新版推薦學(xué)習(xí)2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)4.8解三角形的綜合應(yīng)用演練提升同步測評文新人教B版

生活的色彩就是學(xué)習(xí)生活的色彩就是學(xué)習(xí)K12的學(xué)習(xí)需要努力專業(yè)專心堅(jiān)持K12的學(xué)習(xí)需要努力專業(yè)專心堅(jiān)持生活的色彩就是學(xué)習(xí)K12的學(xué)習(xí)需要努力專業(yè)專心堅(jiān)持4.8解三角形的綜合應(yīng)用A組專項(xiàng)根底訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1．(2023·山西太原五中4月模擬)在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，假設(shè)sinA＝eq\f(2\r(2),3)，a＝2，S△ABC＝eq\r(2)，那么b的值為()A.eq\r(3)B.eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)【解析】在銳角△ABC中，sinA＝eq\f(2\r(2),3)，S△ABC＝eq\r(2)，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc·eq\f(2\r(2),3)＝eq\r(2)，∴bc＝3，①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴(b＋c)2＝a2＋2bc(1＋cosA)＝4＋6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))＝12，∴b＋c＝2eq\r(3).②由①②得b＝c＝eq\r(3)，應(yīng)選A.【答案】A2．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A．10eq\r(2)海里B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里D．20eq\r(2)海里【解析】如下圖，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．【答案】A3．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.AB＝1km，水的流速為2km/h，假設(shè)客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6min，那么客船在靜水中的速度為()A．8km/hB．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/hD．10km/h【解析】設(shè)AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為vkm/h，由題意知，sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，從而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))eq\s\up12(2)＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).選B.【答案】B4．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，那么河流的寬度BC等于()A．240(eq\r(3)＋1)mB．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)mD．30(eq\r(3)＋1)m【解析】如圖，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，在Rt△ACD中，CD＝eq\f(AD,tan∠ACD)＝eq\f(60,tan30°)＝60eq\r(3)m，在Rt△ABD中，BD＝eq\f(AD,tan∠ABD)＝eq\f(60,tan75°)＝eq\f(60,2＋\r(3))＝60(2－eq\r(3))m，∴BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)m.【答案】C5．如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°，那么塔高AB等于()A．5eq\r(6)B．15eq\r(3)C．5eq\r(2)D．15eq\r(6)【解析】在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).【答案】D6．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，那么兩條船相距________m.【解析】如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．【答案】10eq\r(3)7．在200m高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30°，60°，那么塔高為________m.【解析】如圖，由可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200m，∴AC＝eq\f(400,3)eq\r(3)m.在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos120°＝3CD2，∴CD＝eq\f(1,\r(3))AC＝eq\f(400,3)m.【答案】eq\f(400,3)8．(2023·洛陽統(tǒng)考)如圖，在△ABC中，sineq\f(∠ABC,2)＝eq\f(\r(3),3)，AB＝2，點(diǎn)D在線段AC上，且AD＝2DC，BD＝eq\f(4\r(3),3)，那么cos∠C＝________．【解析】由條件得cos∠ABC＝eq\f(1,3)，sin∠ABC＝eq\f(2\r(2),3).在△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝3b，那么由余弦定理得9b2＝a2＋4－eq\f(4,3)a.①因?yàn)椤螦DB與∠CDB互補(bǔ)，所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，所以eq\f(4b2＋\f(16,3)－4,\f(16\r(3),3)b)＝－eq\f(b2＋\f(16,3)－a2,\f(8\r(3),3)b)，所以3b2－a2＝－6，②聯(lián)合①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.在△ABC中，cos∠C＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝eq\f(32＋32－22,2×3×3)＝eq\f(7,9).【答案】eq\f(7,9)9．(2023·遼寧沈陽二中月考)在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域，點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測站A.某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40eq\r(2)海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45°＋θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中sinθ＝\f(\r(26),26)，0°＜θ＜90°))且與點(diǎn)A相距10eq\r(13)海里的位置C.(1)求該船的行駛速度(單位：海里/小時(shí))；(2)假設(shè)該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由．【解析】(1)如圖，AB＝40eq\r(2)，AC＝10eq\r(13)，∠BAC＝θ，sinθ＝eq\f(\r(26),26).由于0°＜θ＜90°，所以cosθ＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(26),26)))\s\up12(2))＝eq\f(5\r(26),26).由余弦定理得BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·ACcosθ)＝10eq\r(5).所以船的行駛速度為eq\f(10\r(5),\f(2,3))＝15eq\r(5)(海里/小時(shí))．(2)如下圖，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)Q.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(402×2＋102×5－102×13,2×40\r(2)×10\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).從而sin∠ABC＝eq\r(1－cos2∠ABC)＝eq\r(1－\f(9,10))＝eq\f(\r(10),10).在△ABQ中，由正弦定理得，AQ＝eq\f(ABsin∠ABC,sin〔45°－∠ABC〕)＝eq\f(40\r(2)×\f(\r(10),10),\f(\r(2),2)×\f(2\r(10),10))＝40，由于AE＝55＞40＝AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE＝AE－AQ＝15.過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，那么EP為點(diǎn)E到直線BC的距離．在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×eq\f(\r(5),5)＝3eq\r(5)＜7.所以船會進(jìn)入警戒水域．10．(2023·江蘇卷)在△ABC中，AC＝6，cosB＝eq\f(4,5)，C＝eq\f(π,4).(1)求AB的長；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))的值．【解析】(1)因?yàn)閏osB＝eq\f(4,5)，0＜B＜π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq\f(3,5).由正弦定理知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，所以AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(6×\f(\r(2),2),\f(3,5))＝5eq\r(2).(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，于是cosA＝－cos(B＋C)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝－cosBcoseq\f(π,4)＋sinBsineq\f(π,4)，又cosB＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\f(3,5)，故cosA＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(\r(2),10).因?yàn)?＜A＜π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(7\r(2),10).因此，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝cosAcoseq\f(π,6)＋sinAsineq\f(π,6)＝－eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(7\r(2),10)×eq\f(1,2)＝eq\f(7\r(2)－\r(6),20).B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：15分鐘)11．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°，那么水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m【解析】設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝eq\r(3)h.在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，根據(jù)余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.【答案】A12．如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是________nmile/h.【解析】設(shè)航速為vnmile/h在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)，∠BSA＝45°，由正弦定理得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，∴v＝32.【答案】3213．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．假設(shè)此人步行的速度為每分鐘50米，那么該扇形的半徑為________【解析】如圖，連接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50eq\r(7).【答案】50eq\r(7)14．(2023·杭州二中月考)如圖，為了測量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，那么AC的長為________km.【解析】因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，cosD＝－eq\f(1,2)，代入得AC2＝32＋5