傅立葉譜與反應(yīng)譜

一個簡單的簡諧振動合成任意振動的例子一般情況，變化非常復(fù)雜的物理量難以直接定量分析，將復(fù)雜的現(xiàn)象分解為許多簡單現(xiàn)象的合成，化繁為簡，化難為易。什么是頻譜？頻譜是針對以時間為自變量的物理量變化函數(shù)而言，例如將任意復(fù)雜的振動分解為不同頻率的簡諧分量。如同白光能分解為各種頻率的彩色光一樣，任何復(fù)雜的地震動也都可以分解為許多簡諧振動，這些簡諧振動的振幅、初相位隨頻率變化。

時域和頻域：時程和頻譜不同頻率信號的時域圖和頻域圖復(fù)雜周期信號波形從一般信號分析（數(shù)學(xué)化）的觀點來看：連續(xù)信號與離散信號周期信號與非周期信號周期信號：連續(xù)信號f(t)0t0tf(t)f0f1f2離散信號01234-1tf(tk)(3)(2)(4.5)(1.5)(6)(-1)

將振動信號（或任意變化的函數(shù)）分解為簡諧振動（三角函數(shù)）的過程稱為傅立葉（Fourier）分解。得到振幅和相位隨頻率變化的關(guān)系稱為傅里葉譜，包括振幅譜和相位譜，統(tǒng)稱(大多指振幅譜)為頻譜，完成分解的運算稱為傅立葉變換。

振動時程各不相同，傅里葉譜也互相各異，有各自的特點，即頻譜特性。振動信號的頻譜有重要的物理意義和應(yīng)用。一、傅傅里葉葉譜在數(shù)學(xué)學(xué)上可可將任任意變變化的的周期期函數(shù)數(shù)分解解為正正弦或或余弦弦變化化的三角函函數(shù)（稱為為簡諧諧函數(shù)數(shù)）之之和，，分解解是通通過傅傅立葉葉展開開或傅傅立葉葉變換換完成成的。。對隨時時間任任意變變化的的物理理量，，分解解具有有物理意意義：例如如對振振動信信號來來說，，時間間變量量的三三角函函數(shù)表表示簡簡諧振振動，，這種種分解解就是是將復(fù)復(fù)雜的的地震震動化化為無無數(shù)簡簡諧振振動之之和。。法國國數(shù)學(xué)學(xué)家傅傅立葉葉（J.Fourier）首先先研究究將任任意函函數(shù)分分解為為三角角級數(shù)數(shù)之和和的方方法和和條件件，并并建立立數(shù)學(xué)學(xué)基礎(chǔ)礎(chǔ)，后后人發(fā)發(fā)展并并以其其名字字命名名，稱稱為傅立葉葉級數(shù)數(shù)。埃森特特羅地地震記記錄南南北分分量時時程（（上））與傅傅立葉葉振幅幅譜（（左下下）和和相位位譜（（右下下）傅里葉葉譜是是復(fù)數(shù)數(shù)，由由實部部和虛虛部組組成，，它的的模稱稱為幅幅值譜譜，幅幅角為為相位位譜實際上上地震震動時時程無無法用用解析析函數(shù)數(shù)表示示，因因此要要用離離散方方法做做數(shù)值值計算算可得解釋：：1）稱稱為采采樣間間隔，，時間間步距距；為為頻率率間隔隔，或或頻率率的分分辨率率。2）頻率的的分辨辨率取取決于于時間間步距距，間間隔越越小，，或時時間步步距固固定，，則采采樣點點（可可以補補零））越多多，頻頻率分分辨率率越高高。3）時間間分割割和頻頻率分分割精精度互互相矛矛盾，，是測測不準(zhǔn)準(zhǔn)原理理的體體現(xiàn)。。4）由于于（（共共軛）），故故為為對稱稱點，，稱為為折疊疊頻率率，可得若給定定時間間序列列的采采樣間間隔則從采采樣后后的離離散信信號中中所能能分辨辨出的的最高高頻率率就是是折疊疊頻率率：稱為采樣定定理，折疊疊頻率率亦稱稱奈奎斯斯特頻頻率（（Nyquistfrequency）例如加加速度度時程程的時時間步步距為為0.01sec，則離離散傅傅里葉葉譜的的有效效高頻頻為50Hz。加速度度振幅幅譜特特點：：1）開始始（頻頻率小小)很小，，迅速速增大大，然然后減減小，，高頻頻和低低頻都都小，，意味味某個個頻段段幅值值大，，這些些振動動分量量強2）主要分分量在在0—10Hz之間3）因為是是離散散計算算，曲曲線毛毛刺多多，可可以平平滑化化，如如紅線線示意意。2、用嚴(yán)嚴(yán)格的的數(shù)理理方法法求解解結(jié)構(gòu)構(gòu)地震震反應(yīng)應(yīng)時，，簡諧諧振動動反應(yīng)應(yīng)容易易求解解。對對線性性體系系，先先求解解每個個簡諧諧振動動的反反應(yīng)，，再疊疊加求求得總總體反反應(yīng)的的方法法，比比直接接求解解便利利得多多；分解對對研究究地震震動特特性具具有重重要的的意義義1、它定定量揭揭示地地震動動的動動力特特性。。以不不同頻頻率分分量的的表現(xiàn)現(xiàn)來研研究地地震動動及其其對結(jié)結(jié)構(gòu)的的作用用，是是動力力分析析的特特點；；3、頻譜譜分析析的結(jié)結(jié)果可可以方方便地地在結(jié)結(jié)構(gòu)抗抗震、、基礎(chǔ)礎(chǔ)隔震震等工工程問問題中中應(yīng)用用。二、反反應(yīng)譜譜（地震工工程的的靈魂魂）回顧單單自由由度的的地震震反應(yīng)應(yīng)分析析，這這是結(jié)結(jié)構(gòu)地地震反反應(yīng)分分析最最簡單單，最最本質(zhì)質(zhì)的分分析模模型。。mkc此時沒沒有外外力作作用，，結(jié)構(gòu)構(gòu)隨地地面一一起運運動，，位移移是（（x+y），x，y分別為為相對對位移移和牽牽連位位移。。mkxcmkxc此時結(jié)結(jié)構(gòu)加加速度度為mkxc絕對位位移：：x+y，相對對位移移：x地震反反應(yīng)振振動方方程此解稱稱為杜哈梅梅積分分。如何估估計結(jié)結(jié)構(gòu)地地震反反應(yīng)？？方法：：解單單質(zhì)點點對地地震動動的反反應(yīng)只選取取加速速度最最大值值加速度度乘以以質(zhì)量量就是是慣性性力與重力力之比比稱為為地震震系數(shù)數(shù)基于兩兩個簡簡化：：1）結(jié)構(gòu)構(gòu)體系系模型型用單單質(zhì)點點模型型，計計算簡簡單2）用一一個不不變的的（靜靜）力力表示示，便便于設(shè)設(shè)計應(yīng)應(yīng)用反應(yīng)譜譜就是以以不同同單質(zhì)質(zhì)點自自振頻頻率（（或周周期））為橫坐標(biāo)標(biāo)，反應(yīng)應(yīng)最大大值為為縱坐標(biāo)標(biāo)畫出的的曲線線，因因為與與頻率率（周周期））對應(yīng)應(yīng)，亦亦是譜譜的一一種。。反應(yīng)譜譜表征征了地地震動動加速速度時時間過過程作作用于于單自自由度度彈性性體系系的最最大反反應(yīng)（（加速速度、、速度度和位位移））隨體體系的的自振振特性性（周周期、、阻尼尼比））變化化的函函數(shù)關(guān)關(guān)系。。表示地地震反反應(yīng)的的物理理量不不同，，反應(yīng)應(yīng)譜的的形式式也不不同，，如加加速度度、速速度、、位移移等位移反反應(yīng)譜譜；速度反反應(yīng)譜譜；加速度度反應(yīng)應(yīng)譜（（絕對對）反應(yīng)譜譜計算算公式式：對反應(yīng)應(yīng)譜的的注釋釋：反應(yīng)譜譜是單單自由由度體體系對對地震震動輸輸入的的地震震反應(yīng)應(yīng)的最大值值；反應(yīng)譜譜反映映的是是地震動動的頻頻譜特特性；；反應(yīng)譜譜還與與體系系的阻尼比比有關(guān)關(guān)。在反反應(yīng)譜譜計算算中大大多取取值0.05，有時時也取取值0、0.02和0.10；在反應(yīng)應(yīng)譜計計算公公式的的推導(dǎo)導(dǎo)中還還隱含含了“剛性地地基”的假定定。正規(guī)化化（標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化化、規(guī)準(zhǔn)化化、歸歸一化化）反應(yīng)應(yīng)譜。。1.02.03.0放大倍倍數(shù)單質(zhì)點點的自自振周周期為為0，什么么含義義？即自振振頻率率為無無窮大大。K無窮大大，此此物施施加多多大的的力