數(shù)學(xué)湘教版必修一講義專題2指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)2-2-3第1課時(shí)

/10/10/2.2.3對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)第1課時(shí)反函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解對數(shù)函數(shù)的概念.2.初步掌握對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì).3.會類比指數(shù)函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．[知識鏈接]1．作函數(shù)圖象的步驟為列表、描點(diǎn)、連線．另外也可以采取圖象變換法．2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)的圖象與性質(zhì).a＞10＜a＜1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)過點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1函數(shù)值的變化當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1；當(dāng)x＜0時(shí)，0＜y＜1當(dāng)x＞0時(shí)，0＜y＜1；當(dāng)x＜0時(shí)，y＞1單調(diào)性是R上的增函數(shù)是R上的減函數(shù)[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．對數(shù)函數(shù)的概念把函數(shù)y＝logax(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a為底的)對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域R過點(diǎn)過點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0單調(diào)性是(0，＋∞)上的增函數(shù)是(0，＋∞)上的減函數(shù)3.反函數(shù)(1)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)．(2)要尋找函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)，可以先把x和y換位，寫成x＝f(y)，再把y解出來，表示成y＝g(x)的形式，如果這種形式是唯一確定的，就得到f(x)的反函數(shù)g(x).要點(diǎn)一對數(shù)函數(shù)的概念例1指出下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.解(1)log2x的系數(shù)是3，不是1，不是對數(shù)函數(shù)．(2)符合對數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，是對數(shù)函數(shù)．(3)自變量在底數(shù)位置上，不是對數(shù)函數(shù)．(4)對數(shù)式log2x后又加1，不是對數(shù)函數(shù)．規(guī)律方法判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必須是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件(1)系數(shù)為1.(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.跟蹤演練1若某對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)(4,2)，則該對數(shù)函數(shù)的解析式為()A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不確定答案A解析設(shè)對數(shù)函數(shù)的解析式為y＝logax(a＞0且a≠1)，由題意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，∴該對數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log2x.要點(diǎn)二對數(shù)函數(shù)的圖象例2如圖所示，曲線是對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象，已知a取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)、eq\f(1,10)，則相應(yīng)于c1、c2、c3、c4的a值依次為()A.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)B.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)C.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)D.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)答案A解析方法一先排c1、c2底的順序，底都大于1，當(dāng)x＞1時(shí)圖低的底大，c1、c2對應(yīng)的a分別為eq\r(3)、eq\f(4,3).然后考慮c3、c4底的順序，底都小于1，當(dāng)x＜1時(shí)底大的圖高，c3、c4對應(yīng)的a分別為eq\f(3,5)、eq\f(1,10).綜合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次為eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10).故選A.方法二作直線y＝1與四條曲線交于四點(diǎn)，由y＝logax＝1，得x＝a(即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于底數(shù))，所以橫坐標(biāo)小的底數(shù)小，所以c1、c2、c3、c4對應(yīng)的a值分別為eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)，故選A.規(guī)律方法函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的底數(shù)變化對圖象位置的影響．觀察圖象，注意變化規(guī)律：(1)上下比較：在直線x＝1的右側(cè)，a＞1時(shí)，a越大，圖象向右越靠近x軸，0＜a＜1時(shí)a越小，圖象向右越靠近x軸．(2)左右比較：比較圖象與y＝1的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大．跟蹤演練2(1)函數(shù)y＝loga(x＋2)＋1的圖象過定點(diǎn)()A．(1,2)B．(2,1)C．(－2,1)D．(－1,1)(2)如圖，若C1，C2分別為函數(shù)y＝logax和y＝logbx的圖象，則()A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a(chǎn)＞b＞1D．b＞a＞1答案(1)D(2)B解析(1)令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函數(shù)y＝loga(x＋2)＋1的圖象過定點(diǎn)(－1,1)．(2)作直線y＝1，則直線與C1，C2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b，易知0＜b＜a＜1.要點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)的定義域例3(1)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lg(1＋x)的定義域是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)(2)若f(x)＝，則f(x)的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))答案(1)C(2)C解析(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x＞0，,1－x≠0，))解得x＞－1且x≠1.(2)由題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1＞0，,2x＋1≠1，))解得x＞－eq\f(1,2)且x≠0.規(guī)律方法求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時(shí)，除遵循前面已學(xué)習(xí)過的求函數(shù)定義域的方法外，還要對這種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意對數(shù)的底數(shù)；三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性，有針對性地解不等式．跟蹤演練3(1)函數(shù)y＝eq\r(x)ln(1－x)的定義域?yàn)?)A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1](2)函數(shù)y＝eq\f(lg?x＋1?,x－1)的定義域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)答案(1)B(2)C解析(1)因?yàn)閥＝eq\r(x)ln(1－x)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,1－x＞0，))解得0≤x＜1.(2)要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,x－1≠0，))解得x＞－1且x≠1，故函數(shù)的定義域?yàn)?－1,1)∪(1，＋∞)，故選C.要點(diǎn)四反函數(shù)例4求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)y＝2x－5；(2)y＝eq\f(x,1－x)；(3)y＝1＋e.解(1)從x＝2y－5中解得y＝eq\f(x＋5,2)，即為所求；(2)從x＝eq\f(y,1－y)中解得y＝eq\f(x,x＋1)，即為所求；(3)從x＝1＋e移項(xiàng)得x－1＝e.兩端取自然對數(shù)得到ln(x－1)＝eq\f(y,2)，解得y＝2ln(x－1)，即為所求．規(guī)律方法要找尋函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)，可以先把x和y換位，寫成x＝f(y)，再把y解出來，表示成y＝g(x)的形式．如果這種形式是唯一確定的，就得到了f(x)的反函數(shù)g(x)．既然y＝g(x)是從x＝f(y)解出來的，必有f(g(x))＝x，這個等式也可以作為反函數(shù)的定義．跟蹤演練4y＝lnx的反函數(shù)是________．答案y＝ex解析由y＝lnx，得x＝ey，所以反函數(shù)為y＝ex.1．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．y＝loga(2x) B．y＝log22xC．y＝log2x＋1 D．y＝lgx答案D解析選項(xiàng)A、B、C中的函數(shù)都不具有“y＝logax(a＞0且a≠1)”的形式，只有D選項(xiàng)符合．2．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(1－x))＋lg(3x＋1)的定義域是()A．(－eq\f(1,3)，＋∞) B．(－∞，－eq\f(1,3))C．(－eq\f(1,3)，eq\f(1,3)) D．(－eq\f(1,3)，1)答案D解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＞0，,3x＋1＞0，))可得－eq\f(1,3)＜x＜1.3．函數(shù)y＝ax與y＝－logax(a＞0，且a≠1)在同一坐標(biāo)系中的圖象形狀可能是()答案A解析函數(shù)y＝－logax恒過定點(diǎn)(1,0)，排除B項(xiàng)；當(dāng)a＞1時(shí)，y＝ax是增函數(shù)，y＝－logax是減函數(shù)，排除C項(xiàng)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝ax是減函數(shù)，y＝－logax是增函數(shù)，排除D項(xiàng)，A項(xiàng)正確．4．若a＞0且a≠1，則函數(shù)y＝loga(x－1)＋1的圖象恒過定點(diǎn)________．答案(2,1)解析函數(shù)圖象過定點(diǎn)，則與a無關(guān)，故loga(x－1)＝0，所以x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝loga(x－1)＋1過定點(diǎn)(2,1)．5．函數(shù)y＝lgx的反函數(shù)是________．答案y＝10x解析由反函數(shù)的定義知x＝10y，故反函數(shù)為y＝10x.1.判斷一個函數(shù)是不是對數(shù)函數(shù)關(guān)鍵是分析所給函數(shù)是否具有y＝logax(a＞0且a≠1)這種形式．2．在對數(shù)函數(shù)y＝logax中，底數(shù)a對其圖象直接產(chǎn)生影響，學(xué)會以分類的觀點(diǎn)認(rèn)識和掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．3．涉及對數(shù)函數(shù)定義域的問題，常從真數(shù)和底數(shù)兩個角度分析.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．函數(shù)y＝logax的圖象如圖所示，則a的值可以是()A．0.5 B．2C．e D．π答案A解析∵函數(shù)y＝logax的圖象單調(diào)遞減，∴0＜a＜1，只有選項(xiàng)A符合題意．2．函數(shù)f(x)＝lg(x－1)＋eq\r(4－x)的定義域?yàn)?)A．(1,4] B．(1,4)C．[1,4] D．[1,4)答案A解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,4－x≥0，))解得1＜x≤4.3．在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝log3x與y＝的圖象之間的關(guān)系是()A．關(guān)于y軸對稱 B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于原點(diǎn)對稱 D．關(guān)于直線y＝x對稱答案B解析∵y＝＝－log3x，∴函數(shù)y＝log3x與y＝的圖象關(guān)于x軸對稱．4．如圖是三個對數(shù)函數(shù)的圖象，則a、b、c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a(chǎn)＞c＞b答案D解析y＝logax的圖象在(0，＋∞)上是上升的，所以底數(shù)a＞1，函數(shù)y＝logbx，y＝logcx的圖象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b，c∈(0,1)，又易知c＞b，故a＞c＞b.5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤0，,log2x，x＞0，))那么f(f(eq\f(1,8)))的值為()A．27B.eq\f(1,27) C．－27D．－eq\f(1,27)答案B解析f(eq\f(1,8))＝log2eq\f(1,8)＝log22－3＝－3，f(f(eq\f(1,8)))＝f(－3)＝3－3＝eq\f(1,27).6．已知對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(8，－3)，則f(2eq\r(2))＝________.答案－eq\f(3,2)解析設(shè)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，則－3＝loga8，∴a＝eq\f(1,2).∴f(x)＝logeq\f(1,2)x，f(2eq\r(2))＝logeq\f(1,2)(2eq\r(2))＝－log2(2eq\r(2))＝－eq\f(3,2).7．求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq\f(1,x－3)；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．解(1)要使函數(shù)有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＞0，,x－3≠0，))解之得x＞2且x≠3.∴函數(shù)定義域?yàn)?2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函數(shù)有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4x＞0，,x＋1＞0，,x＋1≠1，))解之得－1＜x＜0或0＜x＜4.∴函數(shù)定義域?yàn)?－1,0)∪(0,4)．二、能力提升8．設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x的反函數(shù)為y＝g(x)，且g(a)＝eq\f(1,4)，則a等于()A．2B．－2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案B解析∵函數(shù)f(x)＝log2x的反函數(shù)為y＝2x，即g(x)＝2x.又∵g(a)＝eq\f(1,4)，∴2a＝eq\f(1,4)，∴a＝－2.9．若函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象大致是()答案D解析由函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)的圖象可知，函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是減函數(shù)．所以0＜a＜1且0＜b＜1.所以g(x)＝ax＋b在R上是減函數(shù)，故排除A，B.由g(x)的值域?yàn)?b，＋∞)．所以g(x)＝ax＋b的圖象應(yīng)在直線y＝b的上方，故排除C.10．若log2aeq\f(1＋a2,1＋a)<0，則a的取值范圍是____________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析當(dāng)2a>1時(shí)，∵log2aeq\f(1＋a2,1＋a)<0＝log2a1，∴eq\f(1＋a2,1＋a)<1.∵1＋a>0，∴1＋a2<1＋a，∴a2－a<0，∴0<a<1，∴eq\f(1,2)<a<1.當(dāng)0<2a<1時(shí)，∵log2aeq\f(1＋a2,1＋a)<0＝log2a1，∴eq\f(1＋a2,1＋a)>1.∵1＋a>0，∴1＋a2>1＋a，∴a2－a>0，∴a<0或a>1，此時(shí)不合題意．綜上所述，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).