上海市奉賢區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（中考一模）(含詳解)

2020學(xué)年奉賢區(qū)質(zhì)量調(diào)研九年級(jí)數(shù)學(xué)（202101）

一、選擇題

1.將拋物線＞=2/向左平移1個(gè)單位后得到的拋物線表達(dá)式是（）

A.y=2x2-1B.y=2x'+1C.y=2(x+l>D.y=2(x-l)2

2.下列兩個(gè)圖形一定相似的是（）

A.兩個(gè)菱形B.兩個(gè)正方形C.兩個(gè)矩形D.兩個(gè)梯形

3.已知％5和不都是非零向量，下列結(jié)論中不能確定M//5的是（）

A同=忖B.2a=3bC.a//c,c//bD.a=-c,b=3c

2

3

4.在R/AABC中，ZC=90，如果AC=3,cosA=—，那么AB的長(zhǎng)為()

4

9

A.-B.4C.5

4

5.如果。。和OU內(nèi)含，圓心距。。2=4,。。的半徑長(zhǎng)是6,那么。&的半徑r的取值范圍是（）.

A.0<r<2B.2<r<4C.r>10D.0<r<2或廠>10

6.如圖，在梯形ABC。中，AD〃BC、BC=3AD,對(duì)角線AC、交于點(diǎn)所是梯形ABC。的中位

線，EF與BD、AC分別交于點(diǎn)G、H,如果AOG”的面積為1，那么梯形ABCO的面積為（）

A.12B.14C.16D.18

二、填空題

7.如果2。=5人（厚0）,那么區(qū)=__.

b

8.如果4是。與8的比例中項(xiàng)，那么。的值為.

9.如果二次函數(shù)y=mx2+2x+m-l的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（l,2）,那么m的值為

10.如果二次函數(shù)y=（x—1）2：的圖像上有兩點(diǎn)（2,y）和（4,8），那么y%（填“〉”、“=”或“<”）

11.如圖，用一段籬笆靠墻圍成一個(gè)大長(zhǎng)方形花圃（靠墻處不用籬笆），中間用籬笆隔開(kāi)分成兩個(gè)小長(zhǎng)方形區(qū)

域，分別種植兩種花草，籬笆總長(zhǎng)為17米（恰好用完），圍成的大長(zhǎng)方形花圃的面積為24平方米，設(shè)垂直于

墻的一段籬筐長(zhǎng)為x米，可列出方程為.

X

12.如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比為1:4,那么這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比為

13.己知點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，且如果AP=2厘米，那么BP=（厘

米）.

14.已知某斜坡的坡度1：3,當(dāng)鉛垂高度為3米時(shí)，水平寬度為米

15.如果點(diǎn)G是AABC的重心，AG=6,那么8C邊上的中線長(zhǎng)為.

16.如圖，已知點(diǎn)。在A48c的邊8C上，聯(lián)結(jié)為AO上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸分別作A3、AC的平行線交

Ap

BC于點(diǎn)E,F,如果3C=3EF,那么——=.

PD

17.當(dāng)兩條曲線關(guān)于某直線/對(duì)稱時(shí)，我們把這兩條曲線叫做關(guān)于直線/的對(duì)稱曲線，如果拋物線

G：y=Y-2%與拋物線C2關(guān)于直線x=-l的對(duì)稱曲線，那么拋物線C2的表達(dá)式為

18.如圖，在RfAABC中，NACB=90°,AC=3,8C=4,C。是八48c的角平分線，將RfAABC繞點(diǎn)A

旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)。落在射線CO上，點(diǎn)8落在點(diǎn)￡處，連接ED,那么NA￡Z)的正切值為

三、解答題

19.已知。：匕=2:3,b:c=3:4,且2a+Z?—c=6,求。力,c的值

20.如圖，已知拋物線y=—f+ax+3與》軸于點(diǎn)A，且對(duì)稱軸是直線x=l.

(1)求”的值與該拋物線頂點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,—2),設(shè)礪=￡,9=5,用向量￡,坂表示OB.

21.如圖，在AABC中，AB=AC<,BC=2,過(guò)點(diǎn)3作BO_LAC,垂足為點(diǎn)。

(1)求cot/ACB的值；

(2)點(diǎn)E是區(qū)0延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE,當(dāng)NE=NA時(shí)，求線段CE的長(zhǎng).

22.如圖，是一個(gè)手機(jī)的支架，由底座、連桿A3、BC、8和托架組成(連桿A3、BC、CD始終在同

一平面內(nèi)），連桿A8垂直于底座且長(zhǎng)度為8.8厘米，連桿6C的長(zhǎng)度為1（）厘米，連桿CO的長(zhǎng)度可以進(jìn)行

伸縮調(diào)整.

（1）如圖，當(dāng)連桿A3、在一條直線上，且連桿CO長(zhǎng)度為9.2厘米，288=143°時(shí)，求點(diǎn)。到

底座的高度（計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù)）

（2）如圖，如果ZBC￡>=143。保持不變，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿8C,使得NABC=150。，假如AO〃3c時(shí)為最佳

視線狀態(tài)，求最佳視線狀態(tài)時(shí)連桿CO長(zhǎng)度（計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：

sin53°?0.80,cos53°?0.60,cot53°20.75）

23.如圖，在四邊形4BCO中，NB=NDCB,聯(lián)結(jié)AC.點(diǎn)E在邊上，且NCDE=NC4T),OE與AC

交于點(diǎn)F,CECB=ABCD.

(1)求證：AD//BC-.

(2)當(dāng)A￡)=DE時(shí)，求證：AF2=CFCA.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=—g*2+云+C與X軸正半軸交于點(diǎn)4(4,0),與y軸交

于點(diǎn)8(0,2),點(diǎn)。在該拋物線上且在第一象限.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)將該拋物線向下平移〃，個(gè)單位，使得點(diǎn)C落在線段A3上的點(diǎn)。處，當(dāng)=時(shí)，求加的值；

⑶聯(lián)結(jié)6C,當(dāng)NC84=2NBAO時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

25.己知圓。的直徑45=4,點(diǎn)尸為弧A3上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)E4、PO,點(diǎn)C為劣弧AP上一點(diǎn)(點(diǎn)C不與點(diǎn)

A、P重合)，聯(lián)結(jié)8C交24、PO于點(diǎn)。、E

(1)如圖，當(dāng)cosNCBO=一時(shí)，求6c長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)。為劣弧4尸的中點(diǎn)，且與AAOP相似時(shí)，求NA8C的度數(shù);

（3）當(dāng)A￡>=2OP,且MEO為直角三角形時(shí).求四邊形AOEO的面積.

2020學(xué)年奉賢區(qū)質(zhì)量調(diào)研九年級(jí)數(shù)學(xué)(202101)

一、選擇題

1.將拋物線＞=2/向左平移1個(gè)單位后得到的拋物線表達(dá)式是()

A.y=2x2-lB.y=2x2+lC.y=2(x+l)2D.y=2(x-l)2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)拋物線平移的規(guī)律“上加下減，左加右減”即可選擇.

【詳解】原拋物線向左平移1個(gè)單位后得：

y=2(x+l)2.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線平移與拋物線解析式的變化規(guī)律.掌握其規(guī)律“上加下減，左加右減”是解答本

題的關(guān)鍵.

2.下列兩個(gè)圖形一定相似的是()

A.兩個(gè)菱形B.兩個(gè)正方形C.兩個(gè)矩形D.兩個(gè)梯形

【答案】B

【解析】

【分析】

對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)四邊形相似，根據(jù)定義逐一判斷各選項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】解：兩個(gè)菱形滿足對(duì)應(yīng)邊成比例，但是對(duì)應(yīng)角不一定相等，所以兩個(gè)菱形不一定相似，故A不符

合題意；

兩個(gè)正方形滿足對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，所以兩個(gè)正方形一定相似，故5符合題意；

兩個(gè)矩形滿足對(duì)應(yīng)角相等，但是對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，故C不符合題意；

兩個(gè)梯形的對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，對(duì)應(yīng)角也不一定相等，故。不符題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是四邊形相似的判定，掌握多邊形相似的判定是解題的關(guān)鍵.

3.已知由5和［都是非零向量，下列結(jié)論中不能確定2//日的是()

A.同=MB.2a=3bc.a//c,cIlbD.a=^c,b=3c

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】

解：A、該等式只能表示坂的模相等，但不一定平行，故本選項(xiàng)符合題意；

B、由2^=36，可以判定al1b故本選項(xiàng)不符合要求；

C、由3//"，3//2可以判定2//坂,故本選項(xiàng)不符合題意；

_1_一一一一

D、由a=/C,b=3c>可知B=6a，可以判定a//B，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行向量，掌握平行向量是解題的關(guān)鍵.

3

4.在R/AA6C中，NC=90°，如果AC=3,cosA=-,那么A8的長(zhǎng)為（）

4

925

A.—B.4C.5D.—

44

【答案】B

【解析】

【分析】

AC3

根據(jù)cosA=——=-,即可得出AB的值

AB4

【詳解】解：在RtZiABC中,ZC=90°,AC=3,

p、AC3

又?:cosA=---=—,

AB4

；.AB=4

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

5.如果。。和。Q內(nèi)含，圓心距QQ=4,。。的半徑長(zhǎng)是6,那么。。2的半徑廣的取值范圍是（）.

A.0<r<2B.2<r<4C.r>10D.0<r<2或r>10

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得04。。2<|6-「|，結(jié)合。1。2=4,通過(guò)求解不等式，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意得：04?。2<|6一廠|，r>0

0|Q=4

4<|6-r|

6—r>4或6—r<T

0<r<2或廠>10

，。。2的半徑「的取值范圍是：0<r<2或廠>10

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓內(nèi)含、絕對(duì)值、一元一次不等式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A與圓內(nèi)含、絕

對(duì)值、一元一次不等式的性質(zhì)，從而完成求解.

6.如圖，在梯形ABCO中，AD//BC,BC=3AD,對(duì)角線AC、3。交于點(diǎn)。,反是梯形的中位

線，EF與BD、AC分別交于點(diǎn)G、H,如果AOGH的面積為1，那么梯形A3CZ）的面積為（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)AD=2x,BC=6x,根據(jù)EF是梯形ABCD的中位線，求得EG=FH=—/4￡)=x,GF=—BC=3x,證得GH=AD,

22

由此得到見(jiàn)0GH=SMOO=1,Sgoc=3SbOGH=9，5.08=5^00=35^00=3,即可求出答案.

【詳解】設(shè)AD=2x,BC=6x,

??,EF是梯形ABCD的中位線,

???點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、CD、BD、AC的中點(diǎn)，EF〃AD〃BC,

EF=^(AD+BC)=4x,

EG=FH=—AD=x,GF=—BC=3x,

22

/.GH=2x,

AGH=AD,

VGH//AD,

.,.△OAD^AOHG,

ODAD

.t?-------------=],

OGGH

??OG=OD,S80GH—=1?

?.,GH〃BC,

.,.△OGH^AOBC,

GH_2x

?BC"6x"3

^ABOC=9S4OGH~9，

???O是DG的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)，

,?*^MOe=S&O0c=3sMOD=3?

SABCD=1+3+3+9=16,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查梯形中位線的性質(zhì)定理，三角形中位線的性質(zhì)定理，同底或同高三角形面積的關(guān)系，相

似三角形的性質(zhì)，這是一道與中位線相關(guān)的綜合題.

二、填空題

7.如果2。=5。(厚0),那么巴=_.

b

【答案】-

2

【解析】

【分析】

利用比例的基本性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：；2a=56(厚0),

.a_5

??—?

b2

故答案為：一

2

【點(diǎn)睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，掌握基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如果4是。與8的比例中項(xiàng)，那么。的值為.

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)比例中項(xiàng)的概念：如果。、b、c三個(gè)量成連比例，即a:Z?=Z?:c,〃叫作。和c的比例中項(xiàng)，即可求

解.

【詳解】是。與8的比例中項(xiàng)，

a:4=4:8,

即4?=8。，

a=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例中項(xiàng)的概念，熟練掌握比例中項(xiàng)的概念是解題的關(guān)鍵.

9.如果二次函數(shù)y=/m：2+2x+機(jī)—1的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(1,2),那么血的值為一.

【答案】—

2

【解析】

【分析】

把尸(1,2)代入函數(shù)解析式，得出關(guān)于的m方程，解方程即可得到答案.

【詳解】解：；二次函數(shù),=如2+2無(wú)+機(jī)一1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(1,2),

機(jī)+2+機(jī)—1=2,

解得：m=~,

2

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，理解圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的意義是解答此題的關(guān)鍵.

10.如果二次函數(shù)y=0-1產(chǎn)的圖像上有兩點(diǎn)(2,y)和(4,%),那么弘%(填“>"、"=''或"<")

【答案】<

【解析】

【分析】

分別計(jì)算出自變量為2和4時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值對(duì)的大小即可.

【詳解】解：二?點(diǎn)(2,以)、(4,y2)是二次函數(shù)產(chǎn)(x-1)2圖象上的兩點(diǎn)，

；.力=(2-1)2=1；>2=(4-1)2=32=9,

；.力勺2，

故答案為丫1<丫2"

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式.

11.如圖，用一段籬笆靠墻圍成一個(gè)大長(zhǎng)方形花圃(靠墻處不用籬笆)，中間用籬笆隔開(kāi)分成兩個(gè)小長(zhǎng)方形區(qū)

域，分別種植兩種花草，籬笆總長(zhǎng)為17米(恰好用完)，圍成的大長(zhǎng)方形花圃的面積為24平方米，設(shè)垂直于

墻的一段籬筐長(zhǎng)為x米，可列出方程為.

X

【答案】x(17-3x)=24

【解析】

【分析】

垂直于墻的一段籬筐長(zhǎng)為x米，共有三段垂直于墻的籬笆，所以垂直于墻的籬笆總長(zhǎng)度為3x,又因?yàn)榛h笆

總長(zhǎng)為17米(恰好用完)，所以大長(zhǎng)方形花圃的長(zhǎng)為(17-3x)米，最后根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式即可求解.

【詳解】解：由題意可得：x(17-3x)=24.

故答案為：x(17-3x)=24.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意大長(zhǎng)方形花圃的寬有三段都是籬笆.

12.如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比為1：4,那么這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比為

【答案】1:4

【解析】

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出相似比，得到對(duì)應(yīng)邊上的高之比.

【詳解】解：???兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為1：4,

兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4,

...這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比為1：4,

故答案為：1：4.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比是解答此題的關(guān)鍵.

13.已知點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，且5尸如果AP=2厘米，那么BP=(厘

米).

【答案】1+V5

【解析】

【分析】

設(shè)3尸=%厘米，得AB=2+x厘米，根據(jù)題意得f=2X(2+X),通過(guò)求解方程，即可得到答案.

【詳解】設(shè)BP=x厘米，

根據(jù)題意得：AB=AP+BP=2+x厘米

BP2=APAB

：.x2=2x(2+x)

x=1±Vs

1-V5<0，故舍去；

，x=l+石，即8P=1+6厘米

故答案為：1+石.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程、二次根式、線段的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程、二次

根式的性質(zhì)，從而完成求解.

14.已知某斜坡的坡度1：3,當(dāng)鉛垂高度為3米時(shí)，水平寬度為米

【答案】9

【解析】

【分析】

根據(jù)斜坡是鉛垂高度與水平距離比值，而這個(gè)斜坡的坡度為1:3,鉛垂高度為3米，從而求出斜坡的水平

寬度.

【詳解】解：；斜坡的坡度為1:3,其鉛垂高度為3米，

這個(gè)斜坡的水平寬度為：3x3=9米，

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用中的坡度坡角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確坡度是指斜坡的鉛直高度與

水平距離的比值.

15.如果點(diǎn)G是小鉆C的重心，AG=6,那么邊上的中線長(zhǎng)為一一

【答案】9

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的重心到一頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍求得DG=3,繼而求得邊上的中線長(zhǎng)為9.

【詳解】?.?三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，

/.DG=—AG=—X6=3,

22

；.AD=AG+GD=6+3=9.

即3c邊上的中線長(zhǎng)為9.

故答案為：9.

/GJ\

BDC

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形重心的性質(zhì)，熟知三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知點(diǎn)。在A48C的邊8c上，聯(lián)結(jié)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作A3、AC的平行線交

AP

BC于點(diǎn)￡凡如果3C=3M,那么一

PD

【答案】2

【解析】

【分析】

pnnpnppniAP

根據(jù)平行線分線段成比例性質(zhì)可得一=—=——，再由等比性質(zhì)可得一=—,即可得出"=2.

ADBDCDAD3PD

【詳解】解：；PE〃AB,PF//AC,

.PDDEPDDF

"AD~BD'AD~CD'

.DEDF

"~BD~~CD'

；BC=3EF,

.DE+DFEF\

"BD+CD

.PDPD1

AP+PD~3'

答案：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例性質(zhì)定理及等比性質(zhì)是解答此題

的關(guān)鍵.

17.當(dāng)兩條曲線關(guān)于某直線/對(duì)稱時(shí)，我們把這兩條曲線叫做關(guān)于直線/的對(duì)稱曲線，如果拋物線

G：y=/-2x與拋物線G關(guān)于直線％=—1的對(duì)稱曲線，那么拋物線。2的表達(dá)式為

【答案】y=(x+3)2-l

【解析】

【分析】

先把拋物線G的解析式寫(xiě)成頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱的關(guān)系得到。2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到c2的解

析式.

【詳解】解：0:y=x2—2x=(x—lp—l,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)是

點(diǎn)關(guān)于直線x=T對(duì)稱的點(diǎn)是。'(一3,-1),

C2:y=(x+3/—1.

故答案為：y=(x+3)~—1.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì).

18.如圖，在用AABC中，44。3=90。,47=3,5。=4,8是418。的角平分線，將MAABC繞點(diǎn)A

旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)C落在射線CO上，點(diǎn)5落在點(diǎn)E處，連接ED,那么NAE。的正切值為

3

【答案】-

7

【解析】

【分析】

AQAQ3

如圖，過(guò)點(diǎn)D作DGLAC于G,可得DG//BC,即可證明△AGDs/\ACB,可得——=——=一，由CD

DGBC4

是角平分線可得/ACD=45。，可得CG=DG,進(jìn)而可求出AG的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC'=AC,AE=AB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NCC'A=45°,可得NCAC'=90°,可

得旋轉(zhuǎn)角為90°,可得NDAE=90。，利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)正切的定義即可得答案.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DGLAC于G,

,/ZACB=90°,

ADG//BC,

“?AGAC3

/.△AGD^AACB,可得——=——=-,

DGBC4

〈CD是角平分線,

，ZACD=45°,

.\CG=DG,

VAC=3,AC=AG+CG,

37

A-DG+CG=3,即一。G=3,

44

解得：DG=—，

7

9

??AG=一,

7

-#-AD=7￡)G2+AG2=y

???將用AABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)。落在射線CD上,

???AC'=AC,AE=AB,

???NCC'A=ZACD=45°,

???NCAU=90°,

?,?旋轉(zhuǎn)角為90。，

??,ZDAE=90°,

VAC=3,BC=4,

AAB=5,

3

故答案為：一

7

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，正確得出旋轉(zhuǎn)角為90°并熟

練掌握相關(guān)性質(zhì)及定義是解題關(guān)鍵.

三、解答題

19.已知a:h=2:3,Z?:c=3:4,且2〃+6-c=6，求的值

【答案】。=4,b=6,c=8.

【解析】

【分析】

根據(jù)比的性質(zhì)，可得a,b,c用k表示，根據(jù)解方程，可得k的值，即可得答案.

【詳解】?：a:b=2:3,〃：c=3:4,

?,?設(shè)a=2Z,b=3k,c=4k,

.?.2?（2%）+3左一4%=6,整理得：3k=6,

解得：k=2,

?=Q=2Z=4,b=3k=6,c=4Z=8.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)得出a=2%,b=3k,c=4Z是解題關(guān)鍵.

20.如圖，已知拋物線y=—f+ax+3與y軸于點(diǎn)A，且對(duì)稱軸是直線x=l.

（1）求"的值與該拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）己知點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,一2）,設(shè)。^=3,而=5,用向量坂表示OB.

【答案】⑴a=2,頂點(diǎn)尸（1,4）；⑵-2a+b

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)對(duì)稱軸方程可求出a值，即可得出拋物線的解析式，化成二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)B、P兩點(diǎn)坐標(biāo)可得PB//OA,PB=2OA,可用a表示出PB,

進(jìn)而根據(jù)O后=OP+方可表示出OB.

【詳解】（1）?.?對(duì)稱軸是直線x=l,

----------=1,

2x(-1)

解得:a=2,

二拋物線的解析式為y=—x2+2x+3=—(x—l『+4,

頂點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,4).

(2)y=—x2+2x+3,

當(dāng)x=0時(shí),y=3,

AA(0,3),

AOA=3,

VP(1,4),B(1,-2),

PB//OA,PB=6,

APB=2OA,

；?而=2而=-2￡，

^-OB=OP+PB=-2a+b-

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及平行向量的計(jì)算，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及向量的運(yùn)算法則是解題

關(guān)鍵.

21.如圖，在AABC中，AB=AC<,BC=2,過(guò)點(diǎn)5作3O_LAC,垂足為點(diǎn)。

(1)求cotNACB的值；

⑵點(diǎn)E是&)延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE,當(dāng)NE=NA時(shí)，求線段CE的長(zhǎng).

【答案】(1)」；(2)且

22

【解析】

【分析】

(1)作AGLBC于點(diǎn)G,根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得到aAGC為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理計(jì)

算AG的長(zhǎng)，然后計(jì)算cotNACB的值；

(2)先利用等面積法計(jì)算BD長(zhǎng)度，然后利用cot/ACB的值計(jì)算出CD的長(zhǎng)的，然后證明

^ADB?AEDC，利用比例關(guān)系計(jì)算CE即可.

【詳解】解析：(1)如圖，作AGLBC于點(diǎn)G

AB=AC,

.\CG=-BC=1,AG±BC,

2

在RtAAGC中由勾股定理可得AG=7AC2-CG2=X/5^1=2，

/.cotNACB=,

AG2

(2)VS=-AGBC=-BDAC,

Z/AX/IADICi-C22

?DU=---,

5

cotZ.ACB=—,

2

.CD1

?一,

BD2

?3=拽，

5

;ZBAC=NE,

?2DB~^EDC,

ECCD\

,劉一麗一3'

?.EC=-AB=—.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查余切的計(jì)算以及利用相似計(jì)算線段長(zhǎng)度，構(gòu)造輔助線，轉(zhuǎn)化角是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，是一個(gè)手機(jī)的支架，由底座、連桿AB、BC、CD和托架組成（連桿A3、BC、始終在同

一平面內(nèi)），連桿AB垂直于底座且長(zhǎng)度為8.8厘米，連桿8C的長(zhǎng)度為10厘米，連桿CO的長(zhǎng)度可以進(jìn)行

伸縮調(diào)整.

（1）如圖，當(dāng)連桿A&在一條直線上，且連桿C。的長(zhǎng)度為9.2厘米，288=143。時(shí)，求點(diǎn)。到

底座的高度（計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù)）

（2）如圖，如果ZBCE>=143°保持不變，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿3C,使得NA5c=150。，假如時(shí)為最佳

視線狀態(tài)，求最佳視線狀態(tài)時(shí)連桿CO的長(zhǎng)度（計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：

sin53°?0.80,cos53°?0.60,cot53°?0.75）

【答案】(I)26.2cm；(2)7.3cm

【解析】

【分析】

CE

(1)過(guò)點(diǎn)。作交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,先求解NO=53。，再利用sin。=(/，求解CE,

從而可得答案；

(2)作垂足分別為瓦尸，證明：四邊形為矩形，求解：

ZBAE=30,BE=-AB=4.4,從而可得CF的長(zhǎng)度，再利用NDCF=53。，利用銳角三角函數(shù)可得答

2

案.

【詳解】解：(1)過(guò)點(diǎn)。作OEJ_BC,交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡

A

.?ZBCD=143°

:.NECD=3T，NEDC=53°

EC=CD?sinZD=9.2x0.8=7.36

A￡=AB+8C+CE=10+8.8+7.36=26.16a26.2cm

??.O到底面高度為26.2C77?；

(2)作8E_LAr),CR，C。，垂足分別為瓦產(chǎn)

c

嚇、/

/E

f/

A

QBC//AD,

，四邊形BEFC為矩形,

:.BE=CF,

ZABC=]50\BC//AD,

：.NBAE=30,BE=LA6=4.4

2

：.CF=BE^4.4,

vZBCD=143°,ZBCF=90°,

NDCF=143°-90°=53°,

CF

CD==4.4+0.6a7.3cm,

cos/.DCF

:.CD長(zhǎng)度為7.3cm.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形，矩形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在四邊形ABCO中，N3=NOC8,聯(lián)結(jié)AC.點(diǎn)E在邊上，且NCOE=NCA￡>,OE與AC

交于點(diǎn)F,CECB=ABCD.

(1)求證：AD//BC；

⑵當(dāng)AO=D石時(shí)，求證：AF2=CFCA.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)證明AACB?A￡DC可得/ACB=/EDC=/CAD,從而可得結(jié)論;

(2)根據(jù)ASA證明AAZJF=ADEC,得到AF=DC,再證明AFCD?ADC4,得至UFC?CA=CD2，即

可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)?:/B=/DCB,且CE-CB=4??Cr)，即上三=——

ABCB

：.MC5-AEDC

ZACB=^CDE

NCDE=NCAD

二ZACB=ZCAD

AD!IBC

(2)AD//BC

.\ZADE=ZCED

在AADF和4DEC中，

ZFAD=ZEDC

<AD=CE

ZADF=ZDEC

.,.△ADF^ADEC

AF=DC

又：NCDF=NCAD,ZFCD=ZACD

AFCD-ADC4

FCCD,

?即nnFC-C4=C￡>2

CDCA

二AF2=CFCA

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形

的性質(zhì)找出比例式.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=—gf+法+C與X軸正半軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交

于點(diǎn)8(0,2),點(diǎn)。在該拋物線上且在第一象限.

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）將該拋物線向下平移，"個(gè)單位，使得點(diǎn)。落在線段AB上的點(diǎn)。處，當(dāng)時(shí)，求加的值；

（3）聯(lián)結(jié)BC,當(dāng)NCB4=2NB4O時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

133

【答案】（1）y=—%2H—x+2；（2）/n——；（3）C（2,3）

222'"

【解析】

【分析】

（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，解二元一次方程求出a、b即可；

（2）根據(jù)45=3%）,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入解析式，求出C點(diǎn)縱坐標(biāo)，求差即可；

（3）延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)F因NCBA=2NBA0,所以，BA=BF可求F坐標(biāo)（-4,0）,求出BC析式，再

求它與拋物線交點(diǎn)即可.

【詳解】解：（1）把4（4,0）、8（0,2）代入丁=一；/+云+0得

-8+4b+c=0

、c=2'

；3

h——

解得：\2

c=2

1.3

拋物線的解析式為y=-5X2+5X+2；

（2）拋物線向下平移時(shí)，C點(diǎn)所在直線交x軸于點(diǎn)E,

V

DEAEAD1

而一茄一罰一1

:.DE^-BO=-,AE^-OA=l,

424

i3

把x=3代入y=——x2+=x+2得

22

1,3

y=--32+--3+2=2,

-22

24=1

3

m=—；

2

(3)?.?點(diǎn)C在第一象限，連接CB并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)F,

/CBA=2ZBA0,ZCBA=ZBAO+ZBFO,

.\ZBAO=ZBFO,

；.BA=BF,

，F(xiàn)點(diǎn)于A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，

；.F點(diǎn)的坐標(biāo)為F(40),

由B(0,2)易求BC解析式為：y=—x+2,

與拋物線解析式聯(lián)立方程組，

1C

y=—x+2

2

13,

y=——x2+—X+2

-22

x=2

b=3

.-.C(2,3).

y

【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、拋物線的平移、比例線段、等腰三角形的性質(zhì)，注意

知識(shí)之間的聯(lián)系，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力是解題關(guān)鍵.

25.已知圓。的直徑AB=4,點(diǎn)P為弧AB上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)E4、PO,點(diǎn)C為劣弧AP上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)

A、P重合），聯(lián)結(jié)8C交24、PO于點(diǎn)、D、E

7

（1）如圖，當(dāng)cosNCBO=w時(shí)，求6C的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)。為劣弧AP的中點(diǎn)，且與AAQP相似時(shí)，求NA8C的度數(shù)；

⑶當(dāng)A￡>=2OP，且ABEO為直角三角形時(shí).求四邊形A0