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PAGEPAGE5習題課(1)課時目標1.熟練掌握等差數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式,并能綜合運用這些知識解決一些問題.2.熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前n項和的性質(zhì),并能綜合運用這些性質(zhì)解決相關(guān)問題.要點回顧1.若Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則Sn=a1+a2+…+an,an=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,n=1,,Sn-Sn-1,n≥2.))2.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則有:(1)通項公式:an=a1+(n-1)d;(2)前n項和:Sn=na1+eq\f(nn-1d,2)=eq\f(na1+an,2).3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq.(2)若Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項和,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差數(shù)列.一、選擇題1.在等差數(shù)列{an}中,a1+3a8+a15=120,則2a9-aA.24B.22C.20D.-8答案A2.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a3+a7+a11=6,則S13等于()A.24B.25C.26D.27答案C解析∵a3+a7+a11=6,∴a7=2,∴S13=eq\f(13a1+a13,2)=13a7=26.3.設(shè)數(shù)列{an}、{bn}都是等差數(shù)列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,則a37+b37等于()A.0B.37C.100D.-37答案C解析設(shè)數(shù)列{an},{bn}的公差分別為d,d′,則a2+b2=(a1+d)+(b1+d′)=(a1+b1)+(d+d′)=100.又∵a1+b1=100,∴d+d′=0.∴a37+b37=(a1+36d)+(b1+36d′)=(a1+b1)+36(d+d′)=100.4.設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,則a11+a12+aA.120B.105C.90D.75答案B解析∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2∵a1=5-d,a3=5+d,d>0,∴a1a2a3=(5-d)·5·(5+∴d=3,a1=2.∴a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d=3a1+33d5.若{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若a1>0,d<0,S4=S8,則Sn>0成立的最大自然數(shù)n為()A.11B.12C.13D.14答案A解析S4=S8?a5+a6+a7+a8=0?a6+a7=0,又a1>0,d<0,S12=eq\f(a1+a12·12,2)=0,n<12時,Sn>0.6.在等差數(shù)列{an}中,a1=-2008,其前n項和為Sn,若eq\f(S2008,2008)-eq\f(S2006,2006)=2,則S2012等于()A.-2012B.2012C.6033D.6036答案D解析eq\f(Sn,n)=a1+eq\f(n-1d,2),∴eq\f(S2008,2008)-eq\f(S2006,2006)=a1+eq\f(2008-1,2)d-a1-eq\f(2006-1,2)d=d=2.∴S2012=2012×(-2008)+eq\f(2012×2011,2)×2=2012×3=6036.二、填空題7.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n+1,則a6+a7+…+a10的值為________.答案80解析a6+a7+…+a10=S10-S5=111-31=80.8.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sp=Sq(p,q∈N*且p≠q),則Sp+q=________.答案0解析設(shè)Sn=an2+bn,由Sp=Sq.知ap2+bp=aq2+bq,∴p+q=-eq\f(b,a).∴Sp+q=a(p+q)2+b(p+q)=a(-eq\f(b,a))2+b(-eq\f(b,a))=eq\f(b2,a)-eq\f(b2,a)=0.9.等差數(shù)列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,則使前n項和Sn取得最大值的自然數(shù)n是______.答案5或6解析d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0且a3+a9=0,∴a6=0,∴a1>a2>…>a5>0,a6=0,0>a7>a8>….∴當n=5或6時,Sn取到最大值.10.已知數(shù)列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-1,n∈N*,則數(shù)列{an}的通項公式an=________.答案n2-2n+21解析∵an+1-an=2n-1,∴a2-a1=1,a3-a2=3,…,an-an-1=2n-3,n≥2.∴an-a1=1+3+5+…+(2n-3).∴an=20+eq\f(n-12n-2,2)=n2-2n+21.三、解答題11.甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動,甲第1分鐘走2m,以后每分鐘比前1分鐘多走1m,乙每分鐘走5m.(1)甲、乙開始運動后幾分鐘相遇?(2)如果甲、乙到達對方起點后立即返回,甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m,乙繼續(xù)每分鐘走5m,那么開始運動幾分鐘后第二次相遇?解(1)設(shè)n分鐘后第1次相遇,依題意,有2n+eq\f(nn-1,2)+5n=70,整理得n2+13n-140=0.解之得n=7,n=-20(舍去).第1次相遇是在開始運動后7分鐘.(2)設(shè)n分鐘后第2次相遇,依題意,有2n+eq\f(nn-1,2)+5n=3×70,整理得n2+13n-420=0.解之得n=15,n=-28(舍去).第2次相遇是在開始運動后15分鐘.12.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足:a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且bn=eq\f(Sn,n+c),求非零常數(shù)c.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>0.∵a3+a4=a2+a5=22,又a3·a4=117,又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+2d=9,a1+3d=13)),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=1,d=4)),∴an=4n-3.(2)由(1)知,Sn=n·1+eq\f(nn-1,2)·4=2n2-n,∴bn=eq\f(Sn,n+c)=eq\f(2n2-n,n+c).∴b1=eq\f(1,1+c),b2=eq\f(6,2+c),b3=eq\f(15,3+c).∵{bn}是等差數(shù)列,∴2b2=b1+b3,∴2c2+c=0,∴c=-eq\f(1,2)(c=0舍去).能力提升13.在等差數(shù)列{an}中,a10<0,a11>0,且|a10|<a11,Sn為{an}的前n項的和,則下列結(jié)論正確的是()A.S1,S2,…,S10都小于零,S11,S12,…都大于零B.S1,S2,…,S5都小于零,S6,S7,…都大于零C.S1,S2,…,S20都小于零,S21,S22,…都大于零D.S1,S2,…,S19都小于零,S20,S21,…都大于零答案D解析∵S19=eq\f(19a1+a19,2)=19a10<0,S20=eq\f(20a1+a20,2).而a1+a20=a10+a11,∵a10<0,a11>0且|a10|<a11,∴a10+a11>0,∴S20=eq\f(20a1+a20,2)=10(a10+a11)>0.又∵d=a11-a10>0.∴Sn>0(n≥20).14.把自然數(shù)1,2,3,4,…按下列方式排成一個數(shù)陣.123456789101112131415……………根據(jù)以上排列規(guī)律,數(shù)陣中第n(n≥3)行從左至右的第3個數(shù)是______________.答案eq\f(n2,2)-eq\f(n,2)+3解析該數(shù)陣的第1行有1個數(shù),第2行有2個數(shù),…,第n行有n個數(shù),則第n-1(n≥3)行的最后一個數(shù)為eq\f(n-11+n-1,2)=eq\f(n2,2)-eq\f(n,2),則第n行從左至右的第3個數(shù)為eq
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