數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題(含答案)及答案

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一、銳角三角函數(shù)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）

1．如圖，山坡上有一棵樹AB，樹底部B點(diǎn)到山足C點(diǎn)的距離BC為63米，山坡的坡角為30°．小寧在山足的平地F處測量這棵樹的高，點(diǎn)C到測角儀EF的水平距離CF=1米，從E處測得樹頂部A的仰角為45°，樹底部B的仰角為20°，求樹AB的高度．（參考數(shù)

值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

【答案】6.4米

【解析】

解：∵底部B點(diǎn)到山足C點(diǎn)的距離BC為63米，山坡的坡角為30°．

∴DC=BC?cos30°=3

=?=米，

639

2

∵CF=1米，

∴DC=9+1=10米，

∴GE=10米，

∵∠AEG=45°，

∴AG=EG=10米，

在直角三角形BGF中，

BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米，

∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，

答：樹高約為6.4米

首先在直角三角形BDC中求得DC的長，然后求得DF的長，進(jìn)而求得GF的長，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的長，從而求得樹高

2．如圖，從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ，測得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°，向前走6m到達(dá)B點(diǎn)，測得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分不是60°和30°．

（1）求∠BPQ的度數(shù)；

（2）求該電線桿PQ的高度（結(jié)果精確到1m）．備用數(shù)據(jù)：，

【答案】（1）∠BPQ=30°；

（2）該電線桿PQ的高度約為9m．

【解析】

試題分析：（1）延長PQ交直線AB于點(diǎn)E，依照直角三角形兩銳角互余求得即可；

（2）設(shè)PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，依照三角函數(shù)利用x表示出AE和BE，依照AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函數(shù)求得QE的長，則PQ的長度即可求解．

試題解析：延長PQ交直線AB于點(diǎn)E，

（1）∠BPQ=90°-60°=30°；

（2）設(shè)PE=x米．

在直角△APE中，∠A=45°，

則AE=PE=x米；

∵∠PBE=60°

∴∠BPE=30°

在直角△BPE中，33

米，

∵AB=AE-BE=6米，

則x-

3

3

x=6，

解得：3

則BE=（3）米．

在直角△BEQ中，QE=

3

3

BE=

3

3

（3+3）=（3）米．

∴3（3）3（米）．

答：電線桿PQ的高度約9米．

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角咨詢題．

3．咨詢題背景:

如圖（a）,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們能夠作出點(diǎn)B對于l的對稱點(diǎn)B′,連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求.

（1）實(shí)踐運(yùn)用：

如圖(b)，已知，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A在⊙O上，∠ACD=30°，B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動點(diǎn)，則BP+AP的最小值為．

（2）知識拓展：

如圖(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分不是線段AD和AB上的動點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程．

【答案】解：（1）22．

（2）如圖，在歪邊AC上截取AB′=AB，連接BB′．

∵AD平分∠BAC，∴點(diǎn)B與點(diǎn)B′對于直線AD對稱．

過點(diǎn)B′作B′F⊥AB,垂腳為F，交AD于E，連接BE．

則線段B′F的長即為所求(點(diǎn)到直線的距離最短)．

在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450,AB/="AB="10，

∴．

∴BE+EF的最小值為

【解析】

試題分析：（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B對于CD的對稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P算是所求作的位置，依照題意先求出∠C′AE，再依照勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：

如圖作點(diǎn)B對于CD的對稱點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P，此刻PA+PB最小，且等于A．作直徑AC′，連接C′E，

依照垂徑定理得弧BD=弧DE．

∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．

∴∠C′AE=45°．

又AC為圓的直徑，∴∠AEC′=90°．

∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=22．

∴AP+BP的最小值是22．

（2）首先在歪邊AC上截取AB′=AB，連接BB′，再過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，垂腳為F，交AD于E，連接BE，則線段B′F的長即為所求．

4．如圖，拋物線y=﹣x2+3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線上且橫坐標(biāo)為3．

（1）求tan∠DBC的值；

（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且∠DBP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）tan∠DBC=；

（2）P（﹣，）．

【解析】

試題分析：（1）連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．利用拋物線解析式能夠求得點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，則可得CD//AB，OB=OC，因此∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形

的性質(zhì)、勾股定理和圖中相關(guān)線段間的關(guān)系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；

（2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的結(jié)果得到：tan∠PBF=．設(shè)P（x，﹣x2+3x+4），則利用銳角三角函數(shù)定義推知

=，經(jīng)過解方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）．

試題解析：

（1）令y=0，則﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，

解得x1=﹣1，x2=4．

∴A（﹣1，0），B（4，0）．

當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣32+3×3+4=4，

∴D（3，4）．

如圖，連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．

∵C（0，4），

∴CD//AB，

∴∠BCD=∠ABC=45°．

在直角△OBC中，∵OC=OB=4，

∴BC=4．

在直角△CDE中，CD=3．

∴CE=ED=，

∴BE=BC﹣DE=．

∴tan∠DBC=；

（2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F．

∵∠CBF=∠DBP=45°，

∴∠PBF=∠DBC，

∴tan∠PBF=．

設(shè)P（x，﹣x2+3x+4），則=，

解得x1=﹣，x2=4（舍去），

∴P（﹣，）．

考點(diǎn)：1、二次函數(shù)；2、勾股定理；3、三角函數(shù)

5．如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，動點(diǎn)D從點(diǎn)A動身，在AB旁邊以每秒1個單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，連結(jié)CD，作點(diǎn)A對于直線CD的對稱點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動時(shí)刻為t（s）．

（1）若△BDE是以BE為底的等腰三角形，求t的值；

（2）若△BDE為直角三角形，求t的值；

（3）當(dāng)S△BCE≤9

2

時(shí)，所有滿腳條件的t的取值范圍（所有數(shù)據(jù)請保留準(zhǔn)確值，參考

數(shù)據(jù)：tan15°=23

【答案】（1）33

2

；（23秒或3秒；（3）6﹣3

【解析】

【分析】

（1）如圖1，先由勾股定理求得AB的長，依照點(diǎn)A、E對于直線CD的對稱，得CD垂直平分AE，依照線段垂直平分線的性質(zhì)得：AD=DE，因此AD=DE=BD，由3，可得t的值；

（2）分兩種事情：

①當(dāng)∠DEB=90°時(shí)，如圖2，連接AE，依照3t的值；

②當(dāng)∠EDB=90°時(shí)，如圖3，依照△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四邊形CAED是平行四邊形，因此AD=CE=3，即t=3；

（3）△BCE中，由對稱得：AC=CE=3，因此點(diǎn)D在運(yùn)動過程中，CE的長別變，因此△BCE面積的變化取決于以CE作底邊時(shí)，對應(yīng)高的大小變化，

①當(dāng)△BCE在BC的下方時(shí)，

②當(dāng)△BCE在BC的上方時(shí)，

分不計(jì)算當(dāng)高為3時(shí)對應(yīng)的t的值即可得結(jié)論．

【詳解】

解：（1）如圖1，連接AE，

由題意得：AD=t，

∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，

∴BC=2AC=6，

∴22

63

3

∵點(diǎn)A、E對于直線CD的對稱，

∴CD垂直平分AE，

∴AD=DE，

∵△BDE是以BE為底的等腰三角形，

∴DE=BD，

∴AD=BD，

∴；

（2）△BDE為直角三角形時(shí)，分兩種事情：

①當(dāng)∠DEB=90°時(shí)，如圖2，連接AE，

∵CD垂直平分AE，

∴AD=DE=t，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=2t，

∴

∴

②當(dāng)∠EDB=90°時(shí)，如圖3，

連接CE，

∵CD垂直平分AE，

∴CE=CA=3，

∵∠CAD=∠EDB=90°，

∴AC∥ED，

∴∠CAG=∠GED，

∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，

∴△AGC≌△EGD，

∴AC=DE，

∵AC∥ED，

∴四邊形CAED是平行四邊形，

∴AD=CE=3，即t=3；

綜上所述，△BDE為直角三角形時(shí)，t3秒；

（3）△BCE中，由對稱得：AC=CE=3，因此點(diǎn)D在運(yùn)動過程中，CE的長別變，因此△BCE面積的變化取決于以CE作底邊時(shí)，對應(yīng)高的大小變化，

①當(dāng)△BCE在BC的下方時(shí)，過B作BH⊥CE，交CE的延長線于H，如圖4，當(dāng)AC=BH=3時(shí)，

此刻S△BCE=1

2

AE?BH=

1

2

×3×3=

9

2

，

易得△ACG≌△HBG，∴CG=BG，

∴∠ABC=∠BCG=30°，

∴∠ACE=60°﹣30°=30°，

∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，

∴∠ACD=∠DCE=15°，

tan∠ACD=tan15°=t

3

=2﹣3，

∴t=6﹣33，

由圖形可知：0＜t＜6﹣33時(shí)，△BCE的BH越來越小，則面積越來越小，②當(dāng)△BCE在BC的上方時(shí)，如圖3，CE=ED=3，且CE⊥ED，

此刻S△BCE=1

2

CE?DE=

1

2

×3×3=

9

2

，此刻t=3，

綜上所述，當(dāng)S△BCE≤9

2

時(shí)，t的取值范圍是6﹣33≤t≤3．

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積咨詢題、軸對稱等知識，解題的關(guān)鍵是靈便運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會用分類討論的思想考慮咨詢題，學(xué)會尋覓特別點(diǎn)解決咨詢題，屬于中考壓軸題．

6．拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）過點(diǎn)A(1,﹣1)，B(5,﹣1)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線表達(dá)式；

（2）如圖1，連接CB，以CB為邊作?CBPQ，若點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，Q為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且?CBPQ的面積為30，

①求點(diǎn)P坐標(biāo);

②過此二點(diǎn)的直線交y軸于F,此直線上一動點(diǎn)G,當(dāng)2

最小時(shí),求點(diǎn)G坐標(biāo).

（3）如圖2，⊙O1過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，AE為直徑，點(diǎn)M為上的一動點(diǎn)（別與點(diǎn)A，E重

合），∠MBN為直角，邊BN與ME的延長線交于N，求線段BN長度的最大值

【答案】（1）y=x2﹣6x+4（2）①P(2,-4)或P(3,-5)②G(0,-2)（3）313

【解析】

【分析】

（1）把點(diǎn)A（1，-1），B（5，-1）代入拋物線y=ax2+bx+4解析式，即可得出拋物線的表達(dá)式；

（2）①如圖，連接PC，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于R，可求得直線BC的解析式

為：y=-x+4，設(shè)點(diǎn)P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因?yàn)?CBPQ的面積為30，因此S△PBC=12

×(?t+4?t2+6t?4)×5＝15，解得t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P為（2，-4）時(shí)，求

得直線QP的解析式為：y=-x-2，得F（0，-2），∠GOR=45°，因?yàn)镚B+

22

GF=GB+GR，因此當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，即可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P為（3，-5）時(shí)，同理可求；

（3）先用面積法求出sin∠ACB=

13

13

，tan∠ACB=

2

3

，在Rt△ABE中，求得圓的直徑，

因?yàn)镸B⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因?yàn)閠anN=MB

BN

＝

2

3

，因此BN=

3

2

MB，當(dāng)MB為

直徑時(shí)，BN的長度最大．

【詳解】

(1)解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）過點(diǎn)A（1，-1），B（5，-1），

∴

14

12554

ab

ab

-++

?

?

-++

?

＝

，

＝

解得

1

6

a

b

?

?

-

?

＝

，

＝

∴拋物線表達(dá)式為y=x2﹣6x+4．

(2)①如圖，連接PC，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于R，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，∵B（5，-1），C（0，4），

∴

15

4

km

m

-+

?

?

?

＝

＝

，解得

1

4

k

m

＝

，

＝

-

?

?

?

∴直線BC的解析式為：y=-x+4，

設(shè)點(diǎn)P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），

∵?CBPQ的面積為30，

∴S△PBC=1

2

×(?t+4?t2+6t?4)×5＝15，

解得t=2或t=3，

當(dāng)t=2時(shí)，y=-4

當(dāng)t=3時(shí)，y=-5，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，-4）或（3，-5）；

②當(dāng)點(diǎn)P為（2，-4）時(shí)，

∵直線BC解析式為：y=-x+4，QP∥BC，

設(shè)直線QP的解析式為：y=-x+n，

將點(diǎn)P代入，得-4=-2+n，n=-2，

∴直線QP的解析式為：y=-x-2，

∴F（0，-2），∠GOR=45°，

∴GB+2

2

GF=GB+GR

當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，此刻點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，-2），同理，當(dāng)點(diǎn)P為（3，-5）時(shí)，直線QP的解析式為：y=-x-2，

同理可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，-2），

(3)）∵A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），