《復(fù)變函數(shù)》常見問題

PAGEPAGE1《復(fù)變函數(shù)》常見問題(分章列出)第一章：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

第十一章：行波法與達(dá)朗貝爾公式第二章：解析函數(shù)

第十二章：分離變量法第三章：復(fù)變函數(shù)的積分

第十三章：冪級數(shù)解法本征值問題第四章：解析函數(shù)的冪級數(shù)表示

第十四章：格林函數(shù)法第五章：留數(shù)定理

第十五章：積分變換法求解定解問題第六章：保角映射

第十六章：保角變換法求解定解問題第七章：傅里葉變換

第十七章：變分法第八章：拉普拉斯變換

第十八章：數(shù)學(xué)物理方程綜述(無常見問題)第九章：數(shù)學(xué)建模--數(shù)學(xué)物理定解問題

第十九章：勒讓德多項式球函數(shù)第十章：二階線性偏微分方程的分類

第二十章：貝塞爾函數(shù)柱函數(shù)常見問題第一章復(fù)變函數(shù)論問題一：映射下，曲線（1）；（2）變成平面上的什么曲線？【解】利用，（1）代入則有因此，平面上的曲線，在映射下變成平面上的以原點為圓心，為半徑的圓.問題二：對應(yīng)為的根，其中且取整數(shù).試證明下列數(shù)學(xué)恒等式成立（1.8.1）【證明】為考慮問題的方便，方程的根可寫為令，則.再考慮到級數(shù)，令，這樣證明數(shù)學(xué)恒等式，即需證明.我們先考察級數(shù)的各項：當(dāng)時,故有第一項第二項為推導(dǎo)中已使用：同理，通項即第項為顯然級數(shù)為一等比級數(shù)，其公比為：因，故.故數(shù)學(xué)恒等式成立得證.問題三：設(shè)，，滿足.且.證明：，，為內(nèi)接于單位圓的正三角形三頂點.【證明】由條件，，，均位于以原點O(0,0)為園心，1為半徑的單位圓周上，不失一般性，可設(shè)，，.則為證結(jié)論，只需證，即可.由得（1.8.3）（1.8.4）故得，代入（1.8.3）得，問題四：究下列函數(shù)在點的連續(xù)性.（1）（2）【解】（1），又因為，故函數(shù)連續(xù).（2），又因為，故函數(shù)連續(xù).

常見問題第二章解析函數(shù)問題一：論函數(shù)在復(fù)平面上的可導(dǎo)性.【解】由設(shè)沿著平行于x軸的方向趨向于零，因而，，這時極限設(shè)沿著平行于y軸的方向趨向于零，因而，，這時極限因此導(dǎo)數(shù)不存在，原函數(shù)在復(fù)平面上處處不可導(dǎo).問題二：函數(shù)在點處的可導(dǎo)性.【解】首先考察C-R條件是否滿足.根據(jù)有顯然在處C-R條件成立.根據(jù)函數(shù)可導(dǎo)的定義式有當(dāng)，（且使得），那么當(dāng)沿射線趨于0時，上式比值為，顯然不同的趨向得到不同的值，故原函數(shù)在處不可導(dǎo).問題三：數(shù)在復(fù)平面的可導(dǎo)與解析性.【解】由可知在點處可導(dǎo)，對任意則顯然當(dāng)沿平行于x方向趨于零時，即時，有當(dāng)沿平行于y方向趨于零時，即有時，有由于在任意處兩極限不完全相等，所以函數(shù)在任意的處不可導(dǎo).（注意到：盡管函數(shù)在處可導(dǎo)，但其鄰域處不可導(dǎo)）故根據(jù)函數(shù)解析的定義，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.問題四【解】其中k取整數(shù)常見問題第三章復(fù)變函數(shù)的積分問題一：（環(huán)路積分中的換元積分法）計算積分．【解法1】在整個復(fù)平面上解析，且，運用復(fù)積分的牛頓－萊布尼茲公式有【解法2】換元積分法令，則當(dāng)，有；當(dāng)，有所以問題二：積分并判斷閉合環(huán)路積分中換元積分法是否成立．【解法1】作積分變換，則【解法2】根據(jù)例題3.1.3公式(3.1.12)問題三：，其中為圓周，且取正向．【解】要注意在內(nèi)只有一個奇點，將分成為，則由閉路變形定理 常見問題第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示問題一：判定下列級數(shù)的斂散性，若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？(1)；(2).【解】(1)因，由正項級數(shù)的比值判別法知收斂，故級數(shù)絕對收斂.(2)因，都收斂，故原級數(shù)收斂，但因為條件收斂，所以原級數(shù)為條件收斂.

問題二：復(fù)級數(shù)的收斂性，并討論該級數(shù)在閉圓上的一致收斂性.

【解】首先對z的范圍分情況討論：(1)當(dāng)時，正項級數(shù)收斂，故此時原級數(shù)絕對收斂，其部分和因為，所以根據(jù)維爾斯特拉判別法，顯然級數(shù)在閉圓上滿足即存在優(yōu)級數(shù)，故在該閉圓內(nèi)一致收斂.(2)當(dāng)時，.所以一般項不可能以零為極限，從而級數(shù)發(fā)散.問題三：若冪級數(shù)在處收斂，問在處收斂，還是發(fā)散?【解】令，則得在點處即在處收斂.根據(jù)阿貝爾定理，在點處，即在處滿足故原級數(shù)在處收斂且絕對收斂.

常見問題第五章留數(shù)定理問題一：求函數(shù)的孤立奇點,并判斷類型及階數(shù)?！窘狻亢瘮?shù)的奇點顯然是使的點，這些奇點是.很顯然它們都是孤立奇點，又所以都是的一級零點，從而是的一階極點.問題二：求函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù).【解】由于在內(nèi)有所以問題三：計算積分.【解】顯然被積函數(shù)在圓周的內(nèi)部有一階極點及二階極點.由留數(shù)定理得

問題四：．【解】可以驗證被積函數(shù)的有限遠(yuǎn)奇點均在積分區(qū)域內(nèi).按照無窮遠(yuǎn)點留數(shù)的定義及留數(shù)的計算方法得到利用（5.5.5）式：得到所以常見問題第六章保角映射問題一：求將單位圓域映射成單位圓域內(nèi)部且滿足，的分式線性映射．【解】將單位圓域映射成單位圓域的分式線性映射為將，代入上式，可得，從而映射變?yōu)橐驗橛钟深}給條件，所以為正實數(shù)，從而，即．故所求映射為問題二：求將上半平面映射成，且滿足條件，的分式線性映射．【解】容易看出，映射將映射成，而將映射成的分式線性映射為 由時可知，當(dāng)時，將其代入上式，可得，從而上述映射變?yōu)楣视杏纱丝傻脧亩校仕笥成錇榧闯Ｒ妴栴}第七章傅里葉變換問題一：求余弦和正弦函數(shù)的傅里葉變換【解】由歐拉公式及傅里葉變換公式，有同理可求得問題二：求單位階躍函數(shù)的傅氏變換及其積分表達(dá)式．【解】注意到故所以問題三：證明：Heaviside函數(shù)的Fourier變換為.【證明】我們用Fourier逆變換來推證函數(shù)的傅里葉變換.由于利用狄利克雷積分經(jīng)過一個簡單的積分變量替換，可得于是

常見問題第八章拉普拉斯變換問題一：若或為實數(shù)），求拉氏變換.【解】問題二：求【解】令=，則由，得=利用位移定理，即有問題三：解方程【解】令，則因此，原方程進(jìn)行拉氏變換后，在像空間中的方程為下面的一階微分方程，所以較易求解．即，（其中為積分常數(shù)）于是

式中是零階第一類貝塞爾函數(shù)．

常見問題第九章數(shù)學(xué)建模--數(shù)學(xué)物理定解問題問題一；設(shè)一長為的桿，兩端受壓從而長度縮為，放手后自由振動，寫出此定解問題.【解】(1)泛定方程：因桿作自由縱振動，自由即無外力作用，所以泛定方程為(2)邊界條件：原來桿受壓，放手后作自由振動，即這時兩端無外力作用，這意味著桿的兩端自由.“自由”表示在兩端點處張應(yīng)力為零．如果桿的材料的楊氏模量是，根據(jù)胡克定律，而張應(yīng)力等于楊氏模量與相對伸長的乘積，故即(3)初始條件：桿由長壓縮為，共縮短了，壓縮率為，又桿的中點壓縮前后不變，即位移，以中點為標(biāo)準(zhǔn)，左邊位移為正，右邊位移為負(fù).根據(jù)上述分析，初始時刻時的位移為，初始速度為零，即.綜上所述：定解問題為問題二；設(shè)有一長為的理想傳輸線，遠(yuǎn)端開路.先把傳輸線充電到電位為，然后把近端短路，試寫出其定解問題.【解】（1）泛定方程：由于理想傳輸線仍然滿足波動方程（數(shù)學(xué)物理方程）類型.（2）邊值條件：至于邊界條件，遠(yuǎn)端開路，即意味著端電流為零，即，根據(jù)(9.1.13)公式得到且注意到理想傳輸線，故，代入條件有而近端短路，即意味著端電壓為零，即（3）初始條件：而開始時傳輸線被充電到電位為，故有初始條件，且此時的電流，根據(jù)(9.1.14)公式，且注意到理想傳輸線，故，因而有綜上所述，故其定解問題為常見問題第十章二階線性偏微分方程的分類問題一：下列傳輸線方程．化為標(biāo)準(zhǔn)形式.【解】試作函數(shù)變換，，其中和是尚待確定的常數(shù)．于是，代入方程，并約去公共因子，得.如果選取，，即，則一階偏導(dǎo)數(shù)和的項消失，方程化簡為．問題二：求方程的通解．【解】此方程是雙曲型的第二標(biāo)準(zhǔn)形，我們可將其化成第一標(biāo)準(zhǔn)形的形式，由特征方程求特征線．于是：即有由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則所以方程可以化簡為，從而解得，其中為任意函數(shù)。原方程的通解為．常見問題第十一章行波法與達(dá)朗貝爾公式問題一：設(shè)初始位移為零即，而且初速度也只在區(qū)間上不為零（1）的無界弦振動，求此振動過程的位移分布.【解】由達(dá)朗貝爾公式（11.3.9）得(2)根據(jù)(1)得（3）這里指的是（圖11.2）的曲線。由公式(2),可作出和兩個圖形，讓它分別向左、右兩個方向移動，兩者的和就描畫出各個時刻的波形，由此即得出位移分布．問題二：一端固定的半無界弦振動定解問題.【解】一端固定的定解問題可以描述為由于端點固定，所以有.為了使用無界的達(dá)朗貝爾公式，故需要把半無界問題延拓為無界問題來處理，即必須把、和延拓到整個無界區(qū)域．為此，將達(dá)朗貝爾公式（11.3.9）代入即得由于初位移和初速度是獨立的，故上式右端兩項分別為零，即由此可見，和應(yīng)為奇函數(shù)．現(xiàn)將和從半無界區(qū)域奇延拓到整個無界區(qū)域，即令問題三：求解半無界弦的強迫振動問題【解】前面我們介紹了沖量原理法求解強迫振動，下面我們以另一特征線法求解.作特征變換，則方程化為分別對積分，并代入原變量，求得通解（8）由初值條件得（9）（10）由（10）得（11）聯(lián)立（9式和（11）式解得（12）（13）為了利用通解（8），須求出在時的表達(dá)式．為此，利用邊界條件，有即所以（14）把（12）（13）（14）代入通解（8）得所求定解問題的解為常見問題第十二章分離變量法問題一：在圓域上求解泊松方程的邊值問題

【解】先設(shè)法找到泊松方程的一個特解．顯然有，為對稱起見，?。忠驗椋@樣，找到一個特解令就把問題轉(zhuǎn)化為的定解問題．在極坐標(biāo)中用分離變量法求解拉普拉斯方程的一般結(jié)果為并且在圓域內(nèi)應(yīng)當(dāng)是有界的．但上式的和當(dāng)趨于零（圓心）時為無限大，所以應(yīng)當(dāng)排除，故．于是把上式代入邊界條件比較兩邊系數(shù)得這樣，所求解為問題二：求解三維靜電場的邊值問題：【解】設(shè)，將變量分離，并由邊界條件（2），得：相應(yīng)的本征值和本征函數(shù)系為和這里，，且于是，得到滿足泛定方程和邊界條件的特解：把各特解疊加，得級數(shù)解：再由邊界條件（3），又得及把這兩個式子的兩端分別乘以，并在矩形，內(nèi)積分，注意到函數(shù)系和的正交性，比較兩邊的系數(shù)，可以得到：這里，解出和，代入級數(shù)解，得所求解為：問題三：求解環(huán)形域內(nèi)的泊松方程定解問題：【解】泛定方程的右端關(guān)于的二次齊次多項式為，故可設(shè)方程有特解．代入方程，并比較兩邊的系數(shù)，即可求得=1，．因而這里，是極坐標(biāo)．令，就得到定解問題（采用極坐標(biāo)）：我們知道,在極坐標(biāo)系下拉氏方程的一般解為：由邊界條件的形式，可設(shè)于是由邊界條件，有比較兩邊的系數(shù)，得及解之，得：所以常見問題第十三章冪級數(shù)解法本征值問題問題一：將貝塞爾方程化成施－劉型方程【解】令，，即可將貝塞爾方程轉(zhuǎn)化為施－劉型方程：問題二：將球貝塞爾方程化成施－劉型方程【解】令，，即可將球貝塞爾方程轉(zhuǎn)化為施－劉型方程：。問題三：將連帶勒讓德方程化成施－劉型方程【解】令，，即可將連帶勒讓德方程轉(zhuǎn)化為施－劉型方程：常見問題第十四章格林函數(shù)法問題一：驗證是二維拉普拉斯方程的基本解，其中?！咀C明】將寫成極坐標(biāo)形式由，故因此所以滿足二維拉普拉斯方程。

問題二：求四分之一平面即區(qū)域：內(nèi)的格林函數(shù)，并由此求解下列狄利克雷問題其中為已知的連續(xù)函數(shù)．【解】電像法（如圖14.4）：在區(qū)域內(nèi)任選一點，找其關(guān)于邊界的對稱點，然后找關(guān)于邊界的對稱點。注意，對于每一邊界的像（映射），電荷反號，故可求出點電荷在區(qū)域內(nèi)某一點處的電位分別為則得到區(qū)域的格林函數(shù)為，即為注意到邊界條件,故原定解問題的解為

問題三：在圓內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題【解】根據(jù)公式（14.4.13），故有常見問題第十五章積分變換法求解定解問題問題一：求解無限長細(xì)桿的有源熱傳導(dǎo)方程定解問題【解】利用對定解問題作傅里葉變換，得到常微分方程的定解問題上述問題的解為為了求出上式的逆變換，利用下面傅氏變換的卷積公式，即若則而積分從而最后得到定解問題的解為問題二：如果定解問題為下列第二邊值問題【解】令即容易得到滿足定解問題為則根據(jù)上述穩(wěn)定場第一邊值問題公式故得到問題三：定解問題【解】對于變量作傅氏變換，有定解問題變換為常微分方程因為可取正、負(fù)值，所以常微分定解問題的通解為因為，故得到常微分方程的解為設(shè)根據(jù)傅氏變換定義，的傅氏逆變換為再利用卷積公式最后得到原定解問題的解為常見問題第十七章變分法問題一：求的極值，其中是歸一化的，即，且已知【解】本題是求泛函的條件極值問題，可化為變分問題對應(yīng)的E-L方程為其通解為代入附加條件得到代入歸一化條件得到于是得到，故原極值問題的解為而題中要求的泛函的極值為當(dāng)時，極值函數(shù)使得泛函數(shù)取得最小值．問題二：求泛函在條件下的極值曲線.【解】此時,則偏導(dǎo)數(shù).對應(yīng)的Euler方程為其通解為,代入邊界條件可得,,所以極值曲線為問題三：在平面上,尋求連接兩定點的一切曲線中使其繞軸旋轉(zhuǎn)一周曲面面積最小的曲線.【解】由微積分學(xué)可得旋轉(zhuǎn)曲面面積為即,其相應(yīng)的Euler方程為為求方程的解,將方程兩端乘以并積分,得由分部積分得即也即