高中數(shù)學(xué)第三章直線(xiàn)與方程2.1直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程課件新人教A版必修

3.2直線(xiàn)的方程3.2.1直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程

直線(xiàn)方程的形式及適用條件名稱(chēng)方程圖形常數(shù)的幾何意義適用條件點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k·(x-x0)

①

(x0,y0)

是直

線(xiàn)l上的一個(gè)定點(diǎn),

②

k

是直線(xiàn)l的

斜率直線(xiàn)不垂直于x軸斜截式y(tǒng)=kx+b

③

k

是斜率,④

b

是直線(xiàn)在

y軸上的截距直線(xiàn)不垂直于x軸特殊情況的直線(xiàn)方程x=a(y軸:x=0)

垂直于⑤

x軸

且過(guò)點(diǎn)⑥

(a,0)

斜率不存在y=b(x軸:y=0)

垂直于⑦

y軸

且過(guò)點(diǎn)⑧

(0,b)

斜率k=0

兩種重要的直線(xiàn)系方程1.過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系方程確定直線(xiàn)需要兩個(gè)要素:位置(直線(xiàn)上一點(diǎn))和方向.當(dāng)位置確定,方向不定,即直線(xiàn)

過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí),我們可設(shè)直線(xiàn)的方程為y-y0=k(x-x0),由此方程可知,k取不同的值

時(shí),它就表示不同的直線(xiàn),且每一條直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0),當(dāng)k取遍所允許的每一

個(gè)值時(shí),這個(gè)方程就表示經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0的許多條直線(xiàn),所以把這個(gè)方程叫做過(guò)定點(diǎn)P0

的直線(xiàn)系方程.由于過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0)且與x軸垂直的直線(xiàn)不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直線(xiàn)系y-y0=k(x-

x0)(k∈R)中沒(méi)有直線(xiàn)x=x0.2.平行直線(xiàn)系當(dāng)直線(xiàn)的方向確定,而位置不確定時(shí),即直線(xiàn)的斜率k確定.若斜率存在,則可設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx+b,當(dāng)b取不同值時(shí),這個(gè)方程表示斜率為k的平行直線(xiàn)系.

判斷正誤,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“?”.1.方程k=

與y-y0=k(x-x0)表示的意義相同.

(

?)方程k=

表示的圖形中沒(méi)有點(diǎn)(x0,y0).2.直線(xiàn)在y軸上的截距為b,其中b是直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.

(

?)直線(xiàn)在y軸上的截距b表示直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo).3.若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(x1,y1),傾斜角為90°,則其方程是x=x1.(√)4.若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(x1,y1),斜率為0,則其方程是y=y1.

(√)5.所有的直線(xiàn)都有點(diǎn)斜式和斜截式方程.

(

?)傾斜角為90°,即斜率不存在的直線(xiàn)沒(méi)有點(diǎn)斜式和斜截式方程.

直線(xiàn)的點(diǎn)斜式與斜截式方程

1.求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程的思路(1)確定定點(diǎn)P(x0,y0);(2)判斷斜率k是否存在,若存在,則根據(jù)已知條件求出k,由點(diǎn)斜式得到方程;若不存

在,則方程為x=x0.2.直線(xiàn)的斜截式方程的求解策略直線(xiàn)的斜截式方程y=kx+b中只有k和b兩個(gè)參數(shù),因此要確定某直線(xiàn),只需根據(jù)已

知條件求出k,b即可.

3.若兩直線(xiàn)的斜率均存在,我們可以利用斜率和在y軸上的截距判斷兩直線(xiàn)的位置關(guān)系,其方法如下:設(shè)l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,①l1與l2相交?k1≠k2;②l1∥l2?k1=k2且b1≠b2;③l1與l2重合?k1=k2且b1=b2.

直線(xiàn)l的傾斜角是直線(xiàn)y=-

x+5的傾斜角的

,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,-4)的直線(xiàn)l的方程.解析

設(shè)直線(xiàn)y=-

x+5的傾斜角為α,斜率為k,則k=tanα=-

,∴α=150°,故所求直線(xiàn)l的傾斜角為30°,其斜率k'=

.又∵直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(3,-4),∴由點(diǎn)斜式方程,得y+4=

(x-3),即y=

x-

-4.

(1)當(dāng)a為何值時(shí),直線(xiàn)l1:y=-x+2a與直線(xiàn)l2:y=(a2-2)x+2平行?(2)當(dāng)a為何值時(shí),直線(xiàn)l1:y=(2a-1)x+3與直線(xiàn)l2:y=4x-3垂直?解析

(1)由題意可知,

=-1,

=a2-2,∵l1∥l2,∴

解得a=-1.故當(dāng)a=-1時(shí),直線(xiàn)l1:y=-x+2a與直線(xiàn)l2:y=(a2-2)x+2平行.(2)由題意可知,

=2a-1,

=4,∵l1⊥l2,

∴4(2a-1)=-1,解得a=

.故當(dāng)a=

時(shí),直線(xiàn)l1:y=(2a-1)x+3與直線(xiàn)l2:y=4x-3垂直.

直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程的特點(diǎn)知,當(dāng)k取任意實(shí)數(shù)時(shí),方程y-y0=k(x-x0)表示恒過(guò)定

點(diǎn)(x0,y0)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn),因此可利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程求直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn).

已知直線(xiàn)l:y=kx+2k+1.(1)求證:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k,直線(xiàn)l恒過(guò)一定點(diǎn);(2)當(dāng)-3<x<3時(shí),直線(xiàn)l上的點(diǎn)都在x軸的上方,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解析

(1)證明:由y=kx+2k+1,得y-1=