2020-2021人教版數(shù)學(xué)第二冊(cè)教師用書(shū)：第8章 8.68.6.2直線與平面垂直含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2020-2021學(xué)年新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教師用書(shū)：第8章8.68.6.2直線與平面垂直含解析8.6。2學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解直線與平面垂直的定義．(重點(diǎn))2。理解直線與平面垂直的判定定理,并會(huì)用其判斷直線與平面垂直．（難點(diǎn))3。理解直線與平面所成角的概念,并能解決簡(jiǎn)單的線面角問(wèn)題．（易錯(cuò)點(diǎn))4。能利用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明．（重點(diǎn))1。通過(guò)學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.通過(guò)學(xué)習(xí)直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。木工要檢查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向）檢查兩次,如圖．如果兩次檢查時(shí)，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直．問(wèn)題：（1)用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？（2）上述問(wèn)題說(shuō)明了直線與平面垂直的條件是什么?1．直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足畫(huà)法畫(huà)直線與平面垂直時(shí),通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直圖示性質(zhì)過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條垂線段與點(diǎn)面距過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離2.直線與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α,a∩b＝P?l⊥α圖形語(yǔ)言3。直線和平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線l與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面α垂直，圖中直線PA斜足斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)A射影過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影直線和平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角規(guī)定:一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍[0°,90°］思考：直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“任意一條直線"是否可以換成“所有直線”“無(wú)數(shù)條直線”？[提示]定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是等效的，但是不可說(shuō)成“無(wú)數(shù)條直線”,因?yàn)橐粭l直線與某平面內(nèi)無(wú)數(shù)條平行直線垂直，該直線與這個(gè)平面不一定垂直．4．直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（a⊥α,b⊥α）)?a∥b圖形語(yǔ)言作用①線面垂直?線線平行②作平行線5。直線與平面、平面與平面的距離(1）直線與平面的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí),這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．(2）平面與平面的距離如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．1．思考辨析（正確的畫(huà)“√",錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）(1)如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直． (）（2）若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直． （）（3)若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線． （)(4）若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線,則這條直線垂直于兩腰所在的直線． ()［答案］（1)×（2)×（3）√（4)×2．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直,則直線OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC[由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]3．在四棱臺(tái)ABCD。A1B1C1D1中，若點(diǎn)A1到平面ABCD的距離為4,則直線A1B1到平面ABCD的距離為_(kāi)_____,平面ABCD到平面A1B1C1D44[根據(jù)直線與平面的距離、平面與平面的距離的概念可知,直線A1B1到平面ABCD的距離為4，平面ABCD到平面A1B1C1D14．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD45°［如圖所示，因?yàn)檎襟wABCD.A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即為AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即為直線AB1與平面ABCD所成的角．由題意知，∠B1AB＝45°，故所求角為45°。]直線與平面垂直的判定【例1】如圖，在三棱錐S.ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn),且SA＝SB＝SC．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC．［證明]（1)因?yàn)镾A＝SC，D是AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中,AD＝BD，由已知SA＝SB,所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC．（2）因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC．由（1)知SD⊥BD．又因?yàn)镾D∩AC＝D,SD，AC?平面SAC,所以BD⊥平面SAC．證線面垂直的方法1線線垂直證明線面垂直：①定義法不常用，但由線面垂直可得出線線垂直；②判定定理最常用：要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線有時(shí)作輔助線；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等及一條直線與平行線中一條垂直,也與另一條垂直等結(jié)論來(lái)論證線線垂直。2平行轉(zhuǎn)化法利用推論:①a∥b，a⊥α?b⊥α;②α∥β，a⊥α?a⊥β.eq\o（［跟進(jìn)訓(xùn)練]）1．如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面,M是圓周上任意一點(diǎn),AN⊥PM，垂足為N.求證：AN⊥平面PBM。［證明]設(shè)圓O所在的平面為α,∵PA⊥α，且BM?α,∴PA⊥BM.又∵AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為圓周上一點(diǎn)，∴AM⊥BM。由于直線PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM,而AN?平面PAM，∴BM⊥AN?！郃N與PM、BM兩條相交直線互相垂直．故AN⊥平面PBM。直線與平面所成的角［探究問(wèn)題]1．若圖中的∠POA是斜線PO與平面α所成的角，則需具備哪些條件?［提示]需要PA⊥α，A為垂足，OA為斜線PO的射影,這樣∠POA就是斜線PO與平面α所成的角．2．空間幾何體中，確定線面角的關(guān)鍵是什么？［提示]在空間幾何體中確定線面角時(shí)，過(guò)斜線上一點(diǎn)向平面作垂線，確定垂足位置是關(guān)鍵,垂足確定，則射影確定,線面角確定．【例2】在正方體ABCD。A1B1C1D1(1）求直線A1C與平面ABCD(2）求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．[證明](1）∵直線A1A⊥平面ABCD∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD設(shè)A1A＝1，則AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2）,2).（2）連接A1C1交B1D1于O在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1∴BB1⊥A1C1又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角,在Rt△A1BO中,A1O＝eq\f（1,2)A1C1＝eq\f（1，2）A1B,∴∠A1BO＝30°，即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.在本例正方體中，若E為棱AB的中點(diǎn)，求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．[解］連接AC交BD于點(diǎn)O，過(guò)E作EO1∥AC交BD于點(diǎn)O1，易證AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D內(nèi)的射影，∴∠EB1O1為B1E與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,∵E是AB的中點(diǎn),EO1∥AC，∴O1是BO的中點(diǎn)，∴EO1＝eq\f(1，2）AO＝eq\f（1，2）×eq\f(\r(2)a，2）＝eq\f（\r（2)a,4),B1O1＝eq\r（BO\o\al（2,1)＋BB\o\al(2,1））＝eq\r（\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r（2)a,4)))eq\s\up12(2）＋a2)＝eq\f(3\r(2)a，4），∴tan∠EB1O1＝eq\f（EO1,B1O1）＝eq\f（\f（\r(2)a,4），\f(3\r（2）a，4)）＝eq\f(1，3)。求斜線與平面所成角的步驟1作圖：作或找出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過(guò)斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過(guò)垂足和斜足作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問(wèn)題中已知量有關(guān),才能便于計(jì)算。2證明:證明某平面角就是斜線與平面所成的角。3計(jì)算:通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算.線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例3】如圖所示,在正方體ABCD.A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC．求證：MN∥AD［證明］因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1所以AD1⊥A1D．又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1所以CD⊥AD1。因?yàn)锳1D∩CD＝D,所以AD1⊥平面A1DC．又因?yàn)镸N⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.證明線線平行常用的方法1利用線線平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)；2利用三線平行公理：證兩線同時(shí)平行于第三條直線；3利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；4利用線面垂直的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；5利用面面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.eq\o(［跟進(jìn)訓(xùn)練]）2．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,直線a?β，a⊥AB．求證：a∥l。［證明]因?yàn)镋A⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA．同理l⊥EB．又EA∩EB＝E,所以l⊥平面EAB．因?yàn)镋B⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B,所以a⊥平面EAB．由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.一、知識(shí)必備線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化二、方法必備1．證明線面垂直的方法：（1)線面垂直的定義．(2)線面垂直的判定定理．(3）如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．(4)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,那么它也垂直于另一個(gè)平面．2．線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直"與“平行"關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)．1．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中,能推出a∥b的是()A．b∥α B．b?αC．b⊥α D．b與α相交C[由線面垂直的性質(zhì)定理可知,當(dāng)b⊥α,a⊥α?xí)r，a∥b。]2．直線l⊥平面α,直線m?α，則l與m不可能（)A．平行 B．相交C．異面 D．垂直A[若l∥m，l?α，m?α，則l∥α，這與已知l⊥α矛盾．所以直線l與m不可能平行．］3.如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,則AB與平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°A［∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角,在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1，2)，即∠ABO＝60°