余弦定理公式

本文格式為Word版，下載可任意編輯——余弦定理公式余弦正弦定理用好

正弦定理和余弦定理是解三角形的重要學(xué)識和工具.解三角形是指由六個元素（三條邊和三個角）中的三個元素（至少一個是邊），求其余三個未知元素的過程，下面本文結(jié)合例題說明如何用好正弦、余弦定理.

例1

已知在△ABC中，?A=45?°?，C=30?°?，c=10，?求a，b和B.

分析已知兩角A，B，可由?A+B+?C=?180?°??求出角C，再用正弦定理求出其他角和邊.

解由于A=45?°?，C=30?°?，

所以?B=180?°?-（A+C）=105?°?.

由a?sinA=c?sinC?得?a=c?sinA?sinC=10×?sin45?°??sin30?°?=102.?

由?b?sinB=c?sinC得b=c?sinB?sinC=10×?sin105?°??sin30?°?=20??sin75?°?=20×6+24=56+52.?

所以?a=10?2，b=5?6+5?2，B=105?°?.?

評注

解三角形問題要留神正弦定理、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用.有時解三角形的方法不確定只有一種，如本例中b也可以用余弦定理來求.

例2

在△ABC中，已知?a=2，?b=??22?，C=15?°?，?求角A，B和邊c的值.

分析由條件和角C為邊a，b的夾角，自然應(yīng)先由余弦定理求邊c的值.

解由余弦定理知?c?2=a?2+b?2-2ab?cosC=8-43，所以c=6-2.?

再由正弦定理?a?sinA=c?sinC，得?sinA=a?sinCc=12，因b＞a，故A=30?°?，所以B=180?°?-A-C=135?°?.?

評注已知兩邊及其夾角解斜三角形可運用余弦定理.求出第三邊后，再生動選用正弦、余弦定理求角.若選用正弦定理來解，要留神制止增解的處境，一般根據(jù)大邊對大角的性質(zhì)判斷出較小的角，先求小角，后求大角；此題求角也可用余弦定理，由于余弦函數(shù)在［0，?π?］上單調(diào)遞減，這種方法還不需要議論角的大小，有興趣的同學(xué)不妨動手一試.

已知△ABC中，?a?∶?b?∶?c=?2∶??6∶?（3+1），?求△ABC的各角度數(shù).

分析題目中給出三邊的比例，卻沒有給出一條線段的長度，余弦定理還使用不起來，引入一個字母k，用k表示a，b，c，再由余弦定理求解各角.

解由于?a?∶?b?∶?c=2?∶?6∶（3+1），所以令a=2k，b=6k，c=（3+1）k（k＞0）.?

由余弦定理有??cosA=b?2+c?2-a?22bc=22，所以A=45?°?.故?cosB=a?2+c?2-b?22ac=12，故B=60?°?.?

所以?C=180?°?-A-B=75?°?.?

評注根據(jù)問題給出的條件?a∶b∶c=2∶6∶（3+1），設(shè)a=2k，b=6k，c=（3+1）k（k＞0），?為使用余弦定理求角創(chuàng)造條件，這里應(yīng)充分?jǐn)喽╧的橋梁作用！一橋飛架南北，天塹變通途！

例4

在△ABC中，已知?a=3，b=2，B=45?°?，?求邊c.

分析此題是已知三角形的兩邊及其中某一邊的對角，求第三條邊，一種方法是先由正弦定理求出另一邊所對的角，再由內(nèi)角和定理求出第三個角，再用正弦定理求第三條邊；另一種方法是直接由余弦定理建立方程然后求解.

解法1由于?a?sinA=b?sinB，?

所以??sinA=a??sinBb=3×?sin??45?°?2=32.?

又?b＜a，所以B＜A.所以A=60?°??或120?°?.

當(dāng)?A=60?°?時，C=75?°?，?

?c=b?sinC?sinB=2?sin??75?°??sin??45?°?=6+22；?

當(dāng)?A=120?°?時，C=15?°?，?

?c=b?sinC?sinB=2?sin??15?°??sin??45?°?=6-22.?

解法2由于?b?2=a?2+c?2-2ac?cosB，所以2=3+c?2-23?cos??45?°?c，即c?2-6c+?1=?0.解得c=6±22.?

評注①已知三角形的兩邊及其中某一邊的對角不能唯一確定三角形，解這類三角形問題可能展現(xiàn)一解、兩解、無解的處境，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角”及幾何圖形扶助理解.

②解三角形時，主要用到兩種數(shù)學(xué)思想方法：一是利用圖形和三角形幾何性質(zhì)舉行分類議論的思想方法；二是函數(shù)方程的思想方法.

1.已知在△ABC中，?A=30?°?，B＝30?°?.?

（1）若?a=1，?求b，c和C；

（2）若?c=1，?求a，b和C.

2.已知在△ABC中，?a=3，b=2.?

（1）若?A=60?°?，?求邊c；

（2）若?B=30?°?，?求邊c.

（2）?C=180?°?-A-B=120?°?，a=c?sinA?sinC=33，b=c?sinB?sinC=33.

2?（1）由于?a?2=b?2+c?2-2bc?cosA，所以3=2+c?2-22c?cos60?°?