人教版導與練總復習數(shù)學一輪教師用書：第四章第3節(jié)　三角恒等變換

第3節(jié)三角恒等變換

課程標準要求

1.能利用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式.

2.能利用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式,

導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系.

3.能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差、和差化

積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶）.

①用雙材夯實四基

必備知識?課前回顧

選知識梳理

1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

(1)cos(a-0)=cosacosB+sinasinB;

(2)cos(a+3)=cosacosB-sinasinB;

(3)sin(a-0)=sinacosB-cosasinB;

(4)sin(a+0)=sinacos6+cosasinB;

(5)tan(a-B)=?tana-tan/?

1+tanatan/?

(6)tan(a+B)=■tana+tan/3

1-tanatan/?

2.二倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa；

(2)cos2a=cos'a-sin-'a=2cos，a-kl-Zsir?a；

(3)tan2a=?2tana

l-tan2a,

■釋疑

1.半角公式指的是sin?=±產等,cos棄土tan

-=±叵近.它們可由二倍角公式cos2a=1-2sin2a=2cos2a-l以2

2yl+cosa2

代a,然后變形導此符號由］所在的象限確定.

注意:tan］還有一個同時使用sina,cosa,但不帶有根號的公式，

即tan9T上吧.此公式不需要討論孑所在的象限，使用方便.

21+cosasina2

2.積化和差公式指的是sinacosB,cosasinB,cosacos

B,sinasinB用a+B,a-B的三角函數(shù)表示，顯然可由相應的和

差角公式相加減得到.

3.和差化積公式指的是把sina±sinB,cosa±cosB,用

冬，早的三角函數(shù)表示，這只需用角變換a當+?,B彗-?，然

后利用和差角公式展開合并即可.

匡重要結論

1.公式的常用變式:tana±tanB=tan（a±B）（1干tanatan

tana+tan/?tana-tan/?

B);tana?tanB=1--1.

tan(a+/?)tan(a-^)

c女宣八#.2l-cos2a2l+cos2a.1.

2.降累公式：sin-a=--——;cosa=——-——;sinacosa=-sinn2a.

3.升嘉公式：l+cosa=2cos1-cosa=2sin1+sina=(sin

OCI0C\2t/?a0C\2

-+cos一);1-sina=(sm-cos一).

2222

4.常用拆角、拼角技巧:例如,2。=（（1+8）+（（1-6）；（1=（（1+8）-6

=(a-B)+B；B=?-(a+2B)-(a+B)；a-0=(a-y)+(y-

B);15°=45°-30°；2+a』-(2-a)等.

424

5.輔助角公式

asina+bcosa=7a2+b2sin(a+?),其中cossin9

y/az+b2

b

y/a2+b2'

6.萬能公式

a

2tan-lY-t4anz2-2tanj

2

sina----九COSatana=----聶

14-tan2-1+tan2l-tanz-

2i2

對點自測

1.sin20°cos10°-cos160°sin10°等于(D)

TB片

c-4D-i

解析：sin200cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos

20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°.故選D.

2.若cos(8e)=-%則cos28的值為(A)

AA.-InB.—7

816

C.±-D.-

816

解析:因為cos(。所以sin。=，，所以cos20=l-2sin20

q故選A.

o

3.若tanatan(a+B)=,則tanB=.

11

一§

解析：tanB=tan[(a+p)-a]=-tan(a+/?)-tana_5_1

l+tan(a+/?)tanai+|x|7

答案號

4.tan10°+tan50°+V3tan10°tan50°=

解析：因為tan60°=tan(10°+50°)=tanlO°+tan500

l-tanlO°tan50°

所以tan10°+tan50°=tan60°(1-tan10°tan50°)=

V3-V3tan10°tan50°,

故原式10°tan50°+V3tan10°tan50°=A/3.

答案

5.若sina+V3cosa=1,且ae(0,n),貝!Ja=.

解析：因為sina+V3cosa=2sin(a+^)=1,

所以sin(a§又a￡(0,IT),

所以a+7e0‘爭,

所以a+9■，所以aq.

36Z

答案卷

類小考點怎實四翼

關鍵能力?課堂突破

嚷考點一三角函數(shù)式的化簡

1.已知e￡（。,＞且sin"coseT則鼎等于（D）

AA.-2nB.-4C「.-3Dn.-3

3342

解析：由sin9-cos0.

4

得sin(^-9)=，,

因為0e(0,=),

4

所以o<2-0《，

44

所以cos(：T)=|.

2COS20-1_COS20

cos(J+0)sin(J-0)

_sin^-20)_sin[2(^-g)]

-sin/-。)—sin(J-0)

=2cos(^-0)=|.故選D.

2sin(ii-a)+sin2a

2.化簡:

2sin(Tr-a)4-sin2a_2sina+2sinacosa_2sina(l+cosa)

解析:?=4sina.

cos2^^(1+cosa)|(l+cosa)

答案：4sina

2cos4%-2cos2%4-i

3.化簡:2

2tan(^-x)sin2(^+x)

|(4COS4X-4COS2X+1)

解析:原式:

.sin(5-x)

2

乙If?COSx

cos(-x)(r)

_(2COS2X-1)2

4sin(^-x)cos(J-x)

_COS22X

2sin(^-2x)

COS22X1門

=------=-cos2x.

2cos2x2

答案:gcos2x

*題后悟通?

三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則

⑴一看“角”，這是最重要的一環(huán),通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角

進行合理的拆分,從而正確使用公式.

(2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式,

常見的有“切化弦”.

(3)三看“結構特征”，分析結構特征,可以幫助我們找到變形的方向,

如“遇到分式要通分”等.

廄考點二三角函數(shù)式的求值

口角度-給角求值

求值-sin10°(—二—tan5°)=

2sin20tan5

解析:原式=—生巴笆——-sin10°(空一包匚)

2?2sinl0°coslO°sin5°cos5°

coslO°COS25°-sin25°

-sin100?

2sinl0°sin5°cos5°

coslO°coslO°

-sin100?

2sinl0°-sinlO°

2

黑is10。上COS100-2sin200

2sinl00

coslO°-2sin(30°-10°)

2sinlO°

coslO0-2(|cosl00—ysinlO0)

2sinl0°

_V3sinlO°_V3

2sinl002'

答案:苧

，解題策略:

“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的,

但仔細觀察會發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角總有一定關系，解題時,要利用

觀察得到的關系，結合公式轉化為特殊角并且消除非特殊角的三角函

數(shù)而得解.

。角度二給值求值

1n66

nzoz-\

一

(Tl+a1V=3一a+

p\s-一---s-

(WE?)若0<a22co\434273co2

等于()

_V3c5V3

3?9D.4

解析：因為0<a$,則〈空,

所以sin(：+a)=手.

又當B<0,則管-衿，

則sin(衿)亭.

故cos(a+1)=cos7-僵)]

=cosa)cosq4)+sinq+a)sinqg)

三X*言X手卷.故選C.

解題策略

“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函

數(shù)值,解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系.

口角度三給值求角

(BO若sin2a=—,sin(B-a)=—,且aeJI],J3e[JI,—],

51042

貝Ua+B的值是()

A.—B.—

44

C弓或王D.手或手

解析:因為am],所以2a￡吟,2g.

42

又sin2?？?gt;°，所以2ae[p兀],

所以cos2a="—^,且a[p?

542

又B￡|>,爭,所以"ae耳爭.

因為sin(3-a)=絆>0,

10

所以cos(B-a)=-^^,且B-ae[pJi],

故cos(a+B)=cos[2a+(fJ-a)]=cos2acos(P-a)-sin2a

sin(B-a)=-學義(一鬻)一個義^=^.

因為2aeJI],0-ae其],

所以a+Be[it,2L所以a+B=衛(wèi).故選A.

4

「解題策略I

1.“給值求角”實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，

再求角的范圍，確定角.

2.注意要根據(jù)角的范圍選擇合適的三角函數(shù),本例選擇求cos(a+B),

不宜選擇求sin(a+B).

[針對訓練]

等于()

coslOsinl70

A.4B.2C.-2D.-4

解

桁.Vi_1616sinl0°-coslO。2sin(10°-30°)

'coslO"sinl700coslO°sinl0°sinlO°coslO°isin200

2

*20°J.故選口.

-sin20°

2

2.已知a,B都為銳角，且sina夸,cosB當，貝Ia-B等于

714

*B、g

解析:因為a,B都為銳角,

口.y/21V21

且sina=——,coso——,

714

所以cosa=—sinB=—,

714

由sin(a-B)=sinacosP-cosQsinB

V21..VH2V7、/5?491

ZZ--X--_--X--=-.—

714714982，

因為sina<sinB,且a,B者R為銳角，所以0<a<B<],-矢a-B<0,

所以a-B=-2.故選C.

6

3.已知COS(4a)=2,a〈2,則-2a+2—2a的值為

451241-tana-----------

岳力士二.sin2a+2sin2a2sinacosa+2sin2a

2sinacosa(cosa+sina)

cosa-sina

.門1+tana/ir.

=sin2a?-----=sin2na?tan(-+a)x.

1-tana4

由詈01得手0+$2n,

又cos(：+a)=|,

所以sin(；+a)=—,tan

7A/2

cosa=cos)T=Wsina

10'

.c7

sm2a=—.

25

所以sin2a+2sin2a7義28

1-tana2575,

答案:噗

I?考點三三角恒等變換在研究三角函數(shù)圖象和性質中的應用

C?D已知函數(shù)f(x)=sin'x-sirr'(x-￡),x￡R.

⑴求f(x)的最小正周期；

⑵求f（X）在區(qū)間［-2,口上的最大值和最小值.

34

解：（1）由已知得

）_l-cos2c_l_cos（2x《）

=-(-cos2x+—sin2x)--cos2x

2222

=—sin2x--cos2x=-sin(2x--).

4426

所以f(x)的最小正周期T=*=n.

(2)由(1)知f(x)=sin(2x-^).

因為

34

所以得《2xqs，

所以當2x-J=-=

oZ

即x=3時，f(x)有最小值，

且f(5)冶

當2X3W，即xW時,f(x)有最大值，

且f(灣.

所以f(X)在區(qū)間［3,可上的最大值為￡最小值為

3442

'"解題策略I

三角恒等變換在三角函數(shù)圖象和性質中的應用,解決此類問題可先根

據(jù)和角公式、倍角公式把函數(shù)表達式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y=Asin(ax+

夕)+t或余弦型函數(shù)y=Acos(3x+*)+t的形式，再利用三角函數(shù)的圖象

與性質求解.

［針對訓練］

已知函數(shù)f(x)=sinJx-cos2x-2V3sinxcosx(xGR).

⑴求f號)的值；

(2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間.

解:⑴由Siny=y,COSy=-|,得

f(—)=(—)-2V3X—X(二)=2.

32222

(2)由cos2x=cos\-sinJx與sin2x=2sinxcosx,得f(x)=~cos

2x-V3sin2x=-2sin(2x+-).

所以f(x)的最小正周期是T=^=冗.

由正弦函數(shù)的性質，得

”2k"W2x+\W+2k~k￡Z,

解得耳kJIWxW空+kJi.keZ.

63

所以f(x)的單調遞增區(qū)間為E+k兀片+kn](k￡Z).

63

一備選例題

CUD已知sina=|,a￡§Ji),tan(五-B片,則tan(a-B)的值

為()

A2n211「11

A.—B.—C.—D.—

111122

解析:因為sina=|,ae(pJI),

所以cosa=-Vl-sin2a=--,

匚匚[、i,sina3

所以tana=----=一一.

cosa4

因為tan(冗-6)=g=-tanB,所以tanP=-1,

貝(Jtan(Q_B)=tanara邛三故選A.

1+tanatan/?11

CID已知sina4+cosa,且a￡(0,§,則等%的值為()

32sin(a+-)

11

c

-V2-V2----

3B.33D.3

1

解析：因為sina二+cosa,即sina-cosa=?

cos2acos2a-sin2a

所以；

sin(a+：)~sinacos-7T+"cosasin7-1

44

_i

(cosa-sina)(cosa+sina)擊《故選A.

gsina+cosa)

C?D已知a,B為銳角，cosa=1,sin(a+0)=袈,貝！JcosB

解析:因為a為銳角，所以sin2小心2#.

因為a,Be(0,1),所以0<a+3<JI.

又因為sin(a+B)<sina,所以a+(>],

所以cos(Q+B)=-3

cosB=cos[(a+fJ)-a]

=cos(a+P)cosa+sin(a+B)sina

=-——11.X.-1+,——5V3X..4——V3二一49=-1.

147147982

答案甘

0?(1+tan17°)(1+tan28°)的值為.

解析：原式=l+tan17°+tan280+tan17°tan28°=1+tan

45°(1-tan17°tan28°)+tan17°tan28°=1+1=2.

答案：2

若V^sinx+cosx=|,則tan(x+,)=.

解析：由V^sinx+cosx=|,得2sin(x+，)=|,

即sin(x+')q,所以cos(x+：)=土雷，

所以tan(x+g)=±t，

即tan(x+r)=tan(x+：)=土手.

答案:土手

4

例6若a<2兀，則—I—/—I—cos2a可化簡為________,

222722

解析:j?2cos2a=J+}|cosa|,

因為手a<2Ji,所以|cosa|=cosa.

所以原式=4+gcosa=Jcos2/

又因為￥《〈.，所以原式-cos*

422

答案:-cos三

C?|7)(1)在AABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+l,則cos

C=________

(2)cos20°,cos40°,cos100°=

siM35―

(3)化簡:

coslO°cos80°

解析：(1)由tanAtanB=tanA+tanB+l,

tanA+tanB

可得二

1-tanAtanBT,

即tan(A+B)=T,又因為A+B￡(0,兀),

所以A+B—,則C=-,cosC=—.

442

(2)設$=(：0520°,cos40°?cos100°,

則S=-cos20°?cos40°?cos80°,

設丁=5川20°?sin40°-sin80°,

貝!|ST=」sin40°?-sin80°?-sin160°=--T,又TWO,所以S=--,

22288

即cos20°,cos40°,cos100°

2

..sin350i-cos700-lCOs70°

(3)2=22=2=_].

'coslO0cos80°coslO°sinlO°工sin20°

2

答案：(1)4(2)(3)-1

28

靈活于唬密敷提怩

課時作業(yè)

闞選題明細表

知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練

三角函數(shù)式的化

1,412

簡，求值

三角函數(shù)式的給

2,5,6,7,914

值求值

三角函數(shù)式的給

3

值求角

三角恒等變換的10,11,13,15,

818

應用16,17

A級基礎鞏固練

l.sin16°cos14°-sin254°sin14°的值是(B)

解析：原式二cos74°cos14°+sin74°sin14°=cos(74°-14°)=

cos600=”攵選B.

2.sin2a=-|,則cos2(a-^)的值為(C)

AA.—2nB.—leC.-1「D.-2

3333

l+cos[2(Q-》]l+cos(2W)i+sin2Qiql

解析:cos?5-：).故選C.

22223

3.已知a,B都是銳角，若sina=9,sinB=呼，則a+B等于

A)

3

B-T

C-MD.q和號

解析：由于a,6都是銳角，所以cosa=Vl-sin2a=^,cosB=

所以cos(a+B)=cosacosB-sinasinB=所以a+B=；.故

選A.

4.tan18°+tan120+—tan18°tan12°等于(D)

A.V3B.V2C.yD.

解析：因為tan30°=tan(18°+12°解~="，所以

魯l-tan整l8：ta當nl23

tan18°+tan12°=f(l-tan18°tan12°)，所以原式=?.故選D.

5.已知tan(a+二)=2,則*』的值為(A)

414-cos2a

AB.-C.-D.--

-4626

IT

二黑就三，原式_2sinacosa-cos2a_

解析：tana=tan[(a+-)

442cos2a

ii

tana—=-1="1.故選A.

23Z6

6.已知a是第三象限角，3cos2a+sina=2,則tana等于(A)

A?4B-TC.8D,2V2

解析：因為a是第三象限角，3cos2a+sina=2,

所以3(l-2sin2a)+sina=2,

所以6sirT,a-sina-1=0,

解得sina=q或sina1（舍去），

所以cosa=-Vl-sin2cr=-^-,

所以tana=—.故選A.

4

7.在平面直角坐標系xOy中，a為第四象限角，角a的終邊與單位圓0

交于P(xo,yo),若cos(a-；)=*則x()yo等于(B)

A.iB,--C.-D,--

6633

解析:根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得xo=cosa,yo=sina,

又cos(a-：)=y,

所以xoyo=sinacosa=gsin2a=[cos(]-2a)=[cos(2a-1)=

|[2cos2(a-=)-l]=-1

故選B.

8.形如“b的式子叫做行列式,其運算法則為“b=ad-bc,則行列

cdcd

川sin15°￡的值是_______.

式

cos15°V2

解析：因為Sm15=V2sin15°-V2cos15°=2(—sin15°-

cos15°V22

—cos15°)=2sin(15°-45°)=-2sin30°=-l,

sin15°￡的值是T.

所以

cos15°V2

答案:T

9.若cosa=-|,sinB=-今ae(p71),B￡(手2n),貝ljsin(a+

B)的值為.

解析：因為cosa=-1,ae(pTI),

所以sina=A/1-COS2a=_,

B=4,B￡2Ji),

因為sin

B=Jl-sin2/?=?,

所以cos

所以sin(a+B)=sinacosB+cosasinB=手X?+(一1)X

(0)_5g

答案:旦3

B級綜合運用練

10.若函數(shù)f(x)=(l+V3tanx)cosx,0Wx《，貝！Jf(x)的最大值是

B)

A.1B.2C.V3+1D,V3+2

解析：由OWxU貝！Jf(x)=(l+V3tanx)cosx=(1+V3,cosx=

2cosx

cosx+V3sinx=2sin(x+?),因為0所以〈?，所以當

6Z663

時，f(x)取到最大值2.故選B.

62

11.(多選題)已知f(x)=sinxsin(x+!)-則f(x)的值不可能是

34

CD

11c2

--

22-2D.

解析:因為f(x)=sinxsin(x+^)-J

=sinx(-sinx+—cosx)--

224

1.2^73.1

=-sinx+—sinxcosx—

224

1、/l-cos2x,V3.c1

=-X------+—sm2x-

2244

=—sin2x--cos2x

44

所以二Wf(x)W上故選CD.

22

12.(多選題)下列式子正確的有(ACD)

A.sin150+cos15°=—

2

Drrr-O_V6+V2

B.cos75=-----

4

C.2V3tan15°+tan215°=1

D.tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1

解析：因為sin15°+cos15°(sinl5°+cosl5°)2=

V1+sin30°-,所以A正確；

cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=—X

2

遺-立xL?々所以B錯誤；

2224

由tan300-產先

l-tan215

得l-tan215°=2tanl^=2V3tan15°,

tan30

所以2v5tan15°+tan'15°=1,所以C正確；

因為l=tan45°=tan(12°+33°)=■tanl20+tan33°

l-tanl20tan33°

所以tan12°+tan33°=l-tan12°tan330,

所以tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1.故D正確.故選ACD.

13.已知殳B<a<^,cos(B-a)=||,sin(B+a)=-|,貝！Jcos2a等于

(D)

A.—B.--C.—D.--

65656565

解析：因為又B<a<—,所以-又P-a<0,<—.

2442

又cos(B-a)=||,sin(B+a)=-|,

所以sin(B-a)=-yJ1-cos2(p~a)=~^,

cos(B+a)=~y/1-sin2(/?+a)

所以cos2a=cos[(B+a)-(B-a)]

=cos(B+a)cos(P-a)+sin(B+a)sin(3-a)

=(-"導(-1)*(噌)福故選二

14.已矢口sing-a)=i,貝ljcos(2a+得)=______.

解析:依題意cos(--2a)=cos[2(--a)]=l-2sin>(--a)=l-i=-,

55588

而cos(2a+9=-cos[n-(2a+9]=-cos(^-2a)=-'

答案:q

15.被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學之父”的著名數(shù)學家華羅庚先生為我國數(shù)

學的發(fā)展做出了巨大貢獻，他所倡導的“0.618優(yōu)選法”在生產和科

研實踐中得到了廣泛的應用.0.618就是黃金分割比m="的近似值,

黃金分割比還可以表示成2sin18°，則手工一二

解析：把m=2sin18°代入

m^4~m2_2sinl8°V4-4sin218°

l-2sin227°cos54°

4sinl8°cosl8°2sin36°

=-----------=-----=2n.

cos540sin36°

答案：2

16.已矢口sina-cosa北<a<2n,求tana,tan1的值.

解:法一因為sina-cosa=|,

所以l-2sinacosa」，

4

所以sinacosa=1>0,

所以sina與cosa同號,

又因為Ji<a<2Ji,