθ＝錯(cuò)誤!B．cosθ＝錯(cuò)誤!C．sinθ＝錯(cuò)誤!D．sinθ＝錯(cuò)誤!11111111A1B1，D1F1C1E14A1則BE1與DF1所成角的余弦值是（)B115B．18D．3DCA．C．172172AB3．正三棱柱ABC—ABC的全部棱長(zhǎng)相等,則AC與面BBCC所成角的余弦值為（)111111A．錯(cuò)誤!B．錯(cuò)誤!C．錯(cuò)誤!D．錯(cuò)誤!4．已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，則直線BC1和平面DBB1D12所成角的正弦值為()A.錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!5．正四棱錐S—ABCD,O為極點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角為．【參照答案】§3。2立體幾何中的向量方法(4)向量法求線線角與線面角一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解直線與平面所成角的觀點(diǎn)．2．掌握利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的求法．用向量方法求空間中的角角的分類向量求法范圍異面直線設(shè)兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量為a，b，（0，所成的角則cosθ＝|cos〈a,b〉｜＝.錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!］直線與平面所成的角二面角

設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則sinθ＝|cos|〈a,n>＝。錯(cuò)誤!設(shè)二面角α-l—β的平面角為θ，平面α、β的法向量為n1，n2,則｜c(diǎn)osθ｜＝｜c(diǎn)os〈n1,n1〉｜＝錯(cuò)誤!.

π［0，2][0，π]1．求異面直線所成的角設(shè)l1與l2是兩異面直線，a、b分別為l1、l2的方向向量,l1、l2所成的角為θ，則〈a，b〉與θ相等或互補(bǔ)，∴cosθ＝錯(cuò)誤!。2．求直線與平面所成的角如圖，設(shè)l為平面α的斜線,l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量,φ為l|a·n｜與α所成的角,θ＝〈a，n〉，則sinφ＝|cosθ｜＝|cos〈a，n〉|＝｜a|｜n|。3二、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)問(wèn)題1：什么叫異面直線所成的角？它的范圍是什么？如何用定義法求它的大小？問(wèn)題2：如何經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)求異面直線所成的角？設(shè)l1與l2是兩異面直線，a、b分別為l1、l2的方向向量,l1、l2所成的角為θ，則<a，b〉與θ，cosθ＝。問(wèn)題3：用向量的數(shù)目積能夠求異面直線所成的角,可否求線面角？如圖,設(shè)l為平面α的斜線,l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，θ＝〈a,n〉,則sinφ＝。三、例題研究例1．如圖,M、N分別是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中點(diǎn)．求異面直線MN與CD'所成的角．【答案】60°變式：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B1上，則直線PQ與直線AM所成的角等于(）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]D4［分析］以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸,AA1為z軸成立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝1,A(0,0，0),M（0,1，錯(cuò)誤!),Q（錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，0）,設(shè)P（x,0,1)，∴錯(cuò)誤!＝(0，1，錯(cuò)誤!)，錯(cuò)誤!＝(錯(cuò)誤!－x,錯(cuò)誤!，－1），錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!＝0×(錯(cuò)誤!x）＋1×錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!×（－1)＝0,錯(cuò)誤!⊥錯(cuò)誤!，∴選D。[評(píng)論］1．求異面直線所成的角的常用方法是:(1)作圖——證明——計(jì)算；（2）把角的求解轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄窟\(yùn)算．2．一般地，若直線AM和點(diǎn)Q固定,點(diǎn)P改動(dòng),則直線AM與PQ所成的角為變量,若此角不隨P的變化而變化,則只好是AM⊥平面P1P2Q(此中P1、P2是P運(yùn)動(dòng)軌跡中的兩個(gè)點(diǎn)），應(yīng)選D.例2．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中,CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.1)證明：AB⊥A1C；2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．［分析](1）取AB中點(diǎn)O,連結(jié)CO，A1B，A1O，AB＝AA1，∠BAA1＝60°,∴△BAA1是正三角形,A1O⊥AB，CA＝CB,∴CO⊥AB，5CO∩A1O＝O,∴AB⊥平面COA1,AB⊥A1C。2）由(1）知OC⊥AB，OA1⊥AB,又∵平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，∴OC⊥平面ABB1A1，OC⊥OA1,∴OA,OC，OA1兩兩互相垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，錯(cuò)誤!的方向?yàn)閤軸正方向，｜錯(cuò)誤!｜為單位長(zhǎng)度，成立如下圖空間直角坐標(biāo)系O－xyz,由題設(shè)知A（1，0,0)，A1(0,錯(cuò)誤!,0），C（0，0,錯(cuò)誤!),B（－1，0,0)，則錯(cuò)誤!＝(1，0,3)，錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝（－1，錯(cuò)誤!，0），錯(cuò)誤!＝（0，－錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!)，設(shè)n＝（x,y，z）是平面CBB1C1的法向量，則錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤!可取n＝(錯(cuò)誤!，1,－1）,∴cos〈n，錯(cuò)誤!〉＝錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!,∴直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為錯(cuò)誤!.變式：如圖,在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC,∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)．求BD與平面ADMN所成的角θ。［分析]如下圖，成立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC＝1，則A(0，0,0)，B(2,0,0），D（0,2，0)，P(0，0,2)，則N(1，0，1)．6∴錯(cuò)誤!＝(－2,2，0），錯(cuò)誤!＝（0,2,0）,錯(cuò)誤!＝（1,0,1），設(shè)平面ADMN的一個(gè)法向量為n＝(x,y，z），則由錯(cuò)誤!，得錯(cuò)誤!，取x＝1，則z＝－1,∴n＝（1,0，－1）．cos〈錯(cuò)誤!，n〉＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!，∴sinθ＝｜c(diǎn)os〈錯(cuò)誤!，n〉|＝錯(cuò)誤!。又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°。方法例律總結(jié)用向量方法求異面直線所成的角、線面角、二面角,都是轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€的方向向量或平面的法向量的夾角計(jì)算問(wèn)題，需注意的是①異面直線所成的角θ∈(0,錯(cuò)誤!]，故兩直線的方向向量夾角α的余弦值為負(fù)時(shí)，應(yīng)取其絕對(duì)值；②若直線與平面所成的角θ，直線的方向向量和平面的法向量夾角為φ，則其關(guān)系為sinθ＝|cosφ｜；③若二面角為θ，兩平面的法向量夾角為α，則｜c(diǎn)osθ｜＝|cosα｜,需分辨角θ是銳角仍是鈍角，可由圖形察看得出,也可由法向量特點(diǎn)得出．四、練一練(時(shí)間:5分鐘)1。若平面α的法向量為μ,直線l的方向向量為v,直線l與平面α的夾角為θ，則以下關(guān)系式成立的是（)7A．cosθ＝μ·vB．cosθ＝錯(cuò)誤!C．sinθ＝錯(cuò)誤!D．sinθ＝錯(cuò)誤!|μ||v|[答案]DA1B1,F1C12．如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，B1E1＝D1F1＝D14E1則BE1與DF1所成角的余弦值是(）A1B115183DCA．B．C．D．172172AB[答案]A[分析］如下圖，成立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝4，則D(0，0,0）,B（4，4，0)，E1(4,3，4)，F(xiàn)1(0，1,4)，則錯(cuò)誤!=(0,－1,4），錯(cuò)誤!=(0，1，4）．F1C1D1E錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!＝0×0＋（－1)×1＋4×4＝15，|錯(cuò)誤!｜=錯(cuò)誤!，｜錯(cuò)誤!|=錯(cuò)誤!，1A1B1∵cos〈錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!〉=錯(cuò)誤!＝=錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，設(shè)BE1與DF1所成的角為θ，則cosθ=|錯(cuò)誤!｜=錯(cuò)誤!，DCAB即BE1與DF1所成的角的余弦值為錯(cuò)誤!．應(yīng)選A．3．正三棱柱ABC—ABC的全部棱長(zhǎng)相等,則AC與平面BBCC所成角的余弦值為（）111111A、錯(cuò)誤!B、錯(cuò)誤!C、錯(cuò)誤!A1C1D、錯(cuò)誤!［答案]BB1[分析］取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)DC1,能夠證明AD平面BB1C1C,AC則AC1D是AC1與平面BB1C1C所成的角，DBcos1C1D510111所成角的余弦值為10，應(yīng)選B。AC122444．已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝BC＝4，CC1＝2，則直線BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值為()A。錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤!C。錯(cuò)誤!D。錯(cuò)誤![答案]C8［分析]解法一：連結(jié)A1C1交B1D1于O點(diǎn)，由已知條件得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，因此C1O⊥平面BDD1B1，連結(jié)BO，則BO為BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即為所求，經(jīng)過(guò)計(jì)算得sin∠C1BO＝錯(cuò)誤!,應(yīng)選C.解法二：以A為原點(diǎn)，AB、AD、AA1為x軸、y軸、z軸成立空間直角坐標(biāo)系，則B→→4,0,0）、B1（4，0，2)、D(0,4，0)、D1（0，4，2）、C1(4,4，2），∴BC1＝(0，4，2）,BD，＝(－4,4,0），錯(cuò)誤!＝(0,0,2)，設(shè)平面BDD1B1的法向量為n＝（x,y，z),則錯(cuò)誤!，∴錯(cuò)誤!，∴錯(cuò)誤!，取x＝1，則n＝(1，1，0)．→設(shè)所求線面角為α，則sinα＝|cos〈n，BC1>|＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。5．正四棱錐S—ABCD中，O為極點(diǎn)S在底面ABCD上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角為．S[答案]30°[分析]可利用平面的法向量。PADOBC9講堂小結(jié):1．異面直線l，m的方向向量為a，b，則l與m所成的角即為a、b所成的