高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性

關(guān)于高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日一、函數(shù)單調(diào)性的判定法

第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日ooabab從導(dǎo)數(shù)的幾何意義考察函數(shù)的單調(diào)性：第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日定理1嚴(yán)格單調(diào)第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日(2)區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的嚴(yán)格單調(diào)性.例如,注意:(1)定理?xiàng)l件中的閉區(qū)間換成一般區(qū)間，定理的結(jié)論仍然成立；第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日例1.解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),要用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性.導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定,而不能用令得把分成兩個(gè)區(qū)間第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日例2.解:單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).

說明:第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日把函數(shù)的定義域區(qū)間分成若干個(gè)區(qū)間，總結(jié)求單調(diào)區(qū)間的步驟1．寫出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2．求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)、和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(不可導(dǎo)點(diǎn))3．以導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)為分點(diǎn)，并確定導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而確定函數(shù)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日練習(xí)解5/21第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日例4證注

利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系可證明一些不等式。第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日練習(xí).

證明時(shí),成立不等式證:

令從而因此且第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日?qǐng)D形上任意弧段位于所張弦的上方。圖形上任意弧段位于所張弦的下方。問題:

如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述曲線的彎曲方向?第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日定義1

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的

.第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日17曲線凹凸的判定定理2第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)只證(2)由定義只須證：只須證：只須證：記作

只須證：第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)只證(2)由定義只須證：只須證：分別在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理得這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞減.第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日20例5

判斷曲線的凹凸性.解上是凸的.第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日21例6解注意到,第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日定義2

若連續(xù)曲線在其上一點(diǎn)的兩側(cè)凹凸性相反，則稱此點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).xyoy=f(x)注：拐點(diǎn)是凹弧與凸弧的分界點(diǎn)第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日證第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日注意:例如,例如,yxoyxo第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日1．寫出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)2．求出二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)、和不存在的點(diǎn)3．檢查這些點(diǎn)左右兩側(cè)符號(hào)，從而判定曲線的凹凸性注意判斷曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的步驟：第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日例7.

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)

求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日例8

討論的凹凸性及拐點(diǎn).解：xyo·1x0－0＋不存在＋y凸

拐點(diǎn)凹非拐點(diǎn)凹第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日曲線的凹凸性反映的是不等式關(guān)系：(1)若曲線的圖形是凹的（即），則有(2)若曲線的圖形是凸的（即），則有注：利用凹凸性也可以證明一些不等式。第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日例9解第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日30例10第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上凹凸弧的分界點(diǎn)小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減