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本文格式為Word版,下載可任意編輯——余弦定理公式余弦正弦定理用好
正弦定理和余弦定理是解三角形的重要學(xué)識(shí)和工具.解三角形是指由六個(gè)元素(三條邊和三個(gè)角)中的三個(gè)元素(至少一個(gè)是邊),求其余三個(gè)未知元素的過程,下面本文結(jié)合例題說明如何用好正弦、余弦定理.
例1
已知在△ABC中,?A=45?°?,C=30?°?,c=10,?求a,b和B.
分析已知兩角A,B,可由?A+B+?C=?180?°??求出角C,再用正弦定理求出其他角和邊.
解由于A=45?°?,C=30?°?,
所以?B=180?°?-(A+C)=105?°?.
由a?sinA=c?sinC?得?a=c?sinA?sinC=10×?sin45?°??sin30?°?=102.?
由?b?sinB=c?sinC得b=c?sinB?sinC=10×?sin105?°??sin30?°?=20??sin75?°?=20×6+24=56+52.?
所以?a=10?2,b=5?6+5?2,B=105?°?.?
評注
解三角形問題要留神正弦定理、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用.有時(shí)解三角形的方法不確定只有一種,如本例中b也可以用余弦定理來求.
例2
在△ABC中,已知?a=2,?b=??22?,C=15?°?,?求角A,B和邊c的值.
分析由條件和角C為邊a,b的夾角,自然應(yīng)先由余弦定理求邊c的值.
解由余弦定理知?c?2=a?2+b?2-2ab?cosC=8-43,所以c=6-2.?
再由正弦定理?a?sinA=c?sinC,得?sinA=a?sinCc=12,因b>a,故A=30?°?,所以B=180?°?-A-C=135?°?.?
評注已知兩邊及其夾角解斜三角形可運(yùn)用余弦定理.求出第三邊后,再生動(dòng)選用正弦、余弦定理求角.若選用正弦定理來解,要留神制止增解的處境,一般根據(jù)大邊對大角的性質(zhì)判斷出較小的角,先求小角,后求大角;此題求角也可用余弦定理,由于余弦函數(shù)在[0,?π?]上單調(diào)遞減,這種方法還不需要議論角的大小,有興趣的同學(xué)不妨動(dòng)手一試.
已知△ABC中,?a?∶?b?∶?c=?2∶??6∶?(3+1),?求△ABC的各角度數(shù).
分析題目中給出三邊的比例,卻沒有給出一條線段的長度,余弦定理還使用不起來,引入一個(gè)字母k,用k表示a,b,c,再由余弦定理求解各角.
解由于?a?∶?b?∶?c=2?∶?6∶(3+1),所以令a=2k,b=6k,c=(3+1)k(k>0).?
由余弦定理有??cosA=b?2+c?2-a?22bc=22,所以A=45?°?.故?cosB=a?2+c?2-b?22ac=12,故B=60?°?.?
所以?C=180?°?-A-B=75?°?.?
評注根據(jù)問題給出的條件?a∶b∶c=2∶6∶(3+1),設(shè)a=2k,b=6k,c=(3+1)k(k>0),?為使用余弦定理求角創(chuàng)造條件,這里應(yīng)充分?jǐn)喽╧的橋梁作用!一橋飛架南北,天塹變通途!
例4
在△ABC中,已知?a=3,b=2,B=45?°?,?求邊c.
分析此題是已知三角形的兩邊及其中某一邊的對角,求第三條邊,一種方法是先由正弦定理求出另一邊所對的角,再由內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,再用正弦定理求第三條邊;另一種方法是直接由余弦定理建立方程然后求解.
解法1由于?a?sinA=b?sinB,?
所以??sinA=a??sinBb=3×?sin??45?°?2=32.?
又?b<a,所以B<A.所以A=60?°??或120?°?.
當(dāng)?A=60?°?時(shí),C=75?°?,?
?c=b?sinC?sinB=2?sin??75?°??sin??45?°?=6+22;?
當(dāng)?A=120?°?時(shí),C=15?°?,?
?c=b?sinC?sinB=2?sin??15?°??sin??45?°?=6-22.?
解法2由于?b?2=a?2+c?2-2ac?cosB,所以2=3+c?2-23?cos??45?°?c,即c?2-6c+?1=?0.解得c=6±22.?
評注①已知三角形的兩邊及其中某一邊的對角不能唯一確定三角形,解這類三角形問題可能展現(xiàn)一解、兩解、無解的處境,這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角”及幾何圖形扶助理解.
②解三角形時(shí),主要用到兩種數(shù)學(xué)思想方法:一是利用圖形和三角形幾何性質(zhì)舉行分類議論的思想方法;二是函數(shù)方程的思想方法.
1.已知在△ABC中,?A=30?°?,B=30?°?.?
(1)若?a=1,?求b,c和C;
(2)若?c=1,?求a,b和C.
2.已知在△ABC中,?a=3,b=2.?
(1)若?A=60?°?,?求邊c;
(2)若?B=30?°?,?求邊c.
(2)?C=180?°?-A-B=120?°?,a=c?sinA?sinC=33,b=c?sinB?sinC=33.
2?(1)由于?a?2=b?2+c?2-2bc?cosA,所以3=2+c?2-22c?cos60?°?
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