專題09-直線與圓錐曲線教案-學(xué)生版

方法技巧專題9直線與圓錐曲線

一、知識框架

相交

二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系:

1.代數(shù)法：把圓錐曲線方程C與直線方程/聯(lián)立，消去y(也可以消去x),整理得到關(guān)于x(或者y)

的一元方程ox?+bx+c=O.

(1)當(dāng)時：計算A=/-4ac.

若△>(),則C與/相交；

若△=(),則。與/相切；

若△<(),則C與/相離；

(2)當(dāng)a=0且6Ho時：即得到一個一次方程，則C與/相交，且只有一個交點。

若C為雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；

若C為拋物線，則直線/與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合.

2.幾何法：在同一直角坐標(biāo)系中畫出圓錐曲線和直線的圖像，利用圖象和性質(zhì)可判斷C與/的位置關(guān)

1.例題

【例1】已知橢圓?+/=1,直線/：x+my-m=\(m^R),直線/與橢圓的位置關(guān)系是()

A.相離B.相交C.相切D.不確定

【例2】已知點A,B為曲線y=，上兩個不同的點，A3的橫坐標(biāo)玉、/是函數(shù)/(幻='公2一原一］門》的兩個

x2

V-2

極值點，則直線A8與橢圓土+丁=1的位置關(guān)系是()

4

A.相離B.相切C.相交D.位置關(guān)系不確定

22

【例3】已知耳，瑪是橢圓C:?+g=l的左右焦點，P是直線/：y=x+〃”加eR）上一點，

^-\PF]\+\PF2\

的最小值是4,則實數(shù)機(jī)=

【例4】直線y=X+3與曲線區(qū)—膽=1（）

94

A.沒有交點B.只有一個交點C.有兩個交點D.有三個交點

【例5】已知直線丁=履+2與雙曲線/-丁=4的右支相交于不同的兩點，則A的取值范圍是（）

A.（-1,1）B.（-V2,V2）C.（1,V2）D.（-72,-1）

22

【例6】已知雙曲線C：鼻一2=1（.>0,。>0）的左右焦點分別為月，鳥，過￡的直線/與圓

222________

無+y=a相切于點T,且直線/與雙曲線C的右支交于點P,若幣=4可，則雙曲線C的離心率為..

【例7】若直線2%一①+i=°是拋物線v=y的一條切線，則。=

,1

【例8】已知拋物線。的方程為尤2=5>，過點40,T）和點3）的直線與拋物線C沒有公共點，則實數(shù)f的

取值范圍是()

A.(-co,-l)U(l,+oo)B.(—00,—,+oo)

C.(—00,—25/2)(2^^2,+00)D.(—00,—\/2)(,\/2,+oo)

【例9】過點P（（）,2）且與拋物線y2=2px（p>0）只有一個公共點的直線有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

憶鞏固提升綜合練習(xí)

【練習(xí)1】已知曲線C]：|y|-x=2與曲線。2：4—+丫2=4怡好有兩個不同的公共點，則實數(shù)力的取值范圍是

()

A.(―co,—B.?(—1,—1]C.[―1,1)D.[―l,0]U(l,+°°)

【練習(xí)2】對不同的實數(shù)值加，討論直線＞=%+加與橢圓三+V=1的位置關(guān)系.

4

【練習(xí)3】過點(3,0)和雙曲線f—緲2=](。＞0)僅有一交點的直線有()

A.1條B.2條C.4條D.不確定

22

【練習(xí)4】己，知雙曲線「―4=1(“＞0乃＞0)的右焦點為F,過點F且傾斜角為45。的直線與雙曲線的右支一

ab~

定有兩個交點，則此雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.(1,V2]B.(1,2)C.(1,72)D.(V2,+oo)

【練習(xí)5】已知拋物線y2=4x,直線/過定點(一1,0),直線/與拋物線只有一個公共點時，直線/的斜率是.

【練習(xí)6】已知拋物線C：y2=2px的焦點/與橢圓三+二=1的右焦點重合，拋物線G的準(zhǔn)線與％軸的交

84

點為K，過K作直線/與拋物線G相切，切點為A，則△AEK的面積為()

A.32B.16C-.8D.4

三、直線與圓錐曲線中的弦長與面積問題

[弦長公式：

(1)題設(shè)：若斜率為々的直線/與圓錐曲線方程C有兩個不同的交點〃(M，y)、N(々，必)則

眼叫=22或2

^(1+^)[(%]+X2)-4X1X2]|M/V|=^(l+p)f(y,+y2)-4yly；

2b2

(2)通徑：①文橢圓的一個焦點且與焦點所在軸垂直的弦，長度為：—;

②±雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦，長度為：-2P:；

(3)題設(shè)：若斜率為左的直線/經(jīng)過拋物線Cy2=±2px的焦點尸，且與°交于兩點

、其中左=則

M(M，y)N(x2,y2),tang,

①+昆|+〃=—^7?；②]—zr+1[=--------------1--------------=—;

111111-1sin2^\MF\|/VF|?_P_p

1-cos。1+cos。

(4)題設(shè)：若斜率為A：的直線/經(jīng)過拋物線C：尤2=±2py的焦點/，且與C交于兩點

、其中左=則

M(X1,y)N(x2,y2),tang,

①\MN\=卜]|+昆|+P~—~—二2?：②?1?+二工；

Sin2(e+gcos\MF\IMp

1.例題

【例1】斜率為1的直線/與橢圓了+)2=1相交于A,8兩點，則|AB|的最大值為()

A9R嫗「逃D逃

A?乙,55?5

22年

［例2］已知橢圓柩2+與=1(a>6>0)的離心率為四，焦距為2m.斜率為5的直線/與橢圓材有兩個不同的交

ab3V

點4B.

(1)求橢圓歷的方程；

⑵若2=1,求|四|的最大值.

Jf2y21

【例3】橢圓E：涓+方=l(a>QO)的左焦點為右焦點為B，離心率e=7過Q的直線交橢圓于4,8兩

點，且△AB尸2的周長為8.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)若直線AB的斜率為小，求△ABB的面積.

【例4】已知F是拋物線J/=4x的焦點，則過F作傾斜角為60°的直線分別交拋物線于AB(A在工軸上方)

\AF\

兩點，則^^的值為()

IBF\

A.73B.2C.3D.4

【例5】設(shè)拋物線G/=4x的焦點為凡過尸且斜率為A(A>0)的直線/與。交于48兩點，Z8|=8.

(1)求)的方程；

(2)求過點48且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方,程.

【例6】已知拋物線V=i6x的焦點為凡過尸作一條直線交拋物線于A,8兩點，若|Ag=6,則|8月=

V

【例7】已知斜率為1的直線/與雙曲線上一必=1的右支交于4B兩點，若［48|=8,則直線/的方程為()

4

____%Ra/c

A.y=x+7^7B.y=X-y/21c.y=x-^^-D.y=x+；——

55

22

【例8】過雙曲線三-亍=1的左焦點作弦AB，使|AB|=4,則這樣的直線AB的條數(shù)為.

【例9】已知雙曲線f一匕=1

2

(1)求直線y=x+l被雙曲線截得的弦長；

(2)過點P(l,l)能否作一條直線I與雙曲線交于A,B兩點，且點p是線段AB的中點？

2.鞏固提升綜合練習(xí)

【練習(xí)1］已知橢圓C的兩個焦點為Q(—1,0),巳(1,0),且經(jīng)過點《歷，坐)

(1)求橢圓C的方程；

⑵過￡的直線/與橢圓C交于A,8兩點(點A位于x軸上方)，若端=27前，求直線/的斜率%的值.

2

【練習(xí)2】已知橢圓E:\+y=1(a>/?>0)的半焦距為c,原點0到經(jīng)過兩點(c,0),(0力)的直線的距

a鏟

離為二c.

2

(I)求橢圓E的離心率;

225

(H)如圖，AB是圓M:(x+2)~+(y-l)~=萬的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，求橢圓E的方程.

3

【練習(xí)3】已知拋物線C：V=3x的焦點為尸，斜率為彳的直線/與。的交點為4,8,與x軸的交點為P.

(1)若3耳+忸耳=4,求/的方程;

(2)若麗=3而，求耳.

【練習(xí)4】如圖，過拋物線丁=2*（〃>0）的焦點廠的直線/交拋物線于點AB,交

其準(zhǔn)線于點C,若怛4=4忸耳，且|AF|=6,則夕為（）

〃vi

【練習(xí)5】已知復(fù)數(shù)2=%+耳（匕）€/?）滿足：卜+6卜,一6卜2"（0<2"<2指），且z在復(fù)平面上的對

應(yīng)點P的軌跡C經(jīng)過點（4,6）.

（1）求。的軌跡；

（2）若過點4（4,0）,傾斜角為;的直線/交軌跡C于M、N兩點，求AOMN的面積S.

【練習(xí)6】已知雙曲線C：2=13>0/>0）與雙曲線上—匯=1有相同的漸近線，且雙曲線C過點

a~b’164

（4,6）.

⑴若雙曲線C的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,雙曲線C上有一點P,使得/耳「瑪=60。，求團(tuán)6Pg的面積;

40

⑵過雙曲線C的右焦點B作直線/與雙曲線右支交于48兩點，若因大A5的周長是可，求直線/的方程.

【二】面積問題

面積問題:

涉及面積的計算問題，常用到三角形面積公式、焦點三角形面積公式、點到直線的距離公式，或把

待求面積分解成兩個易于求和的三角形面積之和.

n

⑴橢圓焦點三角形面積：5曠/)&=〃1211上(點尸在橢圓上，e=NF\PF，

.宏福占-東中需加5“依，=與■(點P在雙曲線上，B=NF\PF,)

(2)雙曲線焦點二角力面積：My，2012

tan—

2

(3)拋物線：

缺設(shè)：若斜率為網(wǎng)=的直線/經(jīng)過拋物線網(wǎng)=聞+用+。=懸的焦點周，且與C交于兩點

22其中則：

^/(1+^)[(%,+x2)—4x(x,],k=tang,

12

s&wcw=-x—x\MN\?sin=——

^ON22'12sin6.

自題設(shè)：若斜率為1的直線/經(jīng)過拋物線C：f=±2py的焦點卜明且與C交于兩點

22

yj(i+k4-X2)—4X)X2],其中k=tan9,則：

SAMON=」xKx|MN?sin(e+四)=——匕---—

22?122sin(6+))2COS6

2

1.例題

【例1】過拋物線/=4%的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，點0是原點，若|A尸卜3；則AAOB的面積為

)

3五

V2B.V2D.272

.VF

【例2】已知點尸是拋物線。：丁=4》的焦點，直線/與拋物線。相切于點p(毛,%)(%>0)，連接尸尸交

拋物線于另一點A，過點P作/的垂線交拋物線C于另一點B.

(I)若y0=i,求直線/的方程；

(2)求三角形2鉆面積S的最小值

B

【例3】已知點片，尸2是橢圓。：,+卡*=l（a>Z?>°）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且/耳珠=5.若

回2片鳥的面積為9,則。=

【例4】已知點40，-2）,橢圓E：二+4=1（a>b>0）的離心率為立，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜

a2b~2

率為拽，。為坐標(biāo)原點.

3

⑴求E的方程；

⑵設(shè)過點A的動直線/與E相交于P,Q兩點.當(dāng)自O(shè)PQ的面積最大時，求/的方程.

2.鞏固提升綜合練習(xí)

【練習(xí)1］拋物線V=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為/,經(jīng)過F且斜率為由的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點

44長_1_/,垂足為（則4出戶的面積是（）

A.4B.3gC.4百D.8

r24V2

【練習(xí)2】已知P為橢圓工+之一=1上一點，耳，亮是橢圓的焦點，/耳「6=60。，則AKPK的面積為

【練習(xí)3】如圖所示，直線y=^+/＞與橢圈工+V=1交于A、B兩點，記AAO8面積為S;

4

⑴求在4=0,0＜）＜1的條件下S的最大值；

⑵當(dāng)|A@=2,S=1"＞0時,求直線AB的方程;

【練習(xí)4】已知橢圓「：]+與=1（。＞6＞0）的離心率為業(yè)，橢圓的四個頂點圍成四邊形的面積為4.

a'b-2

（0）求橢圓廠的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（回）直線/與橢圓「交于A，3兩?點，AB的中點M在圓V+y2=i上，求AAQ8（。為坐標(biāo)原點）面積的

最大值.

、課后自我檢測

1.已知直線y=x-l與拋物線》='：/交于A,3兩點，則|A用等于（）

4

A.472B.6C.7D.8

2.已知直線y=—x+1與橢圓捻+￡=1（心心0）相交于A,8兩點，若橢圓的離心率為半，焦距為2,則線段AB

的長是（）

A至R逑「、「D7

3.已知焦點在x軸上的橢圓C：4+/=1（?>0）,過右焦點作垂直于x軸的直線交橢圓于A,8兩點，且

\AB\=\,則該橢圓的離心率為.

4.己知拋物線C：V=4x的焦點為歹，過點尸的直線交拋物線C于A,B兩點、,。為坐標(biāo)原點，若AAOB的

面積為述，則線段AB的長是（

)

2

9

A.9B.4C.-D.8

2

2211

5.若直線/交雙曲線土-匕=1的左，右兩支于A,B兩點，。為坐標(biāo)原點，若方.麗=(),則二

26\OA\\0B\

()

11

A.—B.-C.2D.3

2